Неполные квадратные уравнения

Цель урока: Рассмотреть новый тип уравнения, сформировать умения и навыки решения неполных квадратных уравнений.

Задачи: Способствовать проявлению результатов труда каждого учащегося, развивать умение оценивать свой труд  и труд товарищей.

1 минимодуль

2 минуты – организационный момент, мотивация.

Задача. Площадь прямоугольника равна 112 см², его ширина на 6 см меньше длины. Найти стороны прямоугольника.

Предложите способ решения задачи.

Верно, необходимо составить уравнение

Решение.

Пусть ширина прямоугольника равна х см, тогда его длина будет (х+6) см. Площадь равна 112 см. Следовательно, имеем уравнение х(х+6) =112, то есть х² + 6х = 112, или

х² + 6х – 112 = 0

Имеем уравнение с одной переменной и переменная эта во второй степени, то есть в квадрате, а значит и уравнение мы назовем квадратным.

Квадратное уравнение – это уравнение вида  ах² + вх + с = 0, где а≠0 , х- переменная, а,в,с- данные числа: а- первый (старший) коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член.

По определению а≠0,  почему?

Если хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, уравнение называют неполным.

Какие возможны варианты,  какой вид будут при этом иметь неполные уравнения?

Вместе попробуем найти алгоритм решения  неполного уравнения и определим количество корней каждого из них. Предлагаю вам самостоятельно придумать соответствующие примеры.

Для закрепления материала (устно): № № 861-866 (фронтальный опрос).

Какое из данных уравнений квадратное: 

а) х²=1/х + 3;   б) -2х² + 3х = 4;   в)  х² +5х -0.7 = 0; г) 2х² + х³ = 0;  д)  5х² = 5х – 3;  е)  2х(х + 5) = 7 ?

Какое из данных уравнений неполное  квадратное: 

а) х² + 3 = 0;   б) -2х² = 0;   в)  х² +5х  = 1;  г) 2х² + 2/х = 0;  д)  5х² + πх = 0;  е) 2х² +√х = 0 ?

Решите уравнения:

а) 3х² = 0;           б)  √7·х = 0;           в)  -х² = 0;

г) х² - 2 х = 0;     д)  3х² - 6х = 0;      е) 2х² = х ?

ж)  х² - 9 = 0;      з)  2х² - 8 = 0;        и)  -х² + 1  = 0; 

к) (х-1)(х-5) = 0;     л)  3(х+7)(х-6) = 0;      м)  (2х – 1)(х+3) = 0?

Заканчиваются первые 30 минут.

Продолжите предложение:   Только что я узнал… (понял, разобрался…)

2 минимодуль

Вторую тридцатиминутку мы посвящаем решению неполных квадратных уравнений, а также уравнений, которые к ним приводятся.

№ 867. Выпишите из данных уравнений:

а) квадратные уравнения;

б) неполные квадратные уравнения.

Приведите их к стандартному виду и для каждого из них укажите, чему равны его первый и второй коэффициенты и свободный член. (Работа у доски)

а) 3х-7=х²;                   б) -2х² + √3·х = 4;        в)  6х² - х³ = 0       г) (х+4)² = 8х;

д) 0,3 х² + 2х = 0;       е) х + 1/х + 4 = 0;         ж) 9х² = 0;            з) х² - 25 = х.

Решите уравнение:

№№ 870-872.  Трое учащихся решают по три разнотипных уравнения, по очереди комментируя. Рецензия и оценивание  решения (трое сильных учеников, закрепленные за каждым из отвечающих, следят за правильностью решения ). 

1) 16х² = 0                               1)     - 4х² = 0                              1)  (√7 +√3)х² = 0

2) 2х² - 6х = 0                          2)     х² + 3х = 0                          2)   7х² = 0,5х

3) -2х² + 50 = 0                      3)    0,16х² + 100 = 0                3)  х² + 16² = 65²

№ 877, 888

1)  2(х² -1) – (х-1)(х+1);                 2) (х + 3)² = (х – 3)(х + 3);

3)  (5 – х²)/3 =  (3х² -2)/4;               4) (2х²)/5 =  (3х² + 1)/4 .

  Итак, дорогие ребята, ещё раз повторяем алгоритм решения каждого типа неполных квадратных уравнений…

3 минимодуль

Эти 30 минут мы решаем с вами, во первых, задачи на составление уравнений, а во вторых выполним небольшую самостоятельную работу на закрепление изученного материала.

Решить задачи.

№ 902.  Найдите длины катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, площадь которого равна 0,72 дм².

№ 904.  Площадь кольца равна 942 см², радиус его внешнего круга – 20 см. Найдите радиус внутреннего круга.

Самостоятельная работа.

Вариант 1                              Вариант 2 

1) -79х² = 0;                           1)     - 74х² = 0;                             

2) 7х² + 5х = 0;                      2)     9х² + 7х = 0;                         

3) -4х² + 100 = 0;                   3)    -16х² + 64 = 0; 

4) 5х² + 3х +7 = 7(х + 1);      4)   15 – 2х = 8х² + 3(х + 5;

5) 3х(х – 1) = 12 – 3х.           5)    5х(х + 2) = 10 (1 + х).

Уважаемые ребята, мы с вами сегодня славно потрудились.
Что было сложного и непонятного?

Чему мы с вами сегодня научились?

Учитель комментирует работу учащихся и ставит оценки.

Запишите домашнее задание. § 19 – изучить, выполнить №№ 868, 869, 876.

