Методика подготовки к ЕГЭ. Решение текстовых задач

МОУ Катуаровская средняя общеобразовательная школа

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

Решение текстовых задач

Учитель математики высшей категории

Шушпанова

Елена Викторовна

Содержание:

Введение 3

1. Задачи на движение 4-7

2. Задачи на производительность 8-10

3. Задачи на проценты, концентрацию, смеси и сплавы 11-15

4. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии 16-18

5. Разные задачи 19-20

Заключение 21

Список литературы 22

Введение.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) призван заменить собой два экзамена выпускной за среднюю школу и вступительный в ВУЗы. В связи с этим в рамках ЕГЭ осуществляется проверка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, усвоение которого проверяется на выпускном экзамене за среднюю школу, а также материалом некоторых тем курсов алгебры основной школы и геометрии основной и средней школы, которые традиционно контролируются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Одной из таких тем является тема «текстовые задачи».

Анализ результатов проведения ЕГЭ говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод о том, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи, является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Уроки повторения по решению текстовых задач направлены на то, чтобы учащиеся расширили и углубили свои знания по математике, качественно подготовились к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в ВУЗы. Они помогут школьникам систематизировать полученные на уроках ранее знания по решению текстовых задач.

Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части школьников. Во многом это связано с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами.

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. Рассмотрим типовые задачи и их решения.

Предлагаемые задачи можно разбить на следующие типы задач:

- задачи на «движение»;

- задачи на «производительность»;

- задачи на «проценты, концентрацию части и доли»;

- задачи на «арифметическую и геометрическую прогрессии»;

- другие виды задач (меньше-больше, торгово-денежные отношения, зависимость между компонентами арифметических действий и т.д.).

Задачи на движение.

При решении задач на движение принимают следующие допущения:

- движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;

- изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

- скорость считается числом положительным;

- если тело движется по течению реки, то его скорость V слагается из скорости в стоячей воде V1 и скорости течения реки V2, V=V1+V2, если против течения реки, то скорость равна V=V1-V2;

- если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;

- если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше.

Основные соотношения.

• V= - скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути S и обратно пропорциональна времени t;

• t=–время, за которое 2 объекта, движущиеся навстречу друг другу со скоростью V1 и V2, преодолевают начальное расстояние So;

• t= - время, за которое 2 объекта, движущиеся в одном направлении со скоростью соответственно V1 и V2 (V1V2) преодолевают начальное расстояние между ними, равное S_o и 1 объект догонит 2;

• Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку)

Задача 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А, где они встретятся.

Решение: время до встречи находится по формуле t=и равно 4 часа. Расстояние от города А до места встречи равно S=4*55=220 км.

Задача 2. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость 1 на 0,5 км/ч больше скорости 2. Найти время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

Решение: время в часах, за которое расстояние станет между ними 200 м, т.е. 0,2 км считается по формуле t==0,4 (ч). Значит через 24 минуты расстояние между ними будет 200 м.

Задача 3. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу 1 туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле 2 турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем 2 турист догонит 1?

Решение: 1 турист вышел в путь на 4 ч раньше 2

А I→ 1,5ч В 1 ч Д

II→ 1,5 I,II

В точке В он сделал остановку на 1,5 ч. 2 турист догнал 1 в точке Д. Чтобы проехать расстояние АД, 1 турист затратил больше времени, чем 2, на 2,5 ч. (4-1,5=2,5 ч)

Пусть х- расстояние от А до Д (в км). Тогда t₁=ч - время 1 туриста на АД;

t₁=ч-время 2 туриста на АД.

t₁-t₂=2,5 ч. Составим и решим уравнение

=2,5

х=56

Ответ: 56 км.

Движение по воде.

• В задачах на движение по воде необходимо помнить формулы:

V_{по теч} = V_соб+V_теч

V_{против теч} = V_соб-V_теч

V_соб =

• Скорость плота считается равной скорости реки.

Задача 1. В 9ч баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в котором часу баржа прибыла в В. Расстояние от А до В 60 км.

Решение:

Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч . Тогда время , затраченное на движение по течению реки, составляет ч, а против течения ч. Всего было затрачено -9-2=(ч).

Составим уравнение и решим его:

, х₁=15; х₂= - 0,6-не удовлетворяет условию.

Время, затраченное на движение против течения реки, (ч). Значит, баржа прибыла в пункт В в 14 часов.

Движение по замкнутой трассе.

Движение по замкнутой трассе (допустим по стадиону) похоже на движение вдогонку если 2 бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями собственно V₁ и V₂ (V₁V₂), то 1 бегун приближается ко 2 со скоростью V₁-V₂ и в момент, когда 1 бегун догоняет 2 бегуна, то 1 бегун как раз проходит на один круг больше второго и поэтому время считается так:

Задача. Из одной точки круговой трассы, длина которой 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость 1 автомобиля 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает 2 автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость 2 автомобиля.

