![Скалярное произведение векторов Подготовила: Учитель математики первой квалификационной категории МКОУ Верх-Каргатской СОШ Балесная Ольга Сергеевна](https://fsd.videouroki.net/html/2018/01/25/v_5a695cd2e2eed/img0.jpg)
Скалярное произведение векторов
Подготовила:
Учитель математики первой квалификационной категории
МКОУ Верх-Каргатской СОШ
Балесная Ольга Сергеевна
![Угол между векторами В b α О a А ( a; b ) = ( ОА; ОВ) = α](https://fsd.videouroki.net/html/2018/01/25/v_5a695cd2e2eed/img1.jpg)
Угол между векторами
В
b
α
О
a
А
( a; b ) = ( ОА; ОВ) = α
![Определение скалярного произведения Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a ∙ b = │a│∙│b│cos ( a; b ) Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны . a ∙ b = 0 a b](https://fsd.videouroki.net/html/2018/01/25/v_5a695cd2e2eed/img2.jpg)
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
a ∙ b = │a│∙│b│cos ( a; b )
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны .
a ∙ b = 0 a b
![Скалярное произведение в координатах Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины . a ∙ a = a 2 = | a | 2 Теорема: скалярное произведение векторов a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } выражается формулой a ∙ b = x 1 x 2 + y 1 y 2](https://fsd.videouroki.net/html/2018/01/25/v_5a695cd2e2eed/img3.jpg)
Скалярное произведение в координатах
Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины .
a ∙ a = a 2 = | a | 2
Теорема: скалярное произведение векторов a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } выражается формулой
a ∙ b = x 1 x 2 + y 1 y 2
![Скалярное произведение в координатах Следствие 2: косинус угла между ненулевыми векторами a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } выражается формулой x 1 x 2 + y 1 y 2 cos α = √ x 1 2 + y 1 2 ∙ √ x 2 2 + y 2 2 Следствие 1: ненулевые векторы a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } перпендикулярны тогда и только тогда, когда x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0](https://fsd.videouroki.net/html/2018/01/25/v_5a695cd2e2eed/img4.jpg)
Скалярное произведение в координатах
Следствие 2: косинус угла между ненулевыми векторами a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } выражается формулой
x 1 x 2 + y 1 y 2
cos α =
√ x 1 2 + y 1 2 ∙ √ x 2 2 + y 2 2
Следствие 1: ненулевые векторы a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } перпендикулярны тогда и только тогда, когда
x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
![](https://fsd.videouroki.net/html/2018/01/25/v_5a695cd2e2eed/img5.jpg)
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов a , b и c и любого числа k справедливы соотношения:
1 о a 2 ≥ 0 , причем a 2 0 при а ≠ 0.
2 о a ∙ b = b ∙ a (переместительный закон).
3 о ( a + b ) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с (распределительный закон).
4 о ( k a ) ∙ b = k ( а ∙ b ) (сочетательный закон).