Правильные многогранники

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждении

«Средняя общеобразовательная школа №4»

г. Южно-Сухокумск

Подготовила:

учитель математики и информатики МКОУ СОШ №4

Набиева Роза Мусаевна

г. Южно-Сухокумск

2017-2018 учебный год

"Правильные многогранники"

Цель урока: Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.

Задачи урока:

1. Образовательные:

• повторение общих сведений о многогранниках;

• изучение пяти видов правильных многогранников, истории их открытия, связи с окружающей действительностью;

• закрепление знаний в процессе решения задач, выполнения индивидуальных и групповых заданий.

2. Развивающие:

• развитие образного мышления учащихся;

• развитие навыков анализирования, сравнения, обобщения и систематизации информации;

• развитие навыков самостоятельной работы учащихся и навыков работы в группе.

3. Воспитательные:

• стимулирование познавательной активности учащихся;

• воспитанник культуры конструктивного мышления, культуры владения математическим языком;

• воспитание личностных качеств, обеспечивающих продуктивную исполнительскую и творческую деятельность.

Средства обучения:

конспекты лекций, учебники;

доска, компьютер, мультимедийный проектор;

раздаточный материал;

модели многогранников.

Межпредметные связи: философия, история, биология, физика, химия

Ход урока

1. Орг. момент

2. Повторение пройденного в форме математического диктанта:

Преподаватель: Занятие мы начнем с математического диктанта, в результате которого с одной стороны вы получите оценки за повторение изученного материала, а с другой у вас будет возможность самостоятельно сформулировать тему сегодняшнего урока.

Задачная формулировка: правильные ответы на поставленные вопросы отметьте в указанной таблице и полученные ответы замените буквами.

Критерии оценивания:

«5» - 9-10 правильных ответов;

«4» - 7-8 правильных ответов;

«3» - 5-6 правильных ответов;

«2» - 0-4 правильных ответов.

Вопросы математического диктанта:

1) Сколько вершин имеет шестиугольная призма?

2) Какое наименьшее число рёбер может иметь призма?

3) Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольной призме?

4) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1м, 2м, 3м. Найдите площадь его полной поверхности.

5) Три грани параллелепипеда имеют площади 2м², 3м², 4м². Найдите площадь его полной поверхности.

6) Боковое ребро прямой призмы равно 7 см, а одна из его диагоналей равна 14 см. Найдите угол между этой диагональю и плоскостью основания.

7) Высота пирамиды равна 3см. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания?

8) Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 м, а боковое ребро- 5м. Найдите апофему.

9) Каждое ребро треугольной пирамиды равно 3. Вычислите площадь полной поверхности.

10) Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

9

7

8

2

1

4

5

6

3

Таблица №1

Бланк для выполнения задания.

Ответы к таблице 1.

Обсуждая полученные результаты, учащиеся получают слово - ПРАВИЛЬНЫЕ.

После чего следует вопрос: «Как называется раздел геометрии, который мы сейчас изучаем?»

Предполагаемый ответ: МНОГОГРАННИКИ

3) Изучение нового материала.

I Этап

После обсуждения полученных в таблице результатов учащиеся формулируют тему урока: «Правильные многогранники».

Преподаватель: Тема нашего урока “Правильные многогранники” и эпиграфом урока являются слова английского писателя Льюиса Кэрролла, автора всем вам известной книги “Алиса в стране чудес”:

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Л. Кэрролл

Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “Правильные многогранники”.

При изучении темы "Правильные многогранники" не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? И многие-многие другие… И, наконец: где в жизни можно встретить правильные многогранники…

Всего существует пять правильных многогранников.

Тетраэдр – правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.

Гексаэдр, или куб, – правильный многогранник, составленный из 6 квадратов.

Октаэдр – правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников

Додекаэдр – правильный многогранник, составленный из 12 правильных пятиугольников.

Икосаэдр – правильный многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками увлекались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Задание 1. Решить анаграмму и исключить лишнее слово.