Решение:

Примем скорость 2 автомобиля за х км/ч и учтем, что 40 мин = ч, тогда , значит 160-2х=48, тогда х=56

Ответ: 56 км/ч

Задачи на определение средней скорости

Если S-путь, пройденный телом, а t-время, за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:

Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение: пусть весь путь 3S, тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время , вторую треть последнюю треть- за время . Значит, время потраченное на весь путь находится так: и поэтому, средняя скорость вычисляется так (км/ч)

Ответ: 16 км/ч

Задачи на движение протяженных тел.

В задачах на движение протяженных тел требуется определить длину одного из них наиболее типичные ситуации: определение длины поезда, проезжающего мимо:

• придорожного столба

• идущего параллельно путем пешехода

• лесополосы определенной длины

• другого двигающего поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние, равное его длине. Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение: V=60 км/ч=1000 м/мин, t=30 сек=мин. Найдем длину поезда как пройденное расстояние S=V*t=1000*=500 (м)

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 800 м, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: V=90 км/ч=1500 м/мин, t=1 мин. Найдем длину поезда как пройденное расстояние S=V*t=1500*1=1500 плюс длина лесополосы 800 м и получим длину поезда 2300 м.

Задачи на производительность

Задачи на совместную работу

Задачи на выполнение определенного объема работы по своему решению очень схожи с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет роль скорости. В тех случаях, когда объем работы не задан, его принимают за 1.

При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работы, используют следующие соотношения:

• A=V*t, где А- количество работы, t-время выполнения работы, V-производительность труда, т.е количество работы, выполняемой в единицу времени.

• Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за t₁, а вторым за t₂, то производительность труда при их совместной работе V_совм=; t_совм=

Задача 1. Первый рабочий может выполнить некоторую работу за a часов, а второй за b часов. Определите время, за которое оба рабочих выполнят работу вместе.

Решение: вся работа 1, тогда производительность 1 рабочего , производительность 2 рабочего , а совместная производительность равна , значит, всю работу совместно два рабочих выполнят за время

Задача 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит работу первый, если он за 2 дня работы выполнит такую же часть работы, какую второй рабочий за 3 дня.

Решение:

Пусть х - производительность 1 рабочего, у- производительность 2. Вся работа 1. Двое рабочих выполнят всю работу за 12 дней, значит (х+у)*12=1. За 2 дня работы 1 выполняет такую же работу, как и 2 за 3 дня, значит 2х=3у. Составим систему

;

у=

, значит, 1 рабочий выполнит работу за 20 дней.

Ответ: 20 дней.

Задача 3. Две бригады совместно должны убрать поле за 4 дня. Если первая бригада проработает 1 день, а вторая 4 дня, то будет выполнена половина работы. За сколько дней может убрать все поле каждая бригада?

Решение:

Обозначим через t₁-число дней, за которое может убрать поле 1 бригада, а через t₂-время работы 2 бригады. Тогда за 1 день 1 бригада может убрать часть поля, а 2- часть поля. Так как 2 бригады совместно убирают поле за 4 дня, то . Используя второе условие задачи, получим Составим систему

 

Ответ: время работы 1 бригады 6 дней, 2 бригады-12 дней.

Задачи на бассейны и трубы.

Задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Математическая модель задачи сохраняется, только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объем работы будет представлять наполнение бассейна водой.

Задача 1. Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая труба наполняет бассейн за 5 часов. Найдите время наполнения бассейна одной второй трубой.

Решение: заполняем таблицу

Найдем , значит, время наполнения бассейна одной второй трубой 20 часов.

Задача 2. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта.

Решение:

Пусть объем бассейна 1, тогда время его заполнения до ремонта 1 насосом- х часов, а вторым - y часов. Значит, - производительность первого насоса до ремонта, а - производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, составим уравнение: , т.е

1,2*- производительность 1 насоса после ремонта, а 1,6*- производительность 2 насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, составим уравнение: , т.е

Составим систему:

Умножим первое уравнение на 0,9 и вычтем из него второе, получим:

у=24

х=12; 1,2*

По формуле t=найдем (ч)

Ответ: 10 часов.

Задачи на проценты, концентрацию, смеси, сплавы.

Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у школьников, в частности, у выпускников. Причина такой ситуации заключается в том, что тема «Проценты» изучается в 5 классе, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах.

С 2004 года изменился характер текстовых задач в КИМах ЕГЭ. Стали включаться задачи, сюжеты которых близки к реальным ситуациям (экономическим, финансовым, деловым, игровым и пр). Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей, уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.

Задачи на проценты

При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты-проценты, начисляемые на процентные деньги.

