Презентация по теме "Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое. Степенные средние и неравенство о средних"

Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое

Пункт 5

Среднее арифметическое

Какое среднее вы уже давно и хорошо знаете?

Средним арифметическим числового набора х 1 , х 2 , …, х n называется отношение суммы всех чисел в наборе, к их количеству :

Применение:  

В образовании:  для расчёта средней оценки учащихся.

В науке:  для анализа экспериментальных данных.

В финансах:  для определения среднего дохода или расходов.

В социологии:  для изучения данных опросов.

Среднее квадратичное

Средним квадратичным числового набора х 1 , х 2 , …, х n называется квадратный корень из среднего квадрата этих чисел:

Применение:  Часто используется в статистике, физике и инженерии для измерения разброса значений.

Среднее гармоническое

Средним гармоническим набора положительных чисел

х 1 , х 2 , …, х n называется величина, обратная среднему арифметическому обратных величин:

Применение:  Используется при расчете средних скоростей, в финансовых расчетах и других задачах, где важны отношения величин.

Среднее геометрическое

Средним геометрическим набора положительных чисел

х 1 , х 2 , …, х n называется корень n-й степени из их произведения:

Применение:  Применяется в экономике, финансах и других областях для оценки среднего значения показателей, которые меняются по экспоненциальному закону, таких как процентный рост или индексы.

Степенные средние и неравенство о средних

Пункт 6

Степенное среднее степени k

Для набора положительных чисел

и некоторого числа k степенное среднее степени k вычисляется по формуле:

Степенное среднее степени 1

Если k=1, то степенное среднее равно

– среднее арифметическое

Степенное среднее степени 2

Если k= 2 , то степенное среднее равно

– среднее квадратичное

Степенное среднее степени –1

Если k= –1 , то степенное среднее равно

– среднее гармоническое

Степенное среднее степени 0

Если k приближается к 0 , то М k (x) приближается к среднему геометрическому G

– среднее геометрическое

Теорема (неравенство) о средних

Степенное среднее тем больше, чем больше степень k

В частности,

Равенство наступает, только если все числа набора

х 1 , х 2 , …, х n равны между собой

Это неравенство для двух положительных чисел а и b примет вид:

Практическая работа

I вариант II вариант

Вычислите средние степенные для набора чисел:

Вычислите средние степенные для набора чисел:

а) 1, 1, 5;

а) 2, 3, 6;

б) 2, 4, 5, 6

б) 2, 4, 5, 20

При необходимости округлите ответ до сотых.

При необходимости округлите ответ до сотых.