![ПРАКТИЧЕСКИЙ СЕМИНАР ПОДГОТОВКИ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» Составила учитель математики Максимова Т.М. МОУ Первомайская СОШ](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img0.jpg)
ПРАКТИЧЕСКИЙ СЕМИНАР ПОДГОТОВКИ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»
Составила учитель математики
Максимова Т.М.
МОУ Первомайская СОШ
![Треугольники Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площадь этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img1.jpg)
Треугольники
Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площадь этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
![Правильный треугольник Задание 1. Дан правильный треугольник со стороной 6. Найдите: 1) периметр; 2) высоту; 3) площадь; 4) радиус вписанной окружности; 5) длину вписанной окружности; 6) площадь вписанного круга; 7) радиус описанной окружности; 8) длину описанной окружности; 9) площадь описанного круга; 10) площадь четырёхугольника ОА 1 СВ 1 . Решение. 1) Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: Р=6+6+6=18.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img2.jpg)
Правильный треугольник
Задание 1. Дан правильный треугольник со стороной 6. Найдите:
1) периметр; 2) высоту; 3) площадь; 4) радиус вписанной окружности;
5) длину вписанной окружности; 6) площадь вписанного круга;
7) радиус описанной окружности; 8) длину описанной окружности;
9) площадь описанного круга; 10) площадь четырёхугольника ОА 1 СВ 1 .
Решение.
1) Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: Р=6+6+6=18.
![2)Все высоты в равностороннем треугольнике равны. Найдём, например, высоту ВВ 1 из треугольника АВВ 1 . В 6 А С В 1 3 По теореме Пифагора: 3) Найдём площадь треугольника, зная длину стороны АС, и проведённую к ней высоту ВВ 1 :](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img3.jpg)
2)Все высоты в равностороннем треугольнике равны. Найдём, например, высоту ВВ 1 из треугольника АВВ 1 .
В
6
А
С
В 1
3
По теореме Пифагора:
3) Найдём площадь треугольника, зная длину стороны АС, и проведённую к ней высоту ВВ 1 :
![4) В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают. Центром окружностей является точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Радиусом вписанной окружности является В А 1 6 О С 3 А В 1 5) Длина вписанной окружности С равна 2 π r , где r =ОВ 1 = . С=2 π . 6) Площадь вписанного круга S равна π r² , где r = ОВ 1 = . S = π ( )²= 3 π . 7) В равностороннем треугольнике центр описанной окружности – это точка пересечения медиан, биссектрис и высот, поэтому радиусом описанной окружности является ОВ= ВВ 1 = *3 =2](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img4.jpg)
4) В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают. Центром окружностей является точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Радиусом вписанной окружности является
В
А 1
6
О
С
3
А
В 1
5) Длина вписанной окружности С равна 2 π r , где r =ОВ 1 = . С=2 π .
6) Площадь вписанного круга S равна π r² , где r = ОВ 1 = . S = π ( )²= 3 π .
7) В равностороннем треугольнике центр описанной окружности – это точка пересечения медиан, биссектрис и высот, поэтому радиусом описанной окружности является
ОВ= ВВ 1 = *3 =2
![8) Длина описанной окружности С = 2 π r , где R=OB= 2 C=4 π 9) Площадь описанного круга равна π R² , поэтому S= π (2 )²=12 π . 10) Медианы треугольника, пересекаясь, образуют шесть треугольников равных по площади, поэтому S OBC 1 = S ABC . Найдём площадь четырёхугольника ОА 1 СВ 1 : S OA 1 CB 1 = 2S OB 1 C = 2* S ABC = * 9 = 3 B C 1 A 1 C A B 1](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img5.jpg)
8) Длина описанной окружности С = 2 π r , где R=OB= 2
C=4 π
9) Площадь описанного круга равна π R² , поэтому S= π (2 )²=12 π .
10) Медианы треугольника, пересекаясь, образуют шесть треугольников равных по площади, поэтому S OBC 1 = S ABC .