• Для того, чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100

Пример: 1) 24%=24:100=0,24; 2) 700%=700:100=7

• Для того, чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%

Пример: 1) 0,57=0,57*100%=57%; 2) 2,9=2,9*100%=290%

Основные типы задач на проценты

1. Нахождение p% от числа b.

Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством 100%*a=p%*b или или

1. Нахождение числа а по данному проценту р%

Если р% какого-нибудь числа а равно b, то эти числа связаны равенством

1. Нахождение процентного отношения чисел a и b.

Число a составляет от числа b

1. Увеличения на p%

Если число a увеличено на р%, то оно увеличено в раз, то получится число

1. Уменьшение на q%

Если уменьшено на q%, , то оно уменьшено в раз, то получится число

1. Начисление простых процентов при многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где a-исходная сумма, S-наращенная сумма, р% - процентная ставка, n- число периодов начисления.

2. Начисление сложных процентов

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами:

ⁿ, где а - исходная сумма, S-наращенная сумма, р%- процентная ставка, n - число периодов начисления.

Задача 1. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е начисленная сумма присоединяется к вкладу на данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение:

В конце 1 года сумма составит 55000 рублей. Теперь начисляем 10% от этой суммы и получаем сумму в конце 2 года 60500 руб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 руб.

Задача 2. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

Решение:

Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8 кг, а после увеличения веса на 30%-0,8х*1,3кг и т.д, в итоге Женя весил 0,8х*1,3*0,8*1,1 или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел.

Задача 3. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение:

Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100-99=1 (%). Это 20*0,01=0,2 (кг). Т.е те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02=10 (кг)

Ответ: 10 кг.

Задача 4. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько % составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Решение:

Число мальчиков составляет 80% от числа девочек (100%). Определим, сколько % составляет 100% от 80%

Задача 5. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем еще на 120 руб., и, наконец еще на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Решение:

Пусть х рублей - первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной рублей, затем стала равной

1,155х+126=1,3125х

0,1575х=126

х=800

Ответ: первоначальная цена товара 800 руб.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Очень важно разобраться в самом тексте задачи. Необходимо научиться расчленять такую задачу на ряд простейших.

В таких задачах используются понятия «концентрация», «процентное содержание», «влажность».

Если смесь (сплав, раствор) имеет массу m, и состоит из трех веществ массой m₁ ,m₂, m₃, то величины , , называются концентрациями соответствующих веществ. Величины *100, *100, *100 называются процентным содержанием этих веществ. Тогда , т.е концентрации двух веществ определяют концентрацию третьего вещества.

При составлении уравнений обычно прослеживается содержание какого-либо одного вещества из тех, которые смешиваются (сплавляются).

Задача 1. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый , массой 300 г, содержит 20% олова. Второй , массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько % олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение:

До сплавления в этих кусках было г олова. После 200+300=500 (г) будет содержать %=28(%).

Ответ: 28%

Задача 2. Сколько нужно взять 5%-го и 25%-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10%-го раствора кислоты?

Решение:

Пусть надо взять( х)л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято 0,1*4=0,4 или 0,05х+0,025(4-х)

Составим уравнение

0,05х+0,25(4-х)=0,4

х=3

Надо взять 3л. первого раствора и 4-3=1 (л)-второго.

Задача 3. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10% - м и получили 600 г 15% - го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:

Пусть 30%-го раствора взято (х)г, а 10%-го-(у )г, тогда х+у=600. Т.к. первый раствор 30%-ный, то в (х) г этого раствора содержится (0,3х)г кислоты. В (у) г 10%-го раствора содержится (0,1 у)г кислоты.

В полученной смеси содержится 600*0,15=90 (г) кислоты, значит 0,3х+0,1у=90

Составим систему:

Ответ: 150 г; 450 г

Задача 4. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение:

Пусть (х)г- масса 50%-й кислоты

(у)г- масса 70%-й кислоты

(0,5х) г- масса чистой кислоты в смеси

Составим уравнение:

0,5х+0,7у=0,65(х+у) :

Ответ: 1:3

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Числовая последовательность а₁, а₂, …….., а_n, называется арифметической прогрессией, если каждый из последующих членов, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, где d- разность прогрессии, а₁-первый член, n- число членов, а_n-n-й член, а_n=a₁+d(n-1)-формула n-го члена - формула суммы n первых членов.

Числовая последовательность b₁, b₂, b₃,…..,b_n у которой , называется геометрической прогрессией, если каждый из последующих членов этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему члену, уменьшенному на одно и то же число , где q- знаменатель прогрессии, b₁-первый член, n-число членов, b_n-n-й член.

b_n=b₁*q^n-1-формула n-го члена.

- формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Если , геометрическая прогрессия называется убывающей.

