Получите свидетельство
Вход
Обобщающий урок по теме “ Квадратичная функция, ее свойства и график ” Урок – панорама «Неизвестная известная парабола»
Цели урока:
- Повторить свойства квадратичной функции.
- Закрепить их знание при построении графиков квадратичной функции.
- Уметь определять свойства функции по графику.
- Показать связь квадратичной функции и её графика с реальным миром.
Эпиграф урока:
Китайская пословица гласит:
“ Я слушаю – я забываю,
Я вижу- я запоминаю,
Я делаю- я усваиваю. ”
Определение.
Функция вида у = ах 2 + b х+с,
где а, b, c – заданные числа, а≠0,
х –переменная, называется квадратичной функцией .
Исключить не квадратичные функции
Примеры:
1) у = 5х+1 4) у =x 3 +7x-1
2) у=3х 2 -1 5) у=4х 2
3) у=-2х 2 +х+3 6) у=-3х 2 +2х
Парабола
Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой.
Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).
Также параболу можно построить по точкам с помощью циркуля и линейки.
Пара́бола (греч. παραβολή — приложение)
Свойства параболы
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе..
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается интересная поверхность - параболоид вращения (эллиптический параболоид).
Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.
Преобразования графика
квадратичной функции
Построение графиков функций у=х 2 и у=х 2 + n.
0 У n n 1 Х 0 1 " width="640"
у=х 2 + n, n0
У
n
n
1
Х
0
1
у=х 2 + n, n
У
1
Х
0
1
n
n
Построение графиков функций у=х 2 и у=(х+ m) 2 .
0 У 1 Х m m 0 1 " width="640"
у= ( х + m) 2 , m 0
У
1
Х
m
m
0
1
у= ( х + m) 2 , m
У
1
Х
m
m
0
1
Укажите координаты вершины параболы y = -3( x -2) 2 +5
5
2
1) (-2 ; -5)
2) (2 ; -5)
3) (2 ; 5)
4) (-2 ; 0)
Проверка
Постройте в одной координатной плоскости
графики функций:
Определить координаты вершины параболы.
Уравнение оси симметрии параболы.
Нули функции.
Промежутки, в которых функция возрастает, убывает.
Промежутки, в которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.
Каков знак коэффициента a ?
Как зависит положение ветвей параболы от коэффициента a ?
0 , то ветви параболы направлены . вверх Если a 0 , то ветви параболы направлены . Задание : для функции У = 2х 2 + 4х-6 укажите направление ветвей параболы вниз " width="640"
Знак коэффициента а задаёт направление ветвей
y= x 2 +bx + c
a
Если a 0 , то ветви параболы направлены .
вверх
Если a 0 , то ветви параболы направлены .
Задание : для функции
У = 2х 2 + 4х-6
укажите направление ветвей параболы
вниз
Вершина параболы:
Уравнение оси симметрии:
х=х 0
Задание.
Найти координаты вершины параболы: 1)у=2х 2 +4х-6 ;
Ответ:(-1; -8)
Координаты точек пересечения параболы с осями координат.
- С Ох: у=0 ах 2 + b х+с=0
- С Оу: х=0 у=с
Задание.
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат:
у=2х 2 +4х-6;
(1;0);(-3;0); (0;-6)
Нули квадратичной функции
x 1
x 2
Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью Ox
0 D = 0 " width="640"
- Если дискриминант , то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках .
- Если дискриминант , то парабола касается оси абсцисс.
- Если дискриминант , то парабола не пересекает ось абсцисс.
D
D 0
D = 0
0, если х у 0, если х 4. у ↓ , если х 1 у ↑ , если х 0 -1 3 2 1 -3 Х 5. у наим = -8 , если х= -1 -2 у наиб – не существует. 6. Е (y) = - 8 -- " width="640"
Проверь себя :
1 . D(y) = R
У
2. у=0 , если х= 1; -3
3 . у 0, если х
у 0, если х
4. у ↓ , если х
1
у ↑ , если х
0
-1
3
2
1
-3
Х
5. у наим = -8 , если х= -1
-2
у наиб – не существует.
6. Е (y) =
- 8
--
0 ;a0 D0;aD0 DD=0;a0 D=0;a" width="640"
Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+».
