"Правильные многогранники"

Цели урока:

Обучающие:

• повторить и обобщить теоретический материал по теме «Многогранники»;

• ввести понятие правильного многогранника;

• рассмотреть пять видов правильных многогранников;

Развивающие:

• формирование пространственного воображения и графической грамотности;

• формирование умений обобщать, систематизировать, видеть закономерности;

• развитие монологической речи учащихся;

Воспитательные:

• воспитание эстетического вкуса;

• воспитание умения слушать;

• формирование интереса к предмету.

Межпредметные связи: история, биология, химия, география.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор.

• Таблица с изображением пяти правильных многогранников.

• Учебник «Геометрия 10-11 класс» - Атанасян Л.С.

• Модели правильных и полуправильных многогранников, развертки правильных и полуправильных многогранников.

• Репродукции картин Сальвадора Дали «Тайная вечеря», «Гиперкубическое распятие», А. Дюрера «Меланхолия», портрет И. Кеплера, изображение скульптуры «Платон».

• Таблицы, изображение «Космический кубок» Кеплера (модели Солнечной системы)

• Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.

Дидактический материал:

видео-презентация: «Виды правильных многогранников»; информационный материал: «Правильные многогранники».

Раздаточный материал: инструкции по склеиванию правильных многогранников.

Эпиграф

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Л. Кэрролл

Ход урока:

1. Организационный момент: сообщение темы урока, сформулировать цели урока (записано на доске).

2. Проверка домашнего задания (2 человека у доски).

3. Изучение нового материала.

Вступительное слово преподавателя:

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. 

На данный момент вы уже имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. Теперь у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогран­никах, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках. С некоторыми понятиями вы уже знакомы - это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их.

• Дайте определение многогранника.

• Какой многогранник называется выпуклым?

Вами уже использовались словосочетания «правильные призмы» и «правильные пирамиды». Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометри­ческой точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правиль­ными? Определение (слайд 4).

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем лее числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пяти­угольники.

Рассмотрим правильные многогранники:

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число гра­ней:

«эдра» - грань

«гетра»4

«гекса»6

«окта»-8

«икоса-20

«додека» - 12

Изучая любые многогранники, необходимо конечно же определить его свойства, для этого предлагаю определить количество граней, ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице.

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пя­ти, нет.

Обращаю внимание на слова Л. Кэрролла, которые являются эпиграфом сегодняшнего урока: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажут… (Сообщения студентов)

Сообщение 1. «Правильные многогранники в философской картине мира Платона».

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занима­ют видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр -как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI - XVII вв., когда жил и творил замеча­тельный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630).

Сообщение 2. «Кубок Кеплера».

Модель Солнечной системы И. Кеплера

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таб­лицы - столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы - как его собственных, так и вели­ких предшественников - астрономов. В этом мире вычисли­тельной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники бы­ли любимым предметом изучения, предположил, что сущест­вует связь между пятью правильными многогранниками и ше­стью открытыми к тому времени планетами Солнечной систе­мы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сфе­ру орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в кото­рый вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычисле­ний учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не яв­ляется случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых не­ожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Сообщение 3:«Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли»

Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устрой­ством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, кото­рую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они счи­тают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздейст­вие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точ­нее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают ря­дом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосфер­ного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят от­ношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники зани­мают важное место.

Сообщение 4: "Тайная вечеря" С. Дали

Большой интерес к формам правильных мно­гогранников проявляли также скульпторы, ар­хитекторы, художники. Их всех поражало со­вершенство, гармония многогранников. Лео­нардо да Винчи (1452 - 1519) увлекался тео­рией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими уче­никами на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные вы­пуклые многогранники, доказано, что существует все­го пять видов таких многогранников, но сам ли чело­век их придумал. Скорее всего - нет, он «подсмотрел» их у природы.

Сообщение 5. «Правильные многогранники и природа».

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточно­го организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарии? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодоле­вать давление водной толщи.

Сообщение 6: «Правильные многогранники и химия».

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко поль­зуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поварен­ную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока, а кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без серни­стого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сер­нокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свой­ства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

1. Домашнее задание будет сегодня творческим: склеить модели правильных многогранников на выбор.

1. Подведение итогов.

Прежде чем закончить урок мне хочется рассказать вам притчу.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановил первого и спросил: «Что ты делал целый день?» Человек ответил, что возил проклятые камни. Второй ответил, что он добросовестно выполнял свою работу. А третий улыбнулся и сказал радостно: «Я принимал участие в строительстве храма!».

Давайте оценим каждый свою работу сегодня на уроке:

• Кто работал как первый человек?

• Кто работал добросовестно?

• А кто «принимал участие в строительстве храма?»