формула суммы членов бесконечной геометрической прогрессии

Задача 1. Найдите первый член геометрической прогрессии, если ее третий член равен -10, а его квадрат в сумме с седьмым членом дает утроенный пятый член

Решение:

Пусть b₁-первый член, q-знаменатель.

Д=9+40=49

,

b₁=-2

b₂=5 не подходит

Ответ: -2

Задача 2. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна -3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.

Решение:

Пусть а₁-1 член, d-разность, b₁-1член геометрической прогрессии, q-знаменатель. По условию задачи имеем:

2d=4+b₁(1-q²)

b₁(q²-1)²=0

a₁=-3-b₁

2d=4

q²=1 Ответ d=2

Задача 3. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 м. Каждый день увеличивают длину на одно и то же число метров. В первый день проложили 3 м. Определить сколько метров тоннеля проложили в последний день, если вся работа выполнена за 10 дней?

Решение:

Пусть а_n-количество метров тоннеля, проложенных рабочими в n-й день. Имеем арифметическую прогрессию где а₁=3, а₁+а₂+…….+а₁₀=500

Найдем а_10.

S_n=

Ответ: 97 м.

Задача 4. Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобились 4 различные почтовые марки на общую сумму 2р 80к. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.

Решение:

1. Пусть х руб. - стоимость самой дешевой марки.

2. (2,5х) руб. – стоимость самой дорогой марки.

3. Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т.е.:

х=0,4

4. Из формулы n-го члена:

2,5х=х+3d

1=0,4+3d

d=0,2

;

Ответ: 0,4; 0,6; 0,8; 1

Разные задачи.

Задача 1. Бригада рыбаков намеревалась выловить в определенный срок 1800 ц рыбы. Треть этого срока был шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно недовыполнялось на 20 ц. Однако в остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за 1 день до срока. Сколько центнеров рыбы намеревалась вылавливать бригада рыбаков ежедневно?

Решение:

1. х (дн) - планируемый срок лова рыбы

2. у (ц) – планировалось вылавливать в день

3. ху=1800

4. Так как планируемого срока был шторм, то за это время бригада выловила

(у-20)* х (ц)

5. В оставшееся время бригада выловила (у+20)* х (ц)

6. (у-20)*

7. Составим систему уравнений:

Отсюда у=100

Ответ: 100 ц.

Задача 2. Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410р, причем второй получил того, что получил первый, и еще 60 р, и третий получил денег второго и еще 30 р. Какую премию получил каждый?

Решение:

1. Пусть 1 изобретатель получил х (руб.)

2. Тогда 2-й получилруб., третий получил руб.

3. Из условия задачи имеем:

, откуда х=900; *900+60=360;

Ответ: 900 р; 360 р; 150 р.

Задача 3. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

Решение:

1. Пусть х - цифра десятков

у – цифра единиц

10х+у – искомое двузначное число

2. По условию задачи имеем:

(х= - 2- не подх., так как х- цифра)

Ответ: 32.

Задача 4. Числители трех дробей пропорциональны числам 1,2,5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1,3,7. Среднее арифметическое этих дробей равно . Найти дроби.

Решение:

1. Числители дробей: х; 2х; 5х

2. Знаменатели дробей: у; 3у; 7у

3. Дроби:

4. ;

дробь; - 2 дробь; - 3 дробь

Ответ:

Заключение.

Представленный выше материал предназначен для итогового повторения темы «Текстовые задачи» с целью подготовки к Единому государственному экзамену.

Здесь были рассмотрены основные теоретические вопросы для быстрого повторения, примеры задач, аналогичных экзаменационным, с комментариями к ним. Большей частью это подготавливающие и обучающие задания, нежели контролирующие. Этот материал поможет старшеклассникам систематизировать свои знания по данной теме, подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике и поступить в ВУЗ.

Список литературы:

1. Андреянов П.А и др. Математика. Текстовые задачи и производная на вступительном экзамене. в ВУЗ без репетитора.- М.- ТОО «Община», 1992.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1981.

3. Корешкова Т.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. ЕГЭ-2011. Математика. Тренировочные задания.- М.: Эксмо, 2010.

4. Кочагин В.В. ЕГЭ – 2008. Математика. Сборник заданий / Кочагин В.В., Кочагина М.Н. – М.: Эксмо, 2008.

5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М «Просвещение» 1990.

6. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.М. Математика. Методы решения задач для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 1995.

7. Соловейчик И.В. Математика. – М.: Первое сентября, 2004.

8. Студенецкая В.Н., Гребнева З.С. Решение задач и выполнение заданий по математике с комментариями и ответами для подготовки к Единому государственному экзамену. – Волгоград: Учитель, 2005.

9. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк.- М: «Просвещение», 1989.

10. Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7 – 11 классы: Учебное пособие по математике. – М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2003.

9