Найдём площадь четырёхугольника ОА 1 СВ 1 :
S OA 1 CB 1 = 2S OB 1 C = 2* S ABC = * 9 = 3
B
C 1
A 1
C
A
B 1
![Углы при основании равнобедренного треугольника равны. В равнобедренном треугольнике три отрезка – высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию равны. Задание 2. Дан равнобедренный треугольник с основанием 16 и боковой стороной 10. Найдите: площадь; 2) радиус описанной окружности; 3) радиус вписанной окружности; 4) определите вид угла А; 5) высоту, проведённую к боковой стороне; 6) медиану, проведённую к боковой стороне. Решение. Проведём высоту АН к основанию ВС. Найдём АН по теореме Пифагора из треугольника АНС: АН= = = =6 S АВС = АН*ВС = * 6*16=48 А 10 С В 16](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img6.jpg)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. В равнобедренном треугольнике три отрезка – высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию равны.
Задание 2. Дан равнобедренный треугольник с основанием 16 и боковой стороной 10. Найдите:
- площадь; 2) радиус описанной окружности; 3) радиус вписанной окружности; 4) определите вид угла А; 5) высоту, проведённую к боковой стороне; 6) медиану, проведённую к боковой стороне.
Решение.
- Проведём высоту АН к основанию ВС. Найдём АН по теореме Пифагора из треугольника АНС:
АН= = = =6
S АВС = АН*ВС = * 6*16=48
А
10
С
В
16
![Площадь треугольника можно найти и по формуле Герона. Периметр треугольника равен Р=10+10+16=36, поэтому полупериметр равен18. А S АВС = = = 6*8=48 2) Радиус описанной окружности R найдём, используя формулу для площади треугольника S= . Получим: R = = = = 8 3) Радиус вписанной окружности r найдём, используя формулу для площади треугольника S ABC = p*r , где p = = = 18 и S = 48 Имеем: r = = = 2 10 В С 8 Н](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img7.jpg)
Площадь треугольника можно найти и по формуле Герона. Периметр треугольника равен Р=10+10+16=36, поэтому полупериметр равен18.
А
S АВС = = = 6*8=48
2) Радиус описанной окружности R найдём, используя формулу для площади треугольника S= . Получим: R = = = = 8
3) Радиус вписанной окружности r найдём, используя формулу для площади треугольника S ABC = p*r , где p = = = 18 и S = 48
Имеем: r = = = 2
10
В
С
8
Н
![4) Найдём вид угла А. По теореме косинусов ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС* COS А, 16²=10²+10²-2*10*10*СО S А С OS A = = -0 ,28 Получили, что со s А 5) Для нахождения высоты, проведённой к боковой стороне, воспользуемся следующей формулой для площади треугольника: S ABC = A N 10 B C 16](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img8.jpg)
4) Найдём вид угла А. По теореме косинусов ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС* COS А, 16²=10²+10²-2*10*10*СО S А
С OS A = = -0 ,28
Получили, что со s А
5) Для нахождения высоты, проведённой к боковой стороне, воспользуемся следующей формулой для площади треугольника:
S ABC =
A
N
10
B
C
16
![6) Найдём длину медианы ВМ, проведённой к стороне АС. Найдём COS АСВ из треугольника АСН: COS АСВ=0,8. По теореме косинусов ВМ²=ВС²+МС²-2ВС*МС* cos АСВ, ВМ²=16²+5²-2*16*5*0,8, ВМ²=153, ВМ= А М 5 16 С В](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img9.jpg)
6) Найдём длину медианы ВМ, проведённой к стороне АС. Найдём COS АСВ из треугольника АСН: COS АСВ=0,8. По теореме косинусов
ВМ²=ВС²+МС²-2ВС*МС* cos АСВ,
ВМ²=16²+5²-2*16*5*0,8,
ВМ²=153,
ВМ=
А
М
5
16
С
В
![Прямоугольный треугольник ( a- катет, b- катет, с-гипотенуза) В прямоугольном треугольнике а²+ b²=c² (теорема Пифагора). Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R= Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img10.jpg)
Прямоугольный треугольник ( a- катет, b- катет, с-гипотенуза)
В прямоугольном треугольнике а²+ b²=c² (теорема Пифагора).
