Методическое пособие по информатике "Логика ЭВМ"

ВВЕДЕНИЕ

Различают комбинационные схемы и цифровые автоматы. В комбинационных схемах состояние на выходе в данный момент времени однозначно определяется состояниями на входах в тот же момент времени. Комбинационными схемами, например, являются логические элементы И, ИЛИ, НЕ и их комбинации. В цифровом автомате состояние на выходе определяется не только состояниями на входах в данный момент времени, но и предыдущим состоянием системы. К цифровым автоматам относятся триггеры.

Логическими элементами называются элементы, выполняющие логические операции И, ИЛИ, НЕ и комбинации этих операций. Указанные логические операции можно реализовать с помощью контактно - релейных схем и с помощью электронных схем. В настоящее время в подавляющем большинстве применяется электронные логические элементы, причем электронные логические элементы входят в состав микросхем. Имея в распоряжении логические элементы И, ИЛИ, НЕ, можно сконструировать цифровое электронное устройство любой сложности. Электронная часть любого компьютера состоит из логических элементов.

Система простых логических функций, на основе которой можно получить любую логическую функцию, называется функционально полной.

Отсюда следует, что для построения логического устройства любой сложности достаточно иметь однотипные логические элементы, например, И - НЕ или ИЛИ - НЕ.

Логические элементы могут работать в режимах положительной и отрицательной логики. Для электронных логических элементов в режиме положительной логики логической единице соответствует высокий уровень напряжения, а логическому нулю - низкий уровень напряжения. В режиме отрицательной логики логической единице соответствует низкий уровень напряжения, а логическому нулю - высокий.

Для контактно - релейных схем в режиме положительной логики логической единице соответствует замкнутый контакт ключа или реле, а логическому нулю - разомкнутый. Светящийся индикатор (лампочка, светодиод) соответствует логической единице, а несветящийся - логическому нулю.

Логические элементы, реализующие для режима положительной логики операцию И, для режима отрицательной логики выполняют операцию ИЛИ, и наоборот. Так, например, микросхема, реализующая для положительной логики функции элемента 2И - НЕ, будет выполнять для отрицательной логики функции элемента 2 ИЛИ - НЕ.

Как правило, паспортное обозначение логического элемента соответствует функции, реализуемой "положительной логикой". Логические элементы И, ИЛИ, НЕ имеют один выход, число входов логических элементов И, ИЛИ может быть любым начиная с двух. Логические элементы И и ИЛИ, выпускаемые в составе микросхем, обычно имеют 2, 3, 4, 8 входов. В названии элемента первая цифра указывает число входов.

Прежде всего, рассмотрим реализацию логических элементов с помощью контактно - релейных схем. Рассмотрим логический элемент 2И. Он выполняет операцию логического умножения. На рисунке 1. 1, а приведена контактно - релейная схема логического элемента 2И для режима положительной логики.

Весь материал - смотрите документ.

ЛОГИКА ЭВМ

Методическое пособие по дисциплине: «Информационные технологии в профессиональной деятельности»

2014 год

В данном методическом пособии рассмотрена тема: «Логика ЭВМ» применение которой обеспечивает эффективность обучения студентов по дисциплине: «Информационные технологии в профессиональной деятельности. Данное методическое пособие так же можно использовать для учащихся школ и студентов учебных заведений различного уровня по дисциплине: «Информатика».

Данное методическое пособие предназначено для преподавателей, студентов и учащихся.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение 4

2. Что такое алгебра логики? 10

3. Что такое логическая формула? 17

4. Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием? 19

5. В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах процессора данные и команды? 20

6. Что такое логический элемент компьютера? 21

7. Что такое   схемы  И,  ИЛИ,  НЕ,  И—НЕ,  ИЛИ—НЕ? 22

8. Что такое триггер? 28

9. Что такое сумматор? 31

10. Основные законы алгебры логики 34

11. Как составить таблицу истинности? 35

12. Вопросы для самоконтроля 39

13. Использованная литература 40

ВВЕДЕНИЕ

Различают комбинационные схемы и цифровые автоматы. В комбинационных схемах состояние на выходе в данный момент времени однозначно определяется состояниями на входах в тот же момент времени. Комбинационными схемами, например, являются логические элементы И, ИЛИ, НЕ и их комбинации. В цифровом автомате состояние на выходе определяется не только состояниями на входах в данный момент времени, но и предыдущим состоянием системы. К цифровым автоматам относятся триггеры.

Логическими элементами называются элементы, выполняющие логические операции И, ИЛИ, НЕ и комбинации этих операций. Указанные логические операции можно реализовать с помощью контактно-релейных схем  и с помощью электронных схем. В настоящее время  в подавляющем большинстве применяется электронные логические элементы, причем электронные логические элементы входят в состав микросхем. Имея в распоряжении логические элементы И, ИЛИ, НЕ, можно сконструировать цифровое электронное устройство любой сложности. Электронная часть любого компьютера состоит из логических элементов.

