Получите свидетельство
Вход
Размышления над задачами развивает интеллект, способствует повышению уровня математической грамотности. Математические олимпиады проводятся в школе, как правило, начиная со второго класса. Но в старших классах интерес к занимательным задачам пропадает у многих, в связи с трудностью их решения, поэтому я хочу поделиться решением оригинальных логических и олимпиадных задач, возможно, они пригодятся при подготовке к математическим олимпиадам, КВН.
В работе представлены тренировочные задачи нескольких типов:
- На чётность: направленные на развитие умения рассуждать, и понимания различия между примером и доказательством;
- Принцип Дирихле: в результате чего учащиеся должны иметь понятия о методе доказательство от противного, методе оценке и уметь различать в задачах условие и заключение;
- Делимость: направленные на развитие интуиции, и умение предвидеть результаты работы, а также научиться использовать свойства делимости;
- Конструктивные задачи: задачи направленные на образно - манипулятивное конструирование.
Задачи на чётность.
Задача 1.
Гриша посчитал сумму 1+3+5+…+997+999 и получил результат 247013. Какая чётность данной суммы? Верный ли ответ получил Гриша? Попробуйте выполнить сложение устно.
Решение:
В этой сумме 500 нечётных чисел (среди чисел от 1 до 1000 ровно половина нечётные), значит, сумма чётна. Гриша получил нечётный ответ, значит, он неверный.
Найдём сумму двумя способами.
- Разобьём числа от 1 до 999 на пары: 1и 999, 3 и 997, 5 и 995, …499 и 501. Всего получилось 500 : 2 = 250 пар. В каждой паре сумма чисел одинакова. (1 + 999) · 500 : 2 = 250000.
- Сложим две такие суммы, одна из которых написана в обратном порядке:
1 + 2 + 3 +…+ 999
999 + 998 + 997 +…+ 1
1000 + 1000 + 1000 +…+ 1000 = 1000 · 500 = 500000.
Одна такая сумма будет 500000 : 2 = 250000.
Задача 2.
Запишите число 31, пользуясь знаками действий и 1) шестью тройками; 2) пятью пятёрками; 3) пятью тройками.
Решение:
- 3 · 3 · 3 + 3 + 3 : 3
- 5 · 5 + 5 + 5 : 5
- 33 – (3 + 3) : 3
Задача 3.
Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие, и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?
Решение:
Девятиноги не смогут провести поединки для всех ног одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две ноги, а всего ног
5 · 9 = 45.
Задачи по принципу Дирихле.
Задача 1.
Диктант написали 29 человек. Гена сделал в диктанте 11 ошибок, и не кто не сделал большее количество ошибок. Докажите, что найдутся три человека с одинаковым количеством ошибок.
Решение:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 всего 12 вариантов допущенных ошибок, которое можно было сделать в диктанте. Предположим, что найдутся не более двух человек, которые сделали каждое количество ошибок из этих 12 вариантов, то тогда было бы 2 · 12 = 24 ученика, а это противоречит условию задачи. Учеников было 29. Значит найдутся три человека с одинаковым количеством оценок.
Задача 2.
В магазин привезли 25 ящиков конфет трёх разных сортов (в каждом ящике только один сорт). Доказать, что есть хотя бы 9 ящиков с одним и тем же сортом конфет.
Решение:
Предположим, что ящиков с конфетами каждого из трёх сортов привезли не более восьми, тогда всего привезли бы 8 · 3 = 24 ящика. Это противоречит условию задачи. Значит, найдутся 9 ящиков с одинаковым сортом конфет.
Задача 3.
В городе 15. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал.
Решение:
Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15 · 400 = 6000 школьников. Но по условию в школах обучаются 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зал на 400 мест.
Задачи на делимость.
Задача 1.
Докажите, что натуральное число, состоящее из 30 единиц и какого - то количества нулей, не может быть полным квадратом.
Решение:
Сумма цифр числа 30, значит, число делится на 3, но не делится на 9. Но полный квадрат делился бы на 9.
Задача 2.
Квадрат натурального числа состоит из цифр 0; 2; 3; 5. Найти его.
Решение:
Квадрат числа не может оканчиваться цифрами 2 или 3, или одним нулём. Значит, последняя цифра равна 5, тогда цифра десятков равна 2. Следовательно, искомое число 3025 = 552.
Задачи конструктивные.
Задача 1.
Говорил дед внукам: «Вот вам 130 орехов, разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?
Решение:
Обозначим через х число орехов в меньшей части, тогда 3 · 4х число орехов в большей части, а х + 12х число орехов в двух частях. Зная, что всего в двух частях 130 орехов, составим уравнение:
х + 12х = 130
13х = 130: 13
х = 10
Значит 10 орехов в меньшей части, а 130 – 10 = 120 орехов в большей части.
Ответ: в большей части 120 орехов, в меньшей 10 орехов.
Задача 2.
Крестьянин попросил взять у царя одно яблоко из его сада. Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и водит: весь сад огражден тройным забором, имеет одни ворота, вход в которые охраняет сторож. Подошел крестьянин к Первову сторожу и говорит: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». На что сторож ему сказал: «Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что возьмёшь и ещё одно». Эти же слова повторили крестьянину 2 и 3 сторожа, охранявшие другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко?
Решение:
Рассуждаю, начиная с конца, чтобы пройти из сада через последние ворота, крестьянин должен иметь 4 яблока, так как половина этих яблок и ещё одно 4 : 2 +1 = 3 яблока он отдаст сторожу и у него останется 4 – 3 = 1 яблоко. Подходя из сада ко вторым воротам, у крестьянина должно быть по условию задачи 2·(4 + 1) = 10 яблок, подходя к первым воротам яблок, было 2·(10 + 1) = 22.
Ответ: 22 яблока должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко.
Задача 3.
Николай с сыном и Иван с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Иван в 3 больше, чем его сын. Всего было поймано 35 рыб. Сколько рыб поймал Иван, и как звали его сына?
Решение:
Обозначим через х число рыб, который поймал Николай. По условию задачи, его сын поймал столько же, значит, тоже х рыб. В задаче говорится, что Иван поймал в 3 больше, чем его сын, значит, 3х. Зная, что все 3 поймали 35 рыб, составим уравнение:
х + х + 3х = 35
5х = 35
х = 35 : 5
х = 7
А так как Иван поймал 3х, то 7 · 3 = 21.
Ответ: Иван поймал 21 рыбу, а его сына звали Николай.
Задача 4.
Есть лифт 100 этажного дома, в котором хулиган Вася сломал все кнопки, кроме двух подъём на 6 этажей и спуск на 3 этажа. Сможет ли Вася добраться с первого этажа: а) на 79; б) на 80?
Решение:
а) добраться до 79 этажа можно, 13 раз поднявшись на 6 этажей:
1 + 6 · 13 = 79 (этаж);
б) добраться до 80 этажа Вася не сможет, так как при данных условиях перемещения лифта 80 на 3 делится с остатком.
Весь материал – смотрите документ.
Олимпиадные задачи по математике (49 КB)
0
7604
1018
Нравится
0
