Октаэдр - правильные многогранники (методическая разработка)

Октаэдр представляетс собой пересечение двух тетраэдров.

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula).

Конфигурация является единственнойзвёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения^[en] тетраэдра).

Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, каккубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами.

Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами.

Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдры и тетраэдры^[en] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и гранейсоты, которые Фуллер назвал октетной связкой^[en].

Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в кубе, и они являются одним из 28 видов выпуклых однородных сот^[en].

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине.

Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона, октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой. Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде^[en].

Октаэдр является 4-связным. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся.

Это один из всего лишь четырёх 4-связныхсимплициальных^[en] хорошо покрытых многогранников, что означает, что все наибольшие независимые множества вершин имеют один и тот же размер.

Другие три многогранника с этим свойством — пятиугольная бипирамида^[en], плосконосый равногранный тетраэдр^[en] и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями ^[2].

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.

Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.

В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия [править | править вики-текст]

Имеется 3 однородных раскрашивания^[en] октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является O_h с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа^[en].

В подгруппы этой группы входят D_3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы, D_4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды, и T_d (порядка 24), группа симметрииполностью усечённого тетраэдра.

Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Весь материал - в документе.

Правильный октаэдр

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Размеры

Если длина ребра октаэдра равна а, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

двугранный угол: , где .

Радиус полувписанной сферы^[en], которая касается всех рёбер, равен

Ортогональные проекции

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональных проекции, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера B₂ и A₂.

Сферическая мозаика

Октаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

Декартовы координаты

Октаэдр с длиной ребра  может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координатывершин тогда будут

(±1, 0, 0);

(0, ±1, 0);

(0, 0, ±1).

В x-y-z прямоугольной системе координат октаэдр с центром с точке (a, b, c) и радиусом r — это множество всех точек (x, y, z), таких, что

Площадь и объём

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна

Объём октаэдра (V) вычисляется по формуле:

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:

формулы для поверхности и объёма превращаются в:

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:

Геометрические связи

Октаэдр представляетс собой пересечение двух тетраэдров

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula). Конфигурация является единственнойзвёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения^[en] тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, каккубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдры и тетраэдры^[en] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и гранейсоты, которые Фуллер назвал октетной связкой^[en]. Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в кубе, и они являются одним из 28 видов выпуклых однородных сот^[en].

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона, октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой. Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде^[en].

Октаэдр является 4-связным. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся. Это один из всего лишь четырёх 4-связныхсимплициальных^[en] хорошо покрытых многогранников, что означает, что все наибольшие независимые множества вершин имеют один и тот же размер. Другие три многогранника с этим свойством — пятиугольная бипирамида^[en], плосконосый равногранный тетраэдр^[en] и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями ^[2].

• Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.

• Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.

• В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия[править | править вики-текст]

Имеется 3 однородных раскрашивания^[en] октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является O_h с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа^[en]. В подгруппы этой группы входят D_3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы, D_4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды, и T_d (порядка 24), группа симметрииполностью усечённого тетраэдра. Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.