Меню
Разработки
Разработки  /  Математика  /  Презентации  /  11 класс  /  Объемы и поверхности тел вращения

Объемы и поверхности тел вращения

Виды и определения тел вращения. Сечения тел вращения. Объемы и площади поверхностей тел вращения.
02.04.2022

Содержимое разработки

Объёмы и поверхности  тел вращения Учитель математики ГКОУ «В(С)ОШ №13» г. Оренбурга  Поликарпов Александр Алексеевич

Объёмы и поверхности тел вращения

Учитель математики ГКОУ «В(С)ОШ №13» г. Оренбурга

Поликарпов Александр Алексеевич

оглавление 1.Виды тел вращения  2.Определения тел вращения:   а)цилиндр  б)конус  в)шар 3.Сечения тел вращения:  а)цилиндр  б)конус  в)шар 4.Объёмы тел вращения  5.Площади поверхностей тел вращения

оглавление

1.Виды тел вращения 2.Определения тел вращения: а)цилиндр

б)конус

в)шар

3.Сечения тел вращения:

а)цилиндр

б)конус

в)шар

4.Объёмы тел вращения 5.Площади поверхностей тел вращения

ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси Конус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси Шар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси

Конус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси

Шар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА

Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник. Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его ось Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА

Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник.

Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его ось

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось. Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.

СЕЧЕНИЯ ШАРА Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

СЕЧЕНИЯ ШАРА

Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ фигура формула правило цилиндр V=S*H Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. конус Шаровой сегмент V=1/3 * S*H шар Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. V=4/3* П *R 3 Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен . Шаровой сектор Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.   V=2/3 *П* R 2 *Н Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

фигура

формула

правило

цилиндр

V=S*H

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

конус

Шаровой сегмент

V=1/3 * S*H

шар

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

V=4/3* П *R 3

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен .

Шаровой

сектор

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

V=2/3 *П* R 2 *Н

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ фигура правило Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S=4* П *R*R

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

фигура

правило

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S=4* П *R*R

Объём шара  Теорема. Объём шара радиуса R равен  .   Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R  с  центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. ). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:                    (2.6.1)  Так как , то  (2.6.2)           Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию  . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при     , получим   Теорема доказана.

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен .

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. ). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

                  (2.6.1)

Так как , то (2.6.2)

          Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при

, получим

Теорема доказана.

 Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.   Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента.  Объема сегмента

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

  • Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента.
  • Объема сегмента
Шаровой сектор . Объём шарового сектора. Шаровой сектор, тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.  Объём сектора  V=2/3 П R 2 H

Шаровой сектор . Объём шарового сектора.

  • Шаровой сектор, тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.
  • Объём сектора
  • V=2/3 П R 2 H
Задача № 1.       Цистерна имеет форму цилиндра ,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?

Задача № 1.

  •       Цистерна имеет форму цилиндра ,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?
. Дано:  .         - шаровые сегменты . Решение:                                         ответ :~6,78.   м.   

.

Дано:

.

     

  - шаровые сегменты .

Решение:

                                       

ответ :~6,78.

  м.   

Задача № 2. О- центр шара. О 1 -центр круга сечения шара. Найти объём и площадь поверхности шара.

Задача № 2.

  • О- центр шара.
  • О 1 -центр круга сечения шара. Найти объём и площадь поверхности шара.
Дано : шар  сечение с центром О 1 . R сеч. =6см.  Угол ОАВ=30 0 . V шара =? S сферы = ? Решение :  V=4/3 П R 2 S=4 П R 2 В ∆ ОО 1 А : угол О 1 =90 0 ,О 1 А=6, угол ОАВ=30 0 . tg 30 0 =ОО 1 / О 1 А  ОО 1 =О 1 А* tg30 0 .ОО 1 =6*√3 ÷ 3 =2 √3 ОА= R=OO 1 ( по св-ву катета леж.против угла 30 0 ). ОА=2√3 ÷2 =√3 V=4 П(√3) 2 ÷ 3=(4*3,14*3) ÷ 3=12,56 S= 4П(√3) 2 =4*3,14*3=37,68   Ответ :V=12 ,56; S=37 ,68.

Дано : шар сечение с центром О 1 . R сеч. =6см. Угол ОАВ=30 0 . V шара =? S сферы = ?

  • Решение :

V=4/3 П R 2 S=4 П R 2

В ∆ ОО 1 А : угол О 1 =90 0 1 А=6,

угол ОАВ=30 0 . tg 30 0 =ОО 1 / О 1 А ОО 1 1 А* tg30 0 .ОО 1 =6*√3 ÷ 3 =2 √3

ОА= R=OO 1 ( по св-ву катета леж.против угла 30 0 ).

ОА=2√3 ÷2 =√3

V=4 П(√3) 2 ÷ 3=(4*3,14*3) ÷ 3=12,56

S= 4П(√3) 2 =4*3,14*3=37,68

Ответ :V=12 ,56; S=37 ,68.

Задача № 3  Полуцилиндрический свод подвала имеет 6м. длины и 5,8м. в диаметре.Найдите полную поверхность подвала.

Задача № 3

Полуцилиндрический свод подвала имеет 6м. длины и 5,8м. в диаметре.Найдите полную поверхность подвала.

Дано :  Цилиндр.АВСД-осевое сечение.  АД=6м. D= 5,8м.   S п.под.= ? Решение : S п.под. =( S п ÷ 2)+ S АВСД S п ÷ 2= ( 2П Rh+2 П R 2 )÷2=2( П Rh+ П R 2 )÷2= П Rh+ П R 2 R=d÷2=5 ,8 ÷ 2=2,9 м. S п ÷ 2=3,14*2,9+3,14*(2,9) 2 =  54,636+26,4074=81,0434  АВСД-прямоуг.(по опр.осев.сеч.)  S АВСД= АВ*АД=5,8*6=34,8м 2  S п.под. =34,8+81,0434≈116м 2 . Ответ :S п.под. ≈116м 2 .

Дано : Цилиндр.АВСД-осевое сечение. АД=6м. D= 5,8м. S п.под.= ?

  • Решение :
  • S п.под. =( S п ÷ 2)+ S АВСД
  • S п ÷ 2= ( 2П Rh+2 П R 2 )÷2=2( П Rh+ П R 2 )÷2= П Rh+ П R 2
  • R=d÷2=5 ,8 ÷ 2=2,9 м.
  • S п ÷ 2=3,14*2,9+3,14*(2,9) 2 =

54,636+26,4074=81,0434

АВСД-прямоуг.(по опр.осев.сеч.)

S АВСД= АВ*АД=5,8*6=34,8м 2

S п.под. =34,8+81,0434≈116м 2 .

Ответ :S п.под. ≈116м 2 .

-80%
Курсы профессиональной переподготовке

Учитель, преподаватель физики и математики

Продолжительность 600 или 1000 часов
Документ: Диплом о профессиональной переподготовке
17800 руб.
от 3560 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Объемы и поверхности тел вращения (640.5 KB)