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R=
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
![Задание 3. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите: 1) периметр; 2) площадь; 3) радиус описанного круга; 4) радиус вписанной окружности; 5) тригонометрические функции меньшего угла; 6) высоту, проведённую к гипотенузе; 7) медиану, проведённую к гипотенузе; 8) биссектрису большого угла. Решение Найдём третью сторону (гипотенузу). По теореме Пифагора: АВ²=АС²+ВС²=8²+6²=64+36=100. АВ =10 Найдём периметр треугольника Р=6+8+10=24. 2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. S АВС = А 8 С В 6](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img11.jpg)
Задание 3. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите: 1) периметр; 2) площадь; 3) радиус описанного круга; 4) радиус вписанной окружности; 5) тригонометрические функции меньшего угла;
6) высоту, проведённую к гипотенузе; 7) медиану, проведённую к гипотенузе;
8) биссектрису большого угла.
Решение
- Найдём третью сторону (гипотенузу). По теореме Пифагора:
АВ²=АС²+ВС²=8²+6²=64+36=100. АВ =10
Найдём периметр треугольника Р=6+8+10=24.
2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.
S АВС =
А
8
С
В
6
![3) Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника является серединой гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R= 4) Радиус вписанной окружности r найдём, используя формулу для площади треугольника S АВС = p*r , где p= . Получим, r= 5) В исходном треугольнике меньшей стороной является катет ВС, поэтому меньшим углом треугольника является угол А. cos A= , sin A= , tg A= , с tg A= 6) Для нахождения высоты, проведённой к гипотенузе, выразим площадь треугольника через гипотенузу и высоту СН: S АВС = . Зная площадь найдём СН: СН= А 8 Н С В 6](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img12.jpg)
3) Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника является серединой гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
R=
4) Радиус вписанной окружности r найдём, используя формулу для площади треугольника S АВС = p*r , где p= . Получим, r=
5) В исходном треугольнике меньшей стороной является катет ВС, поэтому меньшим углом треугольника является угол А.
cos A= , sin A= , tg A= , с tg A=
6) Для нахождения высоты, проведённой к гипотенузе, выразим площадь треугольника через гипотенузу и высоту СН: S АВС = . Зная площадь найдём СН:
СН=
А
8
Н
С
В
6
![7) Так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то СМ= 8) Для нахождения длины биссектрисы CL прямого угла С, используем свойство биссектрисы угла треугольника: 3 AL=4LB C другой стороны, AL+LB=10 Решим систему 3 AL=4LB 3(10- LB)=4LB , 7 LB=30 AL=10-LB ; AL=10-LB ; AL=10-LB. Получим AL= а BL= По теореме синусов из треугольника CLB : A 8 L B C 6](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img13.jpg)
7) Так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то СМ=
8) Для нахождения длины биссектрисы CL прямого угла С, используем свойство биссектрисы угла треугольника:
3 AL=4LB
C другой стороны, AL+LB=10
Решим систему
3 AL=4LB 3(10- LB)=4LB , 7 LB=30
AL=10-LB ; AL=10-LB ; AL=10-LB.
Получим AL= а BL=
По теореме синусов из треугольника CLB :
A
8
L
B
C
6
![Параллелограмм Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. S=ah a , S=ab sin(a , b) , где a и b – смежные стороны параллелограмма, h a – высота, проведённая к стороне а. Задание 4. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 100°. Найдите углы параллелограмма. Решение. Пусть меньший угол параллелограмма равен х, тогда большой угол равен 100°+х. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, в параллелограмме равна 180°, то х+100°+х=180° и х=40°. Большой угол параллелограмма равен 140°. Ответ: 40° и 140°. В С 100°+x х А D](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img14.jpg)
Параллелограмм Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
S=ah a , S=ab sin(a , b) , где a и b – смежные стороны параллелограмма, h a – высота, проведённая к стороне а.
Задание 4. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 100°. Найдите углы параллелограмма.
Решение.
- Пусть меньший угол параллелограмма равен х, тогда большой угол равен 100°+х. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, в параллелограмме равна 180°, то х+100°+х=180° и х=40°.
- Большой угол параллелограмма равен 140°.
Ответ: 40° и 140°.