D 0 ;a0
D0;a
D0
D
D=0;a0
D=0;a
0 у 0 у " width="640"
Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+».
(-1;1)
(- ∞ ;0)
(1; ∞ )
(-∞;∞)
(-1;0)
х≠-1
Нет значений х
у
у
у 0
у 0
у
КУ «ЛВ(С)Ш»
Презентация
учащихся 9-А класса
«Замечательные свойства параболы»
Цели и задачи исследования:
- Исследовать основные свойства параболы.
- Выявить те свойства, которые применяются в других науках, в технике и в жизни.
Гипотеза исследования:
Основные свойства параболы применяют не только в физике, математике, технике, но и в повседневной жизни.
Связь с космическим миром
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (нейтронной звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).
Применение параболы в физике, технике, баллистике.
Квадратичная функция широко применяется как в математике, так и ее приложениях. Она является математической моделью зависимостей в самых разнообразных сферах : при изучении движения, выборе наилучшего варианта и решении других задач.
Можно привести немало примеров применения квадратичной функции, из которых главный известный из учебника физики — уравнение пути s равномерно-переменного движения с начальной скоростью v, ускорением а и путем, пройденным до начала отсчета b :
S=2at 2 +vt+b.
Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха какого-либо объекта (мяча, артиллерийского снаряда) соответствует параболе.
Траектория полета баскетбольного мяча имеет форму параболы
Свойство параболы о фокусировании параллельного пучка прямых используется в конструкции прожекторов, фонарей, фар, а так же телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных ( спутниковых и других) антенн , необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Парабола в науке и технике
По эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам движутся тела в поле тяготения.
Параболическое зеркало используется в большинстве телескопов-рефлекторов, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями , в мощных прожекторах и автомобильных фарах.
У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок. Это c войство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар
В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет далёкой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.
В настоящее время олимпийский огонь зажигают в Олимпии (Греция), за несколько месяцев до открытия игр с помощью параболического зеркала, фокусирующего лучи Солнца. Затем этот огонь доставляют в город, проводящий Олимпийские игры.
Оптические свойства параболических зеркал
По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли.
Этот день 212 года до н. э. уцелевшим римлянам запомнился на всю жизнь. Почти полтысячи маленьких солнц вдруг загорелись на крепостной стене. Сначала они просто ослепили, но через некоторое время произошло нечто фантастическое: передовые римские корабли, подошедшие к Сиракузам, один за другим вдруг начали вспыхивать, как факелы. Бегство римлян было паническим...
Одно из очень важных применений параболы на практике связано с антенными устройствами.
Загадка
Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под некоторым углом. Этим пользуются в оборонной промышленности
Люблю я петь и веселиться,
В весёлом танце покружиться.
Когда вокруг оси вращаюсь,
Фигурой важной обращаюсь.
А кавалеры подбегают,
К автомобилю провожают.
И каждый хочет пригласить –
На крыше дома погостить
Парабола
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Торговый центр
Железнодорожный вокзал
Санкт-Петербург
Эйфелева башня
Парабола в архитектуре и строительстве
Мост в форме параболы
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Параболическое крыло солнечного теплового завода электроэнергии
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Парабола вокруг нас Отдельные элементы музыкальных инструментов имеют форму параболы
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Игровой комплекс Lappset "Парабола II"
В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес» . Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.
Форму параболы имеет траектория падающей струи воды
Воздушная парабола
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Парабола в природе особенно интересна и прекрасна
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Перевал Нижняя Парабола
Форма радуги тоже напоминает параболу
Инструкция. Смена слайда происходит автоматически.
Вывод:
Парабола широко применяются в технике и в повседневной жизни человека!
Честь ей и хвала!
Итог урока : Рефлексия : -испытывали ли вы затруднение при работе с тестами? -была ли интересна для вас информация, которую вы получили? -где вы можете применять полученные знания? -где вообще применяются графическое изображение и свойства квадратичной функции?
Домашнее задание : повторить § 2 п.7-11 выполнить тесты № 2 стр.116-117
Неизвестная известная парабола (7.08 MB)
0
1071
39
Нравится
0