Примечание: слово «анаграмма» греческого происхождения и означает перестановку букв в слове, приводящую к другому слову.

у б к, р и а п м з, т а р д э т е р, т о д а к р э,

д к а и с о р э, д е о д э к д а р

Ответ: куб, призма, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Лишнее слово – призма.

Об этих телах речь пойдет при решении задач.

Видео-ролик “Правильные многогранники в философской картине мира Платона”

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

II Этап

Учащиеся делятся на группы и выполняют задания исследовательского характера:

1. С помощью демонстрационных макетов перечислить признаки правильных многогранников и попытаться самостоятельно сформулировать определение правильного многогранника.

2. Показать, почему не существует правильных многогранников, составленных из n-многоугольников при n больших, либо равных 6.

3. Исследовательская работа «Формула Эйлера».

4. Задача на формулу Эйлера.

Каждое выполненное задание оценивается по 5-ти бальной шкале.

1) Таблица 2 (для выполнения задания 1)

Предполагаемые ответы к таблице 2

Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Учащиеся записывают определение в тетрадь.

2) Исследовательская работа “Формула Эйлера”

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” - 12

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

Вот теперь закономерность видна. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

Учащиеся вместе с преподавателем делают вывод: Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

3) Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Прогнозируемый ответ:

вершин: 10; граней: 12; рёбер: 20.

Формула Эйлера: 12+10=20+2 (верно).

Вернемся к нашему эпиграфу: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать?

Сообщение “Правильные многогранники в науке и искусстве”

III Этап

Учащиеся выполняют задания по группам на закрепление изученного материала.

1) Найти в таблице слова и объяснить значение любых 5 слов

(За каждое правильное определение - 1 балл)

2) Конкурс «Кроссворд».

(1 балл за каждый правильный ответ)

1. Стереометрия

2. Прямоугольник

3. Тригонометрия

4. Тетраэдр

5. Апофема

6. Куб

7. Аксиома

8. Ось

9. Лемма

10. Грань

11. Октаэдр

Тест.

1. Какой правильный многогранник имеет двадцать вершин?

1. Тетраэдр Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

1. У какого правильного многогранника сумма всех плоских углов при одной вершине равна ?

1. 2.1. Куб

2. 2.2. Октаэдр

3. 2.3. Додекаэдр

4. 2.4. Икосаэдр

1. Какое утверждение относительно правильных многогранников неверно?

• Только у трех правильных многогранников гранями являются правильные треугольники

• Только у одного правильного многогранника гранями являются квадраты

• Только у одного правильного многогранника гранями являются правильные шестиугольники

• Только у одного правильного многогранника гранями являются правильные пятиугольники

1. Какой правильный многогранник имеет двенадцать граней?

1. 4.1. Куб

2. 4.2. Октаэдр

3. 4.3. Додекаэдр

4. 4.4. Икосаэдр

1. Все грани правильного икосаэдра правильные

1. 5.1. Треугольники

2. 5.2. Квадраты

3. 5.3. Пятиугольники

4. 5.4. Шестиугольники

1. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани:

2. 6.1. Правильные многоугольники

3. 6.2. Равные многоугольники

4. 6.3 Многоугольники

5. 6.4. Равные правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер

7. Итоги и выставление оценок.

9. Учащиеся подсчитывают общее количество баллов команды и распределяют их между собой в виде оценок.

10. Подходит к концу урок, подведём итоги.

11. -Что нового вы узнали сегодня на уроке?

12. -Что понравилось на уроке?

13. -Какой материал был наиболее интересен?

14. -В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?

16. Домашнее задание:

1. № 63, 67, склеить модели правильных многогранников на выбор

1. 2. Сообщение в подтверждение эпиграфа

2. Дополнительные сведения. Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда.

3. Сообщение “Полуправильные многогранники и правильные звездчатые многогранники”

4. Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом.

5. Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).

6. 

7. 

8.