Мультимедийная презентация к исследовательской работе «Возведение двучлена в n-ю степень, треугольник Паскаля»

Министерство образования и науки Республики Дагестан Республиканский конкурс исследовательских работ и проектов учащихся

общеобразовательных организаций и воспитанников дошкольных образовательных организаций Республики Дагестан

«Науки юношей питают»

Направление исследовательской работы «Наука»

«Возведение двучлена в n-ю степень, треугольник Паскаля»

Выполнила: Абдурашидова Марьям Ахмедовна

ученица 8 «б» класса

МКОУ СОШ № 9 г. Кизляра РД

Руководитель: Исинова Адият Агаховна

учитель математики

высшей категории

МКОУ СОШ №9 г. Кизляра РД

2019 год

«Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому, и я научусь » .

(Конфуций)

История возникновения формул сокращенного умножения

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).

формулы сокращенного умножения школьного курса математики

• Разность квадратов:
• (a +b) (a – b) = a² - b²                  (1)
• Квадрат суммы и квадрат разности:
• (a + b)² = a² + 2ab +b²                  (2)
• (a – b)² = a² - 2ab + b²                  (3)
• Сумма и разность кубов:                                                                            
• (a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³         (4)
• (a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³         (5)
• Куб суммы и куб разности:
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³      (6)
• (a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³         (7)

Геометрическая интерпретация

Применение формул сокращенного умножения.

Вычислить:

а) 199 2 = (200 - 1) 2 = 200 2 - 2 · 200 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601

Ответ: 39601

б)

в) 199 · 201 = (200 - 1)·(200 + 1) = 200 2 – 1 2 = 40000 – 1 = 39999

Ответ: 39999

г) 72 2 = (70 + 2) 2 = 70 2 + 2 · 70 · 2 + 2 2 = 4900 + 280 + 4 = 5184

Ответ: 5184

Сократить дробь:

59 2 - 41 2 (59 - 41)·(59 + 41) 59 + 41 100 5

59 2 – 2 · 59 · 41 + 41 2 (59 – 41) 2 59 - 41 18 9

д) 83 2 + 2 · 83 · 17 + 17 2 (83 + 17) 2 10000 100

100 100 100

Решить уравнение:

(3х + 2 ) 4 – (3х - 4) 4 = 0

((3х + 2) 2 - (3х - 4) 2 )·((3х + 2) 2 + (3х – 4) 2 ) = 0

а) (3х + 2) 2 – (3х - 4) 2 = 0   или   б) (3х + 2) 2 + (3х – 4) 2 = 0

((3х + 2) - (3х - 4))·((3х + 2) + (3х - 4)) = 0 очевидно, что уравнение б) – не равно нулю

3х + 2 – 3х + 4 = 0 или 3х + 2 + 3х – 4 = 0

0 = 6 6х = 2

х = 1/3

Возведение двучлена в n-ю степень

• (a+b) 3 =(a+b) 2 (a+b)=a 3 + 3 a 2 b+ 3 ab 2 +b 3
• (a+b) 4 =(a+b) 2 (a+b) 2 =(a 2 +2ab+b 2 )(a 2 +2ab+b 2 )=a 4 + 4 a 3 b+ 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 +b 4
• (a+b) 5 =(a+b) 2 (a+b) 3 =(a 2 +2ab+b 2 )(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 )=a 5 + 5 a 4 b+ 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 ++ 5 ab 4 +b 5
• (a+b) 6 =(a+b) 2 (a+b) 4 =(a 2 +2ab+b 2 )(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 )=a 6 + 6 a 5 b+ 15 a 4 b 2 ++ 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 +b 6
• (a+b) 7 =(a+b) 3 (a+b) 4 =(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ) *(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 )=a 7 + 7 a 6 b+ 21 a 5 b 2 + 35 a 4 b 3 + 35 a 3 b 4 + 21 a 2 b 5 + 7 ab 6 +b 7

Треугольник Паскаля

( а + в ) 0 =1

( а + в ) 1 = а + в

( а + в ) 2 = а 2 +2 ав + в 2

( а + в ) 3 = а 3 +3 а 2 в + 3ав 2 + в 3

( а + в ) 4 = а 4 +4 а 3 в +6 а 2 в 2 +4 ав 3 + в 4

( а + в ) 5 = а 5 +5 а 4 в +10 а 3 в 2 + 10 а 2 в 3 +5 ав 4 + в 5

( а + в ) 6 = а 6 +6 а 5 в +15 а 4 в 2 + 20 а 3 в 3 15 а 2 в 4 +6 ав 5 + в 6

Алгоритм возведения двучлена  в  n-ю степень

• Способ 1 :

(х – 2 ) 4 = (х - 2) 2 · (х - 2) 2 = (х 2 – 4х + 4)(х 2 – 4х + 4 ) = х 4 – 4х 3 + 4х 2 – 4х 3 + 16х 2 – 16х + 4х 2 – 16х + 16 = х 4 – 8х 3 + 24х 2 – 32х + 16

• Способ 2:

(х - 2) 4 = х 4 – 8х 3 + 24х 2 – 32х + 16

Возвела двучлен в 4-ю степень обычным способом и по формуле. Разница очевидна.

Возведем двучлен х + 2 в 5-ю степень двумя способами.

• Способ 1 : (х + 2) 5 = (х + 2) 2 · (х + 2) 3 = ( х 2 + 4х + 4)( х 3 + 6х 2 + 12х +8) = х 5 + 6х 4 + 12х 3 – 8х 2 + 4х 4 + 24х 3 + 48х 2 + 32х + 4х 3 + 24х 2 + 48х + 32 =х 5 + 5х 4 + 10х 3 +10х 2 + 5х + 32.
• Способ 2: (х + 2) 5 = х 5 + 5х 4 + 10х 3 +10х 2 +5х + 32

Список литературы :

1.http://ru.wikipedia.org/wiki/

2.Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

3. Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля

4.Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. –М. : Просвещение, 2014.- 240 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019315-3.

5. В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы: алгебра 8 класс; М.: «Просвещение», 2015.

6.Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика ( пособие для поступающих в техникумы): Учеб. Пособие.- М.; Высш. Шк., 1984.-351 с., ил.

7.Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 8. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.

9.Мордкович А. Г. Алгебра 7 класс. В 2 часа Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – 13-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2009.- 160 с.: ил. ISBN ISBN 46-01198-9.

10. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 7; М.: «Просвещение», 2008.

11. Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

12. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

13.portfolio.1september.ru

14.Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003