Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом.

Тема: Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом

Цель: повторить аксиомы планиметрии; изучить аксиомы стереометрии и следствия из них; ознакомить с содержанием курса стереометрии.

Задачи

• сформировать у обучающихся представление о стереометрии как о разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве, сформулировать основные аксиомы стереометрии;

• способствовать развитию внимания, пространственного мышления, умению анализировать, применять знания в стандартных ситуациях,

• воспитывать у обучающихся интерес к изучению математики, развивать культуру устной и письменной математической речи,

• развивать у обучающихся коммуникативные компетенции .

Планируемые результаты: Сформировать представления студентов об аксиомах стереометрии, взаимном расположении прямой и плоскости, плоскостей в пространстве, способах задания плоскости в пространстве.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.

Дидактическое обеспечение урока: раздаточный материал.

1.Введение нового материала.

Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур).

Что такое планиметрия? (Изучает свойства фигур на плоскости).

В планиметрии основными фигурами является точка и прямая, они принимаются интуитивно. Слово «точка» в русском языке означало конец заточенного гусиного пера, которым раньше писали. 

Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометриию. Именно она формирует необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире.

Геометрия

Планиметрия Стереометрия

Изучает свойства фигур на плоскости. Изучает свойства фигур в пространстве

СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрио» - измерять.

Основные фигуры в пространстве: точка, прямая и плоскость. Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся во все стороны, не ограниченной. Сейчас мы живем в домах, которые представляют собой набор плоскостей, пользуемся мебелью, в которой плоские поверхности преобладают. Из определения «Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена ко всем прямым на ней лежащим» следует, что плоскость может состоять из точек, прямых линий или других плоскостей совпадающих с данной.

Необходимо отметить, что об этих фигурах мы имеем наглядное представление, но определения этих фигур в геометрии не даются. Их свойства выражены в аксиомах. С ними мы познакомимся немного позже.

Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела, изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах

дают окружающие нас предметы. Учитель показывает модели и приводит примеры из окружающей действительности.

Студенты изображают в тетрадях куб и выделяют другим цветом некоторые элементы (точки, отрезки), например: точка А, отрезок ВС ( или показывают на моделях ).

Отметим, что при изучении пространственных фигур, пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.

В знаменитом сочинении Евклида «Начала» (III в. до н.э.) были систематизированы основные известные в то время  геометрические сведения. Главное же − в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения, не требующие доказательства (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Впервые полная система аксиом геометрии Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943) в конце 19 века. Позже рассматривалась аксиоматика, предложенная советским академиком А.Н. Колмогоровым (1903-1987).
Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Некоторые из этих аксиом мы уже рассматривали.

Вопрос к обучающимся:

1) Что такое аксиома? (Аксиома — утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.)

2) Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

I группа: Принадлежности точек и прямых

I. 1. Какова бы не была прямая, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

I. 2.Через любые две точки можно провести прямую и при том только одну.

II группа: Расположение точек на прямой и плоскости

II. 1.Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

II. 2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

III Группа : Откладывание отрезков и углов

III. 1.На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок данной длины больше нуля и при том только один.

III. 2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной меры меньше 180⁰ и при том только один.

III. 3. Каков бы не был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно заданной полупрямой.

IV группа: Измерение отрезков и углов

IV. 1. Каждый отрезок имеет определённую длину больше 0. Длина отрезка равна сумме частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

IV. 2. Каждый угол имеет определённую градусную меру. Развернутый угол равен 180⁰. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

V группа: Параллельности

Через любую точку, не лежащую на данной прямой можно провести прямую параллельную данной и при том только одну.

Современные символические обозначения для плоскости, точек, прямых введены Гильбертом в «Основаниях геометрии».

Составим таблицу символических обозначений между основными геометрическими фигурами.

2.Аксиомы стереометрии

Аксиома А1: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна».