Система простых логических функций, на основе которой можно получить любую логическую функцию, называется функционально полной.

 Отсюда следует, что для построения логического устройства любой сложности достаточно иметь однотипные логические элементы, например, И-НЕ  или ИЛИ-НЕ.

Логические элементы могут работать в режимах положительной и отрицательной логики. Для электронных логических элементов в режиме положительной логики логической единице соответствует высокий уровень напряжения, а логическому нулю - низкий уровень напряжения. В режиме отрицательной логики логической единице соответствует низкий уровень напряжения, а логическому нулю - высокий.

Для контактно-релейных схем в режиме положительной логики логической единице соответствует замкнутый контакт ключа или реле, а логическому нулю - разомкнутый. Светящийся индикатор (лампочка, светодиод) соответствует логической единице, а несветящийся - логическому нулю.

Логические элементы, реализующие для режима положительной логики операцию И, для режима отрицательной логики выполняют операцию ИЛИ, и наоборот. Так, например, микросхема, реализующая для положительной логики функции элемента 2И-НЕ, будет выполнять для отрицательной логики функции элемента 2ИЛИ-НЕ.

Как правило, паспортное обозначение логического элемента соответствует функции, реализуемой "положительной логикой". Логические элементы И, ИЛИ, НЕ имеют один выход, число входов логических элементов  И, ИЛИ  может быть любым начиная с двух. Логические элементы И и ИЛИ, выпускаемые в составе микросхем, обычно имеют  2, 3, 4, 8 входов. В названии элемента первая цифра указывает число входов.

Прежде всего, рассмотрим реализацию логических элементов с помощью контактно-релейных схем. Рассмотрим логический элемент  2И. Он выполняет операцию логического умножения. На рисунке 1.1,а приведена контактно-релейная схема логического элемента 2И для режима положительной логики.

Обозначение логического элемента 2И на принципиальных схемах  показано на рисунке 1.1,б. Знак  & (амперсант) в левом верхнем углу прямоугольника  указывает, что это логический элемент И. Первые две буквы обозначения  DD1.2  указывают на то, что это цифровая микросхема, цифра слева от  точки указывает номер микросхемы на принципиальной схеме, а цифра справа от точки – номер логического элемента в составе данной микросхемы.

Функционирование логического элемента обычно задают  таблицей  истинности. Контактно-релейная схема логического элемента 2И (режим положительной логики) позволяет легко составить таблицу истинности этого элемента. Так как микросхема имеет для подачи входных сигналов два входа, то возможны  2²=4 различных комбинации входных сигналов. Необходимо проанализировать состояние лампочки при различных положениях тумблеров Sa1, Sa2, т.е. рассмотреть 4 различных комбинации состояний тумблеров (рис. 1.1,в).   

Введение понятия активного логического уровня существенно облегчает анализ функционирования сложных цифровых устройств. Активным логическим уровнем на входе элемента (логический нуль, логическая единица) называется такой уровень, который однозначно задает состояние на выходе элемента независимо от логических уровней на остальных входах элемента. Активный логический уровень на одном из входов элемента определяет уровень на его выходе. Уровни, обратные активным, называются пассивными логическими уровнями.

Активным логическим уровнем для элементов И является логический нуль. Пусть, например, имеем логический элемент 8И.  Необходимо проанализировать 2⁸=256 различных состояний для составления таблицы истинности этого элемента. Воспользуемся понятием активного логического уровня. Если хотя бы на одном из входов этого элемента будет активный логический уровень, то состояние на выходе элемента определено однозначно и нет необходимости анализировать состояния на остальных входах элемента.

 Таким образом, таблицу истинности логического элемента 8И можно свести к двум строчкам: на выходе этого элемента будет логическая единица, если на всех входах будут сигналы логической единицы и на выходе будет логический нуль, если хотя бы на одном из входов элемента будет сигнал логического нуля.

Логический элемент 2ИЛИ выполняет логическую операцию логического сложения  у=х1+х2. Контактно-релейная схема элемента приведена на рисунке 1.2,а, а его условное обозначение – на рисунке 1.2,б. Знание контактно-релейной схемы элемента позволяет составить таблицу истинности (рис.1.2,в). Лампочка будет гореть, если замкнуты контакты хотя бы одного тумблера, т.е. активным логическим уровнем для элементов ИЛИ является уровень логической единицы.

Логический элемент НЕ выполняет операцию отрицания, и для этого элемента проще составить сразу таблицу истинности, а не вычерчивать сначала контактно-релейную схему, а затем по ней составлять таблицу истинности. Для логических элементов И и ИЛИ проще сначала вычертить контактно-релейную схему, а уже потом составлять таблицу истинности.

