![Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки ПОДГОТОВИЛА учитель математики МБОУ Долботовская СОШ Хатненок А.Ю.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img0.jpg)
Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки
ПОДГОТОВИЛА учитель математики МБОУ Долботовская СОШ Хатненок А.Ю.
![В геометрии важную роль играет треугольник и его элементы. Мы уже умеем строить отрезок, равный данному, угол, равный данному, значит, сможем построить отрезки и углы, равные сторонам и углам данного треугольника. Изучив построение биссектрисы угла, сможем построить биссектрису треугольника.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img1.jpg)
В геометрии важную роль играет треугольник и его элементы. Мы уже умеем строить отрезок, равный данному, угол, равный данному, значит, сможем построить отрезки и углы, равные сторонам и углам данного треугольника. Изучив построение биссектрисы угла, сможем построить биссектрису треугольника.
![Задание 1. Постройте угол, равный 60 , и с помощью транспортира постройте его биссектрису. Сформулируйте определение биссектрисы угла. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам 60 А](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img2.jpg)
Задание 1. Постройте угол, равный 60 , и с помощью транспортира постройте его биссектрису. Сформулируйте определение биссектрисы угла.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам
60
А
![Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла. B А C а) построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметим точки пересечения этой окружности со сторонами угла.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img3.jpg)
Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
B
А
C
а) построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметим точки пересечения этой окружности со сторонами угла.
![Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла. B D А C б) построим две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметим точку их пересечения.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img4.jpg)
Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
B
D
А
C
б) построим две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметим точку их пересечения.
![Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла. B D А C в) из вершины угла через полученную точку строим луч.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img5.jpg)
Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
B
D
А
C
в) из вершины угла через полученную точку строим луч.
![Проверим с помощью транспортира, что построенный луч является биссектрисой угла. BAD=30 CAD=30 Вывод: мы нашли способ построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img6.jpg)
Проверим с помощью транспортира, что построенный луч является биссектрисой угла.
BAD=30
CAD=30
Вывод: мы нашли способ построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки.
![Задание 3. Постройте угол, равный 60 , и с помощью циркуля и линейки постройте биссектрису этого угла, изменив радиусы вспомогательных окружностей. Проверьте с помощью транспортира , правильно ли построена биссектриса.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img7.jpg)
Задание 3. Постройте угол, равный 60 , и с помощью циркуля и линейки постройте биссектрису этого угла, изменив радиусы вспомогательных окружностей.
Проверьте с помощью транспортира , правильно ли построена биссектриса.
![Повторим этапы построения: 3 2 1 B D 2 2 А 1 C 1](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img8.jpg)
Повторим этапы построения:
3
2
1
B
D
2
2
А
1
C
1
![Случайно ли получилось, что АD является биссектрисой угла? Проведем доказательство того, что, работая по тому же алгоритму, всегда получим биссектрису угла. - В каком случае луч является биссектрисой угла? -Чтобы АD была биссектрисой, равенство каких углов необходимо доказать? D B А C - Как обычно доказывают равенство углов? - Какие треугольники можно рассмотреть?](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img9.jpg)
Случайно ли получилось, что АD является биссектрисой угла? Проведем доказательство того, что, работая по тому же алгоритму, всегда получим биссектрису угла.
- В каком случае луч является биссектрисой угла?
-Чтобы АD была биссектрисой, равенство каких углов необходимо доказать?
D
B
А
C
- Как обычно доказывают равенство углов?
- Какие треугольники можно рассмотреть?
![Вернемся к каждому шагу построения и посмотрим, какую информацию об этих треугольниках мы можем получить. - Итак, в нужных треугольниках мы нашли две пары равных элементов. А для равенства треугольников их нужно три. Посмотрим на чертеж, какое условие о нужных нам треугольниках можем выделить? - Что мы делали на первом шаге и равенство каких элементов треугольников можем отметить? -Что делали на втором шаге и равенство каких элементов треугольников можно отметить? D B А C Доказательство. Рассмотрим BAD и DAC BAD= DAC (по трем сторонам). Значит, BAD= DAC AD - биссектриса угла A.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img10.jpg)
Вернемся к каждому шагу построения и посмотрим, какую информацию об этих треугольниках мы можем получить.
- Итак, в нужных треугольниках мы нашли две пары равных элементов. А для равенства треугольников их нужно три. Посмотрим на чертеж, какое условие о нужных нам треугольниках можем выделить?
- Что мы делали на первом шаге и равенство каких элементов треугольников можем отметить?
-Что делали на втором шаге и равенство каких элементов треугольников можно отметить?
D
B
А
C
Доказательство.
Рассмотрим BAD и DAC
BAD= DAC (по трем сторонам).
Значит, BAD= DAC AD - биссектриса угла A.
![Мы построили биссектрису угла с помощью циркуля и линейки и доказали правильность построений. Повторим алгоритм построения биссектрисы угла. Алгоритм построения биссектрисы угла: 1. построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметить точки пересечения этой окружности со сторонами угла; 2. построить две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметить точку их пересечения. 3. из вершины угла через полученную точку построить луч. Этот луч и будет биссектрисой угла.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img11.jpg)
Мы построили биссектрису угла с помощью циркуля и линейки и доказали правильность построений. Повторим алгоритм построения биссектрисы угла.
Алгоритм построения биссектрисы угла:
1. построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметить точки пересечения этой окружности со сторонами угла;
2. построить две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметить точку их пересечения.
3. из вершины угла через полученную точку построить луч. Этот луч и будет биссектрисой угла.
![- Обязательно ли на втором шаге строить окружности тем же радиусом, что и первую? - Обязательно ли на втором шаге строить окружности одним и тем же радиусом? - На чем основано доказательство того, что построение выполнено правильно? - Почему AB=AC? - Почему BD=CD? - Какой третий элемент в треугольниках выделяли для равенства треугольников?](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img12.jpg)
- Обязательно ли на втором шаге строить окружности тем же радиусом, что и первую?
- Обязательно ли на втором шаге строить окружности одним и тем же радиусом?
- На чем основано доказательство того, что построение выполнено правильно?
- Почему AB=AC?
- Почему BD=CD?
- Какой третий элемент в треугольниках выделяли для равенства треугольников?
![Ученику требовалось построить биссектрису угла B. Опишите последовательность его действий. 1 2 N B B М 4 3 C C N N B B М М](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img13.jpg)
Ученику требовалось построить биссектрису угла B. Опишите последовательность его действий.
1
2
N
B
B
М
4
3
C
C
N
N
B
B
М
М
![Задание 5. Постройте угол, равный 81 , и разделите его пополам. Задание 6. BAC разделили на четыре равные части. По чертежу объясните процесс деления данного угла на четыре равные части. Задание 7. Дан ABC. Постройте биссектрису угла B . Задание 8. Дан четырехугольник ABCD. Постройте биссектрису угла D.](https://fsd.videouroki.net/html/2017/11/23/v_5a170da22a5a3/img14.jpg)
Задание 5. Постройте угол, равный 81 , и разделите его пополам.
Задание 6. BAC разделили на четыре равные части. По чертежу объясните процесс деления данного угла на четыре равные части.
Задание 7. Дан ABC. Постройте биссектрису угла B .
Задание 8. Дан четырехугольник ABCD. Постройте биссектрису угла D.