Важно отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Этот пример служит наглядным подтверждением того факта, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

ВОПРОСЫ:

-всегда ли три точки лежат в одной плоскости? (ДА)

-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? (Нет)

-всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? (нет)

-сколько плоскостей можно провести через две точки? (множество)

Аксиома А2: «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости».

Точки А и В лежат в плоскости a, значит и точка С лежит в плоскости a потому, что она лежит на прямой АВ.

ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:

-если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? (Нет)

-если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? (Да)

-если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника? (Да)

-если прямая проходит через одну из вершин треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника? (Нет)

-если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Да)

-если две противоположные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Нет)

Замечание: «Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая и плоскость пересекаются».

Аксиома А3: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей».

Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

ВОПРОСЫ:

могут ли две плоскости иметь:

-только одну общую точку? (Нет)

-только две общие точки? (Нет)

-только одну общую прямую? (Да)

-могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна

Дано: ,

Доказать:

1)

2)

Доказательство.

1. Существование.

Отметим точки:

. (Аксиома А1)

(Аксиома А2)

– искомая плоскость.

1. Единственность.

Любая другая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через B, C и A.

Через три точки проходит единственная плоскость (аксиома А1). Поэтому плоскость совпадет с плоскостью α.

Теорема доказана

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а, b,

Доказать:

1)

2)

Доказательство.

1. Существование.

Пусть .

Проведем плоскость через a и B.

(по аксиоме А2)

Плоскость проходит через обе прямые.

– искомая плоскость.

1. Единственность.

Пусть

Тогда

Через a и B проходит единственная плоскость.

Поэтому . Получили противоречие.

Значит, предположение неверное,

– единственная плоскость.

Теорема доказана.

III. Закрепление изученного материала

Рассмотрим модель куба АВСDA1B1C1D1.

ВОПРОСЫ:

а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC1, ABC, ADD1;

б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P1, R, S, N;

в) назовите плоскости , в которых расположены прямые KP, C1D1, RP, MK;

г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD1C1, BB1C1 и AA1B1, AA1D1 и A1B1C1;

д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK

DСС1, BDС1 и RSP;

е) назовите точки пересечения прямых DS и CC1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1;

ж) назовите общие точки плоскостей CDD1 и BCC1, ABC и AA1D1, BDC и ABB1.

Запишите ответы в тетрадь с помощью символики. Проверьте выполнение упражнения.

а) R DCC1, P  DCC1, S DCC1,

К  ABC, K1  ABC, P  ABC, P1 ABC,

M  ADD1, R  ADD1, K1  ADD1, P1  ADD1;

б) M  ABB1, M  ADD1, K  ABC, K  ABB1, P1  ABC, P1 DCC1, R  ADD1, R  DCC1, S  DCC1, N  A1B1C1, N  BCC1;

в) KP Ì ABC, C1D1 Ì CDD1, C1D1 Ì A1B1C1, RP Ì CDD1, MKÌ AA1B1;

г) ABC ∩ DD₁C₁=DC, BB₁C₁ ∩ AA₁B₁=BB₁, AA₁D₁ ∩ A₁B₁C₁=A₁D₁;

д) ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC₁ = RP, BDC₁ ∩ RSP = DC₁;

е) DS ∩ CC₁=C₁, AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P₁, KP ∩ AD=K₁, DC₁∩ RP₁=;

ж) C,C₁Ì (CDD₁∩BCC₁), A₁,D₁,K₁, P₁Ì (ABC∩AA₁D₁), A,K,BÌ (BDC∩ABB₁).

Задача 1.

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Если AB и CD пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом).

Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи.

Ответ: Нет

Задача 2.

Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;

Решение

Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки. Это наглядно видно из примера

Ответ: нет.

Задача 3.

Пусть

Так как любые три точки окружности A, B, C не лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, Bи C проходит единственная плоскость.

Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости. Поскольку в этой же плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью

Итак, вся окружность лежит в плоскости, в которой лежат три ее точки.

