Методическая разработка по математике "Решение задач ТВ"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1

(с углубленным изучением отдельных предметов)»

Методическая разработка по математике:

«Решение задач про кубики, кости, монеты и другие задачи по ТВ.»

Подготовила: учитель математики Батурова Г.Ю.

Моршанск 2020

Предисловие.

Некоторую сложность в подготовке к ОГЭ для учащихся составляет решение задач по ТВ. В данном пособии подробно разобраны решения некоторых задач, на которые ребята могут опереться, при работе с аналогичными заданиями. Также данная подборка поможет педагогам в отработке решений задач конкретного типа.

В пособии дается ряд задач с готовым решением и ряд подобных задач, которые учащиеся могут решить самостоятельно, без помощи учителя, дома или на дополнительных заданиях.

Для педагогов предоставляется возможность использовать данный материал в работе с отстающими учениками и учениками, имеющими пробелы в знаниях по данной теме. Подборка задач может быть использована также в качестве заданий для кружковой работы педагогов – предметников и в качестве дополнительных заданий при опережающем обучении.

В пособии использованы материалы ФИПИ, сайт Гущин « Решу ОГЭ», СТАДград и другие интернет-ресурсы.

Простейшие задачи на нахождение вероятности.

1.

На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.

Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.

Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.

Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.

P=6:15=0,4.

!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.

Ответ: 0,4.

2.

На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.

Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.

Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.

P=2:10=0,2

Ответ: 0,2

3.

Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.

Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.

Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.

Р=5:10=0,5

Ответ: 0,5

4.

Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.

Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.

Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.

Р=12:20=0,6

Ответ: 0,6

5.

В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?

Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.

Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.

 Р=995:1000=0,995

Ответ: 0,995

6.

В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.

Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.

Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.

Р=5:10=0,5

Ответ: 0,5

7.

В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.

Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.

Всевозможные события – это все банки. Их 5.

P=4:5=0,8

Ответ: 0,8.

Из простых задач остались самые элементарные.

Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1. 

1.

Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.

2.

Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.

3.

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Р=1-0,06=0,94

Ответ: 0,94.

Задачи с кубиками.

Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.

1.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?

Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.

Ответ: 3.

Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.

У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.

Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.

6^{количество кубиков}=всевозможные события

Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.

2.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.

Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 6³=216.

Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.

Ответ: 0,13.

3.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

С двумя кубиками совсем просто.

Всевозможных событий - 6²=36

Благоприятных событий - 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)

Р=3:36=0,08333

Ответ: 0,08

Задачи с монетами.

Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.

2^{количество монет}=всевозможные события

4.

Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.

О – орел, Р - решка

Благоприятных – 1

Всевозможных – 4

Р=1:4=0,25

Ответ: 0,25

5.

Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что не выпадут два орла и одна решка.

Всевозможных событий у нас 2³=8. Выпишем их.

Благоприятных событий 3.

Р=3:8=0,375

Ответ: 0,375.

Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.

В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно. 

Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.  

О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.

И – умножаем

ИЛИ - складываем

1.

В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.

Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.

Возможны несколько случаев. 

1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.

2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.

3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.

Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:

Р=0,384+0,096+0,008=0,488

И решим задачу вторым способом. Более коротким. 

Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512

Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488

Ответ: 0,488

2.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.

Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:

(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)

Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.

Ответ: 0,32.

( сайт Гущина « Решу ОГЭ»)

Задание 10 № 325453

Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет нечётное число очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3/6=0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325481

Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет не больше трёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6=0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325482

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

Решение.

Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна 2/4=0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325450

В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.

Решение.

Всего в соревнованиях участвуют 3 + 3 + 4 = 10 гимнасток. Поэтому вероятность того, что первой будет будет выступать гимнастка из России равна 3/10= 0.3

Ответ: 0,3.

Задание 10 № 325452

Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет менее 4 очков.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет менее четырёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2 или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет менее 4 очков равна 3/6= 0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325456

Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?

Решение. Всего возможны два исхода эксперимента, выпадению решки удовлетворяет один из них, поэтому вероятность выпадения решки в этом эксперименте равна 1 : 2 = 0,5. Частота выпадения решки в данном эксперименте равна (1000 − 532) : 1000 = 0,468. Поэтому частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на 0,5 − 0,468 = 0,032.

Ответ: 0,032.

Задание 10 № 325479

Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало четное число очков.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет чётное число очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 2, 4 или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет чётное число очков равна 3/6= 0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325480

Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не меньшее 1.

Результат округлите до сотых.

Решение.

При бросании кубика всегда выпадает не меньше одного очка, то есть вероятность события «выпадет число очков не меньшее 1» равна одному.

Ответ: 1.

Задание 10 № 325490

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет больше трёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6= 0.5

 Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, большее 3, либо событие Б — выпало число не больше 3. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3 равна 3/4= 0.75

Ответ: 0,75.

Задание 10 № 325492

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет меньше четырёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четрёх очков равна 3/6= 0.5

 Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна 1/4= 0.25

Ответ: 0,25.

Задание 10 № 325493

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

Решение.

При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Число 5 будет наибольшим из выпавших, если хотя бы один раз выпадает 5 и ни разу — 6. То есть либо на первом кубике должно выпасть 5 очков, а на втором — любое число кроме 6, либо наоборот, на втором кубике должно выпасть 5, а на первом — любое число кроме 6. Также необходимо помнить, что при таком подсчёте вариант, когда на обоих кубиках выпадает пять, мы учитываем дважды: 5 + 5 − 1 = 9. Поэтому вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел — 5 равна 9/36= 0.25

Ответ: 0,25.

Задание 10 № 325494

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наименьшее из двух выпавших чисел равно 2.

Решение.

При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Число 2 будет наименьшим из выпавших, если хотя бы один раз выпадает 2 и ни разу — 1. То есть либо на первом кубике должно выпасть 2 очка, а на втором — любое число кроме 1, либо наоборот, на втором кубике должно выпасть 2, а на первом — любое число кроме 1. Также необходимо помнить, что при таком подсчёте вариант, когда на обоих кубиках выпадает двойка, мы учитываем дважды: 5 + 5 − 1 = 9. Поэтому вероятность того, что наименьшее из двух выпавших чисел — 2 равна 9/36= 0.25

Ответ: 0,25.

Задание 10 № 325495

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел четна.

Решение.

При бросании кубика два раза равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Сумма чётна, если на первом кубике выпадает нечётное число и на втором выпадает нечётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Либо, если на обоих кубиках выпадают чётные числа, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Поэтому вероятность того, что сумма двух выпавших чисел чётна равна 18/36= 0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325496

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.

Решение.

При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Сумма нечётна, если на первом кубике выпадает нечётное число, а на втором выпадает чётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Либо, если наоборот, на первом кубике выпадает чётное число, а на втором выпадает нечётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Поэтому вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечётна равна 18/36 =0.5

Ответ: 0,5.

Задание 10 № 325497

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет меньше четырёх очков" удовлетворяет три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четырёх очков равна 3/6=0.5

Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна 3/4=0.75

Ответ: 0,75.

Задание 10 № 325491

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет больше трёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6=0.5

Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, большее 3, либо событие Б — выпало число не больше 3. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3 равна 1/4=0.25

Ответ: 0,25.