Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность

Автор:

Сидорова А.В.

учитель математики

МБОУ г. Мурманска СОШ № 31

Решим задачу

• Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 5 кг клубники, если по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара?

• 3 : 2 = 1,5 (кг) – сахара на 1 кг ягод
• 1,5 ⋅ 5 = 7,5 (кг) – сахара на 5 кг ягод.

А если ягод собрали 7 кг? 10 кг? 22 кг?

Ягоды

Сахар

1

2

1,5

3

5

7

7,5

10,5

10

22

15

33

Запишем формулу

у = 1,5 x ,

где 1,5– постоянная величина, в нашем примере масса сахара на 1 кг ягод.

x – это сколько килограммов ягод взяли.

у – это, сколько килограммов сахара понадобится для х кг ягод.

Вывод: при увеличении количества ягод в несколько раз, во столько же раз больше понадобится сахара .

Такие величины, как масса ягод для варенья и масса сахара называют прямо пропорциональными величинами.

Леонард Эйлер

“ Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями”.

Определение

• Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx , где x – независимая переменная, k – не равное нулю число.
• Число k в формуле y = kx называется коэффициентом пропорциональности.

Примеры

y = 4 x , k = 4

y = -7 x , k = -7

y = x , k =

0, т.е. зависимость s от t является прямой пропорциональностью. " width="640"

Примеры из повседневной жизни

• Пример 1 . Путь s км, пройденный автомобилем за t ч с постоянной скоростью 70 км/ч, вычисляется по формуле:

s = 70 t , где t 0,

т.е. зависимость s от t является прямой пропорциональностью.

Примеры из повседневной жизни

Пример 2. Стоимость p товара в рублях

по цене15р. за килограмм вычисляется

по формуле:

р = 15 х ,

где х – масса товара в килограммах.

Зависимость р от х является прямой

пропорциональностью.

Примеры из повседневной жизни

Пример 3. Длина окружности С вычисляется по формуле:

C = 2 π r ,

где r - радиус окружности,

π 3,14.

Значит, зависимость С от r является

прямой пропорциональностью

( коэффициент пропорциональности здесь

равен 2 π).

График прямой пропорциональности

Построим график функции у = 2 х .

Область определения- множество действительных чисел.

х

у

-2

-1

0

1

2

-4

-2

0

2

4

Y

4

3

у = 2х

2

1

-2

-4

-3

2

-1

4

3

1

Х

О

-1

-2

-3

-4

График прямой пропорциональности представляет

собой прямую, проходящую через начало координат .

Правило построения графика прямой пропорциональности

Чтобы построить график функции

у = k x, достаточно:

• найти координаты какой-нибудь точки графика этой функции, отличной от начала координат,
• отметить эту точку и через неё и начало координат провести прямую.

Построим график функции

Y

у = - 2х.

4

у = - 2х

Х

0

у

1

3

2

-2

0

1

3

2

-1

-2

-3

-4

4

1

Х

О

-1

-2

-3

-4

0 1 -2 1 -4 2 -3 4 О -3 Х -4 Если k 0 , то график расположен в ׀ и в ׀׀׀ координатных четвертях. " width="640"

Расположение графика функции у = kx

Y

3

2

k 0

1

-2

1

-4

2

-3

4

О

-3

Х

-4

Если k 0 , то график расположен

в ׀ и в ׀׀׀ координатных четвертях.

Расположение графика функции у = kx

Y

k

1

1

О

Х

Если k , то график расположен во ׀׀ и в ׀ V

координатных четвертях.

0 2 k 3 4 2 k 0 3 k -2 1 -3 -4 2 1 Х О 4 -3 -4 " width="640"

Определите знак коэффициента k

Y

1

k 0

2

k

3

4

2

k 0

3

k

-2

1

-3

-4

2

1

Х

О

4

-3

-4

Установите соответствие между функциями и их графиками.

•  

А) y =3x Б) у = х В) у = - х

Графики:

1) 2) 3)

Ответ:

А

Б

В

3

1

2

Найдите значение k и формулы, задающие эти функции

у = х

 

у = -3х

у = 3х

у = -2х

у = - х

у = 2х

В каких координатных четвертях расположен график?

в ׀ и в ׀׀׀

у = 1,7х

•  

у = -2,5х

у = 6 х

У = -5 х

во ׀׀ и в ׀ V

в ׀ и в ׀׀׀

во ׀׀ и в ׀ V

Напишите формулу, выражающую зависимость

• Велосипедист движется с постоянной скоростью 14 км/ч. Какой путь проедет велосипедист за t часов?

s = 14 t

• Найдите периметр квадрата Р со стороной а .

P = 4 a

• Найдите стоимость товара р в рублях, если купили х кг по цене 10 р.

p = 10 х