Ответ: Верно.

Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точкуM и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Дано:a, b, , , :

Доказать: a, b, c – лежат в одной плоскости

Определить: Лежат ли a, b, d в одной плоскости?

Решение.

(2 следствие аксиом),

2. Все прямые, проходящие через точку M, не обязательно лежат в плоскости . (по А2: необходимо чтобы две точки прямой лежали в плоскости)

Пример:

Задача 1 (а, б) с. 7.

Ответ:

а) Точки Р и Е лежат в плоскости (АDВ), а значит и прямая РЕ лежит в плоскости (АDВ) (по А₂). Аналогично МК лежит в плоскости (ВDС). Точки В и D лежат одновременно в плоскостях (АDВ) и (ВDС), а значит прямая ВD лежит в плоскостях (АDВ) и (АВС).

Аналогично АВ лежит в плоскостях (АDВ) и (АВС).

Точки С и Е лежат одновременно в плоскостях (АВС) и (DЕС), а значит прямая СЕ лежит в этих же плоскостях.

б) Заметим, что точка С лежит на прямой (DК) и в плоскости АВС, а следовательно, DК∩(АВС) в точке С, так как точек пересечения более одной (прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.

Аналогично СЕ пересекается с плоскостью (АDВ) в точке Е.

Задача 2(а) с. 7.

Ответ: а) В плоскости DСС₁: D, С, С₁, D₁, К, M, R (см. №1). В плоскости ВQС: В₁, В, Р, Q, С₁, М, С.

IV. Подведение итогов

Мы познакомились с новым разделом геометрии — стереометрией, узнали новые аксиомы, следствия их и использовали их при решении задач.

Объявление оценок (с комментариями).

Домашнее задание

1.Повторить аксиомы планиметрии. 2. № 1(в, г), №2 (б,д) (перечертить чертеж и ответ записать с помощью символики),3.Прочитать пункты 1, 2; 3 на стр. 4 – 7. 4.. Выучить аксиомы А₁—А₃, теоремы 1, 2 ( с доказательством); 5. Решить задачи №8 ( с объяснением ответов).

Задача 1(в, г)

Ответы:

в) в плоскости АDВ лежат точки: А, D, В, Е, Р, М, так как точка Е лежит на прямой АВ, а значит, и в плоскости АВD. В плоскости DВС лежат точки: D, В, С, M, К

г) плоскости АВС и DСВ пересекаются прямой ВС, так как обе точки В и С лежат в обеих плоскостях. Аналогично: АВD пересекается с СDА по прямой АD. Так как точка Е принадлежит РD, значит, Е принадлежит РDС и так как точка С принадлежит РDС, то прямая СЕ принадлежит РDС, а так как СЕ принадлежит АВС, то плоскости АВС и РDС пересекаются по прямой СЕ.

Задача 2 (б, д)

Ответы:

б) АА₁В₁; АА₁D₁.

д) МК∩DС = R; В₁С₁∩ВР =Q; С₁М∩DС = С.

Приложения

Таблица символических обозначений между основными геометрическими фигурами

Аксиомы планиметрии

I группа: Принадлежности точек и прямых

I. 1. Какова бы не была прямая, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

I. 2.Через любые две точки можно провести прямую и при том только одну.

II группа: Расположение точек на прямой и плоскости

II. 1.Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

II. 2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

III Группа : Откладывание отрезков и углов

III. 1.На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок данной длины больше нуля и при том только один.

III. 2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной меры меньше 180⁰ и при том только один.

III. 3. Каков бы не был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно заданной полупрямой.

IV группа: Измерение отрезков и углов

IV. 1. Каждый отрезок имеет определённую длину больше 0. Длина отрезка равна сумме частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

IV. 2. Каждый угол имеет определённую градусную меру. Развернутый угол равен 180⁰. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

V группа: Параллельности

Через любую точку, не лежащую на данной прямой можно провести прямую параллельную данной и при том только одну.