Презентация урока

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Перпендикулярные прямые в пространстве.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

a b, a b

c

c /

c a, c a

a

b

2

a║b ( по условию) MA║a .(по построению) C } = MA ║b, MC║c b┴c MA┴MC " width="640"

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

a

Дано: a ║b ; a┴ с

Доказать: b ┴c

b

Доказательство:

c

Проведем CM ║c, MA║a .

A

M

Так как a┴ с, то └ AMC=90

} =

a║b ( по условию)

MA║a .(по построению)

C

} =

MA ║b, MC║c

b┴c

MA┴MC

№ 117.

В тетраэдре АВС D ВС А D . Докажите, что А D MN , где М и N – середины ребер АВ и АС.

D

II

N

А

C

M

B

4

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

a

a

5

Построение прямых углов на местности с помощью

простейшего прибора,

который называется экер

Треножник

с

экером

В

А

Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.

1

О

6

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

6

№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D . Докажите, что АВ = В D .

По опр.

A

O

В

Л.С. Атанасян №119.

С

D

8

№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D , ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.

По опр.

A

Л.С. Атанасян №119.

В

O

С

С

D

9

№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D . ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.

По опр.

A

Л.С. Атанасян №119.

В

O

С

С

D

10

№ 121. В треугольника АВС дано: С = 90 0 , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем

СК = 12 см. Найдите КМ.

По опр.

К

А

12 см

6см

М

Л.С. Атанасян №121.

С

8 см

В

11

№ 121. Еще один эскиз к задаче

К

12 см

С

6см

А

8 см

Л.С. Атанасян №121.

М

В

12

№ 120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a , проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b .

По опр.

К

b

В

С

Л.С. Атанасян №120.

a

O

А

a

D

13

a 1 ┴ " width="640"

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

а

а 1

Дано: a ║ а 1 ; a ┴

Доказать: a 1 ┴

Доказательство:

x

х

, то a ┴ х.

Так как a ┴

Значит по лемме а 1 ┴ х

= a 1 ┴

b 1 ┴ c Докажем, что b и b 1 совпадают Допустим, что они не совпадают. Тогда в плоскости через точку М проходят две прямые , перпендикулярные к прямой с но это невозможно. Значит а║ b. a b b 1 " width="640"

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано : a┴ b┴

Доказать: a║b

M

Доказательство:

Через точку М прямой b проведем b1║a, = b 1 ┴

c

Докажем, что b и b 1 совпадают

Допустим, что они не совпадают. Тогда в плоскости через точку М проходят две прямые , перпендикулярные к прямой с но это невозможно. Значит а║ b.

a

b

b 1

АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.

По опр.

М

1

В

А

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

O

3

С

16

Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ 1 и СС 1 , СС 1 =4, АС 1 =

АВ 1 = , . Найдите ВС.

ВВ 1

СС 1

В

С

4

4

В 1

С 1

Л.С. Атанасян №125.

А

17

Дано:

Дано:

АВС –равносторонний треугольник со стороной

О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

АВС D – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата.

М

М

1

2

В

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса» Самостоятельная работа

А

4

В

С

4

O

O

4

А

4

D

С

18

№ 124. Прямая Р Q параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1 . Докажите, что Р Q = P 1 Q 1 .

РР 1

QQ 1

Р

Q

PP 1 IIQQ 1

P 1

Л.С. Атанасян №124.

Q 1

19

ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC)

Доказать: (АВЕ) II (С DF)

ВЕ (АВС)

DF (АВС)

Е

ВЕ II DF

F

В

С

AB II DC

( AB Е) II ( CDF)

D

А

20

№ 125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1 . Найдите Р 1 Q 1 .

15

Q

РР 1

QQ 1

Р

PP 1 IIQQ 1

33,5

21,5

P 1

Л.С. Атанасян №125.

Q 1

По опр.

21

q,p серединные перпендикуляры к АВ ∆ ABQ=∆BPQ (AP=PB, AQ=QB, PQ- общ) =└APL=└BPQ B ∆ ABL=∆BPL (AP=PB, └APL=└BPQ,PL- общ)= AL=BL (l┴a, m║l)=m┴a=a┴ (AO=OB,AL=BL)= l┴AB=l┴a " width="640"

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

A

a

Дано: a┴q, a┴p, q p =O

q p

a

Доказать: a ┴

Доказательство:

P

l

Проведем через точку О прямую l ║m. Отложим AO=OB (A,B a)

O

q

Q

Проведем прямую b пересекающую прямые l, p,q в точках L, P, Q

m

L

p

AB ┴ q, AB┴ p, AO=OB = q,p серединные перпендикуляры к АВ

∆ ABQ=∆BPQ (AP=PB, AQ=QB, PQ- общ) =└APL=└BPQ

B

∆ ABL=∆BPL (AP=PB, └APL=└BPQ,PL- общ)= AL=BL

(l┴a, m║l)=m┴a=a┴

(AO=OB,AL=BL)= l┴AB=l┴a

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и при том только одна.

.

M

M,

Дано :

Доказать: M с , c┴

c

Доказательство:

Проведем в плоскости прямую а и рассмотрим плоскость М ┴ а .

b

a

= b

∩

В плоскости проведем прямую с┴ b

с- искомая прямая

Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая с 1 ┴

Тогда с 1 ║ с, это невозможно, так как с 1 ∩ с = М