В
С
100°+x
х
А
D
![Задание 5. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О и АВ=13, AD=14 , BD=15 . Найдите: В С площадь; 2) площадь треугольника АВО; 3) высоты параллелограмма. Решение. Параллелограмм разбивается диагональю В D на два треугольника, равных по площади. Площадь треугольника АВ D можно найти по формуле Герона или следующим образом. Рассмотрим треугольник АВ D . Опустим высоту ВТ к стороне AD . Введём обозначения АТ=х, Т D =14-х. С помощью теоремы Пифагора выразим высоту ВТ из двух полученных прямоугольных треугольников: ВТ²=169-х² и ВТ²=225-(14-х)². Составим равенство, найдём х, а затем и высоту ВТ. 169-х²=225-(14-х)², 28х=140, х=АТ=5. O 13 А D 14](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img15.jpg)
Задание 5. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О и АВ=13, AD=14 , BD=15 .
Найдите:
В
С
- площадь; 2) площадь треугольника АВО; 3) высоты параллелограмма.
Решение.
- Параллелограмм разбивается диагональю В D на два треугольника, равных по площади. Площадь треугольника АВ D можно найти по формуле Герона или следующим образом. Рассмотрим треугольник АВ D . Опустим высоту ВТ к стороне AD . Введём обозначения АТ=х, Т D =14-х. С помощью теоремы Пифагора выразим высоту ВТ из двух полученных прямоугольных треугольников:
ВТ²=169-х² и ВТ²=225-(14-х)².
Составим равенство, найдём х, а затем и высоту ВТ.
169-х²=225-(14-х)²,
28х=140, х=АТ=5.
O
13
А
D
14
![Из треугольника АВТ найдём ВТ: ВТ²=169-25, ВТ=12 В Найдём площадь треугольника ABD : S ABD = Площадь параллелограмма ABCD равна 168. 2) Диагонали параллелограмма ABCD разбивают его на четыре равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника АВО в четыре раза меньше площади параллелограмма: S ABO = 13 15 А D x 14-x Т](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img16.jpg)
Из треугольника АВТ найдём ВТ: ВТ²=169-25, ВТ=12
В
Найдём площадь треугольника ABD :
S ABD =
Площадь параллелограмма ABCD равна 168.
2) Диагонали параллелограмма ABCD разбивают его на четыре равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника АВО в четыре раза меньше площади параллелограмма:
S ABO =
13
15
А
D
x
14-x
Т
![3) Одна высота параллелограмма уже найдена: ВТ=12. Для нахождения другой высоты параллелограмма ВН, воспользуемся формулой площади параллелограмма, связанной с высотами. В С 14 13 H D А T S ABCD = BH*DC , 168= BH*13 , ВН=12](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img17.jpg)
3) Одна высота параллелограмма уже найдена: ВТ=12. Для нахождения другой высоты параллелограмма ВН, воспользуемся формулой площади параллелограмма, связанной с высотами.
В
С
14
13
H
D
А
T
S ABCD = BH*DC , 168= BH*13 , ВН=12
![Квадрат. Имеет все свойства прямоугольника. Стороны квадрата равны. Диагонали квадрата перпендикулярны и равны. Задание 6. В квадрате стороной 6 найдите: 1) диагональ; 2)радиус описанной окружности; 3) площадь описанного круга; 4) радиус вписанной окружности; 5) длину вписанной окружности. Решение. Диагональ квадрата найдём из треугольника ABD по теореме Пифагора: BD²=AB²+AD² , BD²= 6 ²+ 6 ² , BD= =6 2) В квадрате центры описанной и вписанной окружностей совпадают с точкой пересечения диагоналей. Радиус описанной окружности R равен половине диагонали: R= C B C B O 6 6 A D D A](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img18.jpg)
Квадрат. Имеет все свойства прямоугольника. Стороны квадрата равны. Диагонали квадрата перпендикулярны и равны.
Задание 6. В квадрате стороной 6 найдите: 1) диагональ; 2)радиус описанной окружности; 3) площадь описанного круга; 4) радиус вписанной окружности; 5) длину вписанной окружности.
Решение.
- Диагональ квадрата найдём из треугольника ABD по теореме Пифагора:
BD²=AB²+AD² , BD²= 6 ²+ 6 ² , BD= =6
2) В квадрате центры описанной и вписанной окружностей совпадают с точкой пересечения диагоналей. Радиус описанной окружности R равен половине диагонали:
R=
C
B
C
B
O
6
6
A
D
D
A
![3) Найдём площадь описанного круга: S= π r²= π *(3 )²= 18 π . 4) Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: r= 5) Найдём длину вписанной окружности С=2 π r=2 π *3=6 π .](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img19.jpg)
3) Найдём площадь описанного круга: S= π r²= π *(3 )²= 18 π .
4) Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата:
r=
5) Найдём длину вписанной окружности
С=2 π r=2 π *3=6 π .
![Трапеция S= , где a и b – основания трапеции, h – её высота. Средняя линяя трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img20.jpg)
Трапеция
S= , где a и b – основания трапеции, h – её высота.
Средняя линяя трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
![Дана трапеция ABCD c основаниями AD=16 , BC=2 . Боковые стороны трапеции равны 13 и 15. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите: 1) среднюю линию трапеции; 2) высоту; 3) площадь. В C E 15 13 D А 16 Решение. Средняя линия трапеции ( L) равна полусумме оснований трапеции: L= 2) Чтобы найти высоту исходной неравнобедренной трапеции, используем дополнительное построение: проведём отрезок BN , параллельный CD . Отрезок BN разбивает трапецию на две части: BCDN и треугольник ABN . Высота треугольника ABN , опущенная из вершины В, равна высоте исходной трапеции.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img21.jpg)
Дана трапеция ABCD c основаниями AD=16 , BC=2 . Боковые стороны трапеции равны 13 и 15. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите: 1) среднюю линию трапеции; 2) высоту; 3) площадь.
В
C
E
15
13
D
А
16
Решение.
- Средняя линия трапеции ( L) равна полусумме оснований трапеции:
L=
2) Чтобы найти высоту исходной неравнобедренной трапеции, используем дополнительное построение: проведём отрезок BN , параллельный CD . Отрезок BN разбивает трапецию на две части: BCDN и треугольник ABN . Высота треугольника ABN , опущенная из вершины В, равна высоте исходной трапеции.
![C B 15 13 15 D N 2 A H Найдём высоту треугольника ABN . B 13 15 x A N H 14-x Из треугольника АВН по теореме Пифагора ВН²=13²-х². Из треугольника BHN по теореме Пифагора ВН²=15²-(14-х)². 15²-(14-х)²=13²-х², х=5 и ВН=12. Найдём площадь трапеции: S АВС D = *BN=9*12=108](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img22.jpg)
C
B
15
13
15
D
N
2
A
H
Найдём высоту треугольника ABN .
B
13
15
x
A
N
H
14-x
Из треугольника АВН по теореме Пифагора ВН²=13²-х².
Из треугольника BHN по теореме Пифагора ВН²=15²-(14-х)².
15²-(14-х)²=13²-х², х=5 и ВН=12.
Найдём площадь трапеции: S АВС D = *BN=9*12=108
![Вписанные углы. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой. Задание 7. Центральный угол MON на 50° больше вписанного угла, опирающегося на дугу MN . Найдите каждый из этих углов.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img23.jpg)
Вписанные углы.
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
Вписанный угол,
опирающийся на полуокружность, - прямой.
Задание 7. Центральный угол MON на 50° больше вписанного угла, опирающегося на дугу MN . Найдите каждый из этих углов.
![А O N М Решение. Вписанный угол MAN и центральный MON угол опираются на одну и ту же дугу MN , поэтому MAN= MON . По условию MON= MAN+50°. Получим, что MON = MON+50° , значит, MON=100° и MAN=50°](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img24.jpg)
А
O
N
М
Решение.
Вписанный угол MAN и центральный MON угол опираются на одну и ту же дугу MN , поэтому MAN= MON . По условию MON= MAN+50°.
Получим, что MON = MON+50° , значит, MON=100° и MAN=50°
![](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img25.jpg)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img26.jpg)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img27.jpg)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img28.jpg)
![Литература Подготовка к ГИА 9 класс, 2013г. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина Тематические тренировочные задания 2013г. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. Тренировочные задания 2013г. Т.А Корешкова, В.В.Мирошин, Н.В Шевелева. Ященко и др. Три модуля 2013г.](https://fsd.videouroki.net/html/2018/02/03/v_5a75ee8da641a/img29.jpg)
Литература
- Подготовка к ГИА 9 класс, 2013г. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина
- Тематические тренировочные задания 2013г. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина.
- Тренировочные задания 2013г. Т.А Корешкова, В.В.Мирошин, Н.В Шевелева.
- Ященко и др. Три модуля 2013г.