Практическое занятие по теме "Комплексные числа"

Практическая работа №5

Тема: «Комплексные числа»

Цели: научиться находить целую и мнимую части, модуль комплексного числа, выполнять арифметические операции с комплексными числами (сложение и вычитание, умножение и деление), а также возведение мнимой единицы в степень, решать квадратные уравнения в комплексных числах.

Краткая теоретическая справка.

Число вида , где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Re z) комплексного числа z, число b называется мнимой частью (Im z) комплексного числа  z.

Число   называется сопряженным комплексному числу z.

Множество комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой. Комплексная плоскость состоит из двух осей:
 – действительная ось
 – мнимая ось

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , 
, , 
, , , 

Модулем комплексного числа z  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом. Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: . По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: 

Действия с комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел. Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части.

Пример №1.

1. Вычитание комплексных чисел. Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака.

Пример №2.

1. Умножение комплексных чисел. При умножении комплексных чисел необходимо воспользоваться правилом умножения многочленов: чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и помнить, что  

Пример №3.

1. Деление комплексных чисел. Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

1. Модуль комплексного числа: 

Пример №5. ;

1. Возведение мнимой единицы в степень.

Пример №6. Возвести в степень комплексные числа , , 

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

1. Извлечение корней из комплексных чисел.
   Квадратное уравнение с комплексными корнями

Пример №7.

В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

, , , ,  и т.д.

Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Пример 8. Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант:

 – сопряженные комплексные корни

Порядок выполнения работы.

1. Внимательно изучите теоретическую справку по теме и рассмотрите примеры решения некоторых заданий.

2. Выполните упражнения из учебника (вместе под руководством преподавателя).

Стр. 19. №1.29А(1,3) Б(1,3).

1. Выполните самостоятельную работу по образцу.

1. Задание на дом: Стр. 12 №1.17 А (1-3), №1.18 А (1)