Проект "Теорема Пифагора" (различные формулировки и доказательства)

Теорема Пифагора

Различные формулировки

Исследовательский проект

Выполнен учениками 8 класса МКОУ «Эсто-Алтайская СОШ им. Д.Н.Кугультинова»

Шумский Станислав

Булаева Мария

2017-2018 уч.год

Как известно…

• Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов», но…
• Как звучала эта теорема у Евклида: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол »
• Как звучала у Аннаирици : «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

Научное открытие

• В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:

Доказательства теоремы Пифагора

• Простейшее
• Метод разложения
• Метод дополнения
• Другие…

Простейшее доказательство

• Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.
• Теорема доказана.

Доказательство методом дополнения

• От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах: В-А=С и В1-А1=С1 . Ч асть А равновелика части А1 , а часть В равновелика В1 , то части С и С1 также равновелики.

Доказательство методом дополнения

• Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3 , равные исходному треугольнику 1 . Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2 , то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3 , то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.

Доказательство методом дополнения

• Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG , составляющий половину шестиугольника DABGFE , вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK , составляющим половину шестиугольника CAJKHB . Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Теорема доказана

Доказательство методом вычитания

• Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

Доказательство методом вычитания

• треугольники 1, 2, 3, 4;

прямоугольник 5;

прямоугольник 6 и квадрат 8;

прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:

прямоугольники 6 и 7;

прямоугольник 5;

прямоугольник 1(заштрихован);

прямоугольник 2(заштрихован);

Доказательство методом вычитания

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:

прямоугольник 5 равновелик самому себе;

четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;

прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;

прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство закончено

Доказательство Хоукинсa

• Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

Доказательство Хоукинсa

SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA

и DB, поэтому :

• SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c²=a²+b² или c²=a²+b²

Нами снова доказана теорема Пифагора.

Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов , обобщающую теорему Пифагора.

Доказательство Евклида

• Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия) , оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".
• На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.
• В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

Доказательство Евклида

• FB = AB, BC = BD

РFBC = d + РABC = РABD

Но

SABD = 1/2 S BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

SFBC=1\2S ABFH

(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

SABD=SFBC,

имеем

SBJLD=SABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

SJCEL=SACKG.

Итак,

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

что и требовалось доказать.

Удивительный факт

• Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора .

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Итоги работы

• На самом деле существует много способов доказательства теоремы Пифагора: доказательство Евклида, Хоукинса, Вальдхейма, способ «луночками» Гиппократа, доказательство Басхары, Эпштейна, Нильсена, Бетхера, Перигаля, Гутхейля, векторное доказательство и многие другие…