Перпендикулярные прямые

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

1. Прямые AM и CE пересекаются в точке О. Отметьте дугами вертикальные углы и выпишите их обозначения.

2. Чему равен угол, если вертикальный с ним угол равен 34°.

3. Один из четырех углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 140°. Чему равны остальные углы (только ответы).

4. Два угла с общей вершиной равны. Обязательно ли они вертикальные?

5. Первый угол равен 40°, второй - 140°. Могут ли эти углы быть смежными?

Решите устно: Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых – прямой. Найти остальные углы.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Теорема.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Доказательство - смотри презентацию.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Определение, обозначение, свойства.

Учитель Козина Н.А.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

• Прямые AM и CE пересекаются в точке О. Отметьте дугами вертикальные углы и выпишите их обозначения.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

• Чему равен угол, если вертикальный с ним угол равен 34 ° .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

• Один из четырех углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 140 ° . Чему равны остальные углы (только ответы).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

• Два угла с общей вершиной равны. Обязательно ли они вертикальные?

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

• Первый угол равен 40 ° , второй - 140 ° . Могут ли эти углы быть смежными?

УСТНО

• Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых – прямой. Найти остальные углы.

2

1

4

3

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

• В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом.

2

1

4

3

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Определение

• Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

b

a

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Обозначение

• Перпендикулярность прямых обозначается знаком  .
• a  b.

b

a

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Свойство

• Теорема.
• Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

c

b

a

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Свойство

• Теорема 2.3
• Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

ТЕОРЕМА 2.3

• Дано: a; точка A  a.
• Доказать:
• 1) существует прямая b, такая что b  a; A  b.
• 2) b – единственная.

b 1

a

a 1

A

Доказательство

• 1) Пусть a 1 – полупрямая прямой a с началом в точке А;
• Отложим  ( a 1 b 1 ) = 90 ° по аксиоме откладывания углов.

ТЕОРЕМА 2.3

• Доказать:
• 1) существует прямая b, такая что b  a; A  b.
• 2) b – единственная.

b 1

a

a 1

A

b

Доказательство

• Отложим  ( a 1 b 1 ) = 90 ° по аксиоме откладывания углов.
• Прямая b содержит b 1 и b  a по определению.

ТЕОРЕМА 2.3

• Доказать:
• 1) существует прямая b, такая что b  a; A  b.
• 2) b – единственная.

b 1

a

a 1

A

Доказательство

b

c

• Прямая b содержит b 1 и b  a по определению.
• 2) Докажем, что b – единственная. Допустим, что существует прямая c  a, отличная от b и проходящая через точку A.

ТЕОРЕМА 2.3

• Доказать:
• 1) существует прямая b, такая что b  a; A  b.
• 2) b – единственная.

b 1

c 1

a

a 1

A

Доказательство

b

c

• 2) Допустим, что существует прямая c  a, отличная от b и проходящая через точку A.
• Тогда, полупрямая c 1 находится в той же полуплоскости, что и полупрямая b 1

ТЕОРЕМА 2.3

Доказательство

b 1

c 1

• Тогда, полупрямая c 1 находится в той же полуплоскости, что и полупрямая b 1 .

a

a 1

A

b

c

• Имеем:  (c 1 a 1 ) = 90°, но и  (b 1 a 1 ) = 90°, что невозможно по аксиоме откладывания углов.
• Значит, b – единственная.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Определение

• Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

A

a

B

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Учебник.П16. П17.

Вопрос 9 – 12..

Задачи №8, №10,

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

• № 1
• Дано:  COD = 75 °;  AOC и  COD – смежные ; OB  OC.
• Найти:  AOB.

C

B

75 °

O

A

D

Ответ:  AOB = 15 °

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

P

• № 2
• Дано:  AOM = 48 °;
• AO  PT.
• Найти:  TOK;
•  MOA +  POK.

M

K

48 °

O

A

T

K

Ответ:  TOK = 42 °

 MOA +  POK = 186°.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Учебник.П16. Вопрос 9.

Задачи №8, №10, №6(2).