Презентация Теория вероятностей

Теория вероятностей

(некоторые основные понятия)

Теория вероятностей

Определение:

Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта .

Теория вероятностей

Определение:

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Р(А)=≤P(A) ≤1

Теория вероятностей

Пример:

В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2- зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

Теория вероятностей

Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленного – событие В, появление белого – событие С.

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

P(A)= ; P(B)= ; P(C)= .

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий P(), P(),… P() и условные вероятности наступления события А при наступлении события P(), P(), …

P().

Формула полной вероятности

Теорема:

Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий

равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Р(А) = )Р(А/),

Формула полной вероятности

Пример:

Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Формула полной вероятности

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

Вероятность того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

Формула полной вероятности

• для первого стрелка:
• для второго стрелка:
• для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна:

Случайные величины

Выше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины.

Случайные величины

Определение:

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно, какое именно.

Случайные величины

Случайные величины можно разделить на две категории.

Определение:

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы)

Случайные величины

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т. к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Случайные величины

Определение:

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Случайные величины

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Закон распределения дискретной случайной величины

Определение:

Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма всех ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины

Пример многоугольника распределения случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины

При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности .

Биноминальное распределение

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью p в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q=1-p.

Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х.

Биноминальное распределение

Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.

Это формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным .

Биноминальное распределение

Пример . В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х- числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

Биноминальное распределение

Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.

Найдем вероятность того, что среди отобранных деталей:

1)Вообще нет нестандартных.

Биноминальное распределение

2) Одна нестандартная.

3)Две нестандартные детали.

4)Три нестандартные детали.

Биноминальное распределение

5) Четыре нестандартных детали.

Построим многоугольник распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

M(X)=

Числовые характеристики дискретных случайных величин

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины .

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Определение: Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

()

Вычисление дисперсии

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Среднее квадратичное отклонение

Определение: Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

 ()=