Метрические соотношения в прямоугольном в прямоугольном треугольнике

Домашнее задание

Учебник § 15, № 511, 513, 515

Выучить формулировки теорем и написать доказательства

Задачи на повторение 1. В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВС : АD = 3:5, ВD =24 см. Найдите отрезки ВО и ОD.

2. Через точку Р , лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой Р на отрезки, длины которых равны 4 см и 5 см. Найдите расстояние от точки Р до центра окружности, если её радиус равен 6 см.

3. Прямая  AD , перпендикулярная медиане  ВМ  треугольника  АВС , делит её пополам. Найдите сторону  АС , если сторона  АВ  равна 4.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Определение. Отрезки AD и BD называются проекцией соответственных катетов на гипотенузу.

Теорема о высоте, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике

Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Метрические соотношения

Теорема. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Метрические соотношения

Теорема. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Выберите верные утверждения:

• Любая высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника.
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных.
• Катет равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
• Средняя линия треугольника равностороннего треугольника равна стороне треугольника.

Задача 1

Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если она делит гипотенузы на отрезки длиной 2 см и 18 см.

Задача 2

• Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а его проекция на гипотенузу – 4 см. Найдите гипотенузу.

Задача 3

• Найдите градусную меру  ∠ACB , если известно, что  BC  является диаметром окружности, а градусная мера центрального  ∠AOC  равна 96°.

Повторение

Отрезки  AB  и  DC  лежат на параллельных прямых, а отрезки  AC  и  BD  пересекаются в точке  M . Найдите  MC , если  AB  = 10,  DC  = 25,  AC  = 56 .

Выберите верные утверждения:

• Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
• Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
• Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
• Любые два равносторонних треугольника подобны.