Успехов вам.

Урок по теме: Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

Заболотная Татьяна Ивановна, учитель математики

Содержательно-поисковый модуль (урок новых знаний).

Цель урока: Рассмотреть новый тип уравнения, сформировать умения и навыки решения неполных квадратных уравнений.

Задачи: Способствовать проявлению результатов труда каждого учащегося, развивать умение оценивать свой труд и труд товарищей.

1 минимодуль

2 минуты – организационный момент, мотивация.

Задача. Площадь прямоугольника равна 112 см², его ширина на 6 см меньше длины. Найти стороны прямоугольника.

Предложите способ решения задачи.

Верно, необходимо составить уравнение

Решение.

Пусть ширина прямоугольника равна х см, тогда его длина будет (х+6) см. Площадь равна 112 см. Следовательно, имеем уравнение х(х+6) =112, то есть х² + 6х = 112, или

х² + 6х – 112 = 0

Имеем уравнение с одной переменной и переменная эта во второй степени, то есть в квадрате, а значит и уравнение мы назовем квадратным.

Квадратное уравнение – это уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а≠0 , х- переменная, а,в,с- данные числа: а- первый (старший) коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член.

По определению а≠0, почему?

Если хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, уравнение называют неполным.

Какие возможны варианты, какой вид будут при этом иметь неполные уравнения?

Вместе попробуем найти алгоритм решения неполного уравнения и определим количество корней каждого из них. Предлагаю вам самостоятельно придумать соответствующие примеры.

Для закрепления материала (устно): № № 861-866 (фронтальный опрос).

Какое из данных уравнений квадратное: а) х²=1/х + 3; б) -2х² + 3х = 4; в) х² +5х -0.7 = 0;

г) 2х² + х³ = 0; д) 5х² = 5х – 3; е) 2х(х + 5) = 7 ?

Какое из данных уравнений неполное квадратное:

а) х² + 3 = 0; б) -2х² = 0; в) х² +5х = 1; г) 2х² + 2/х = 0; д) 5х² + πх = 0; е) 2х² +√х = 0 ?

Решите уравнения:

а) 3х² = 0; б) √7·х = 0; в) -х² = 0;

г) х² - 2 х = 0; д) 3х² - 6х = 0; е) 2х² = х ?

ж) х² - 9 = 0; з) 2х² - 8 = 0; и) -х² + 1 = 0;

к) (х-1)(х-5) = 0; л) 3(х+7)(х-6) = 0; м) (2х – 1)(х+3) = 0?

Заканчиваются первые 30 минут.

Продолжите предложение: Только что я узнал… (понял, разобрался…)

2 минимодуль

Вторую тридцатиминутку мы посвящаем решению неполных квадратных уравнений, а также уравнений, которые к ним приводятся.

№ 867. Выпишите из данных уравнений:

а) квадратные уравнения;

б) неполные квадратные уравнения.

Приведите их к стандартному виду и для каждого из них укажите, чему равны его первый и второй коэффициенты и свободный член. (Работа у доски)

а) 3х-7=х²; б) -2х² + √3·х = 4; в) 6х² - х³ = 0 г) (х+4)² = 8х;

д) 0,3 х² + 2х = 0; е) х + 1/х + 4 = 0; ж) 9х² = 0; з) х² - 25 = х.

Решите уравнение:

№№ 870-872. Трое учащихся решают по три разнотипных уравнения, по очереди комментируя. Рецензия и оценивание решения (трое сильных учеников, закрепленные за каждым из отвечающих, следят за правильностью решения ).

1) 16х² = 0 1) - 4х² = 0 1) (√7 +√3)х² = 0

2) 2х² - 6х = 0 2) х² + 3х = 0 2) 7х² = 0,5х

3) -2х² + 50 = 0 3) 0,16х² + 100 = 0 3) х² + 16² = 65²

№ 877, 888

1) 2(х² -1) – (х-1)(х+1); 2) (х + 3)² = (х – 3)(х + 3);

3) (5 – х²)/3 = (3х² -2)/4; 4) (2х²)/5 = (3х² + 1)/4 .

Итак, дорогие ребята, ещё раз повторяем алгоритм решения каждого типа неполных квадратных уравнений…

3 минимодуль

Эти 30 минут мы решаем с вами, во первых, задачи на составление уравнений, а во вторых выполним небольшую самостоятельную работу на закрепление изученного материала.

Решить задачи.

№ 902. Найдите длины катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, площадь которого равна 0,72 дм².

№ 904. Площадь кольца равна 942 см², радиус его внешнего круга – 20 см. Найдите радиус внутреннего круга.

Самостоятельная работа.

Вариант 1 Вариант 2

1) -79х² = 0; 1) - 74х² = 0;

2) 7х² + 5х = 0; 2) 9х² + 7х = 0;

3) -4х² + 100 = 0; 3) -16х² + 64 = 0;

4) 5х² + 3х +7 = 7(х + 1); 4) 15 – 2х = 8х² + 3(х + 5;

5) 3х(х – 1) = 12 – 3х. 5) 5х(х + 2) = 10 (1 + х).

Уважаемые ребята, мы с вами сегодня славно потрудились.
Что было сложного и непонятного?

Чему мы с вами сегодня научились?

Учитель комментирует работу учащихся и ставит оценки.

Запишите домашнее задание. § 19 – изучить, выполнить №№ 868, 869, 876.

Успехов вам.