Напомним алгоритм работы электромагнитного реле с нормально замкнутыми контактами: при отсутствии электрического тока через обмотку реле контакты реле замкнуты, а при протекании достаточного тока через обмотку реле контакты реле разомкнуты. Контактно релейная схема элемента НЕ приведена на рисунке 1.3а, а его условное обозначение – на рисунке 1.3б.

Проанализируем работу контактно-релейной схемы логического элемента НЕ (рис. 1.3а). Если контакты ключа Sa1 разомкнуты, то через обмотку К электромагнитного реле ток протекать не будет. Контакты К1.1 (цифра слева от точки указывает номер реле на принципиальной схеме, а цифра справа  – номер контактной группы данного реле) будут замкнуты (электромагнитное реле с нормально замкнутыми контактами). Электрическая лампочка HL1 в этом случае будет гореть, что для режима положительной логики будет означать логическую единицу. При замкнутых контактах ключа Sa1 (на входе элемента логическая единица) через обмотку реле протекает ток, достаточный для размыкания контактов К1.1,  поэтому лампочка перестает гореть (логический нуль). В результате анализа мы получили, что сигнал на выходе элемента противоположен сигналу на входе, т.е. если на входе элемента сигнал логической единицы, то на выходе элемента сигнал логического нуля и наоборот (рис. 1.3,в).

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Что же такое логическое высказывание?

 
     Джордж Буль

Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называютсявысказывательными формами.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не",   "и",   "или",  "если... , то",   "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются   логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются   составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются   элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".

При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В— высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание   "Тимур летом побывает и на море,  и в горах"   можно кратко записать как    А и В.  Здесь   "и"  — логическая связка,   А,   В   — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения —   "истина"   или   "ложь",  обозначаемые, соответственно,   "1"  и   "0".

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ    Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ).   Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.   Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ().

И    Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " ^. "(может также обозначаться знаками или &). Высказывание А ^. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание  "10 делится на 2 и 5 больше 3"   истинно, а высказывания     "10 делится на 2 и 5 не больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"     —   ложны.

ИЛИ    Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.   Например, высказывание   "10 не делится на 2 или 5 не больше 3"   ложно,     а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3",   "10 делится на 2 или 5 не больше 3",   "10 не делится на 2 или 5 больше 3"     —   истинны.

ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая связками   "если ..., то",  "из ... следует",  "... влечет ...",  называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание    ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник — квадрат" (А) и "около данного четырёхугольника можно описать окружность" (В). Рассмотрим составное высказывание   , понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три варианта, когда высказывание    истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка   "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.   Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы",   "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

РАВНОСИЛЬНО   Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называетсяэквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком    или  ~.   Высказывание  истинно тогда и только тогда, когда значения А и Всовпадают.       Например, высказывания     "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3",    "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3"   истинны,   а высказывания   "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5",   "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"   ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание , могут быть совершенно не связаны по содержанию, например:     "три больше двух" (А),    "пингвины живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания   "три не больше двух" (),   "пингвины не живут в Антарктиде"().   Образованные из высказываний А и В составные высказывания A B     и        истинны, а высказывания   A   и    B — ложны. 
 

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B)  C. Такая же формула соответствует высказыванию   "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".

Как показывает анализ формулы (A v B)  C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь" (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v , соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или косоугольный". Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А ^. , которой соответствует, например, высказывание "Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати". Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо  обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "=" или символом "" Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

2. на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации.

Мы уже рассмотрели способы записи двоичной информации на магнитных дисках и на CD-ROM.

В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или наоборот), например: 
 

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие (называемые также вентилями), а такжетриггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 5.1.

  
                  Рис. 5.1

Таблица истинности схемы И

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом  z  этой схемы и входами  x  и  y  описывается соотношением:   z = x ^. y 
(читается как "x и y"). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком  "&"  (читается как "амперсэнд"),  являющимся сокращенной записью английского слова  and.
 

Схема  ИЛИ  реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы  ИЛИ  будет единица, на её выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. 5.2.   Знак "1" на схеме — от устаревшего обозначения дизъюнкции как   "=1"  (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1).    Связь между выходом  z  этой схемы и входами  x  и  y   описывается соотношением:  z = x v y  (читается как "x или y").

  
                  Рис. 5.2

Таблица истинности схемы ИЛИ

Схема   НЕ  (инвертор) реализует операцию отрицания.  Связь между входом   x этой схемы и выходом  z  можно записать соотношением   z =, где читается как "не x" или "инверсия х".

Если на входе схемы  0,  то на выходе  1.  Когда на входе  1,  на выходе  0.  Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рисунке 5.3

  
                  Рис. 5.3

Таблица истинности схемы НЕ

Схема И—НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: , где     читается как   "инверсия x и y".   Условное обозначение на структурных схемах схемы   И—НЕ  с двумя входами представлено на рисунке 5.4.

  
                  Рис. 5.4

Таблица истинности схемы И—НЕ

Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора  и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.     Связь между выходом  z  и входами  x  и  y  схемы записывают следующим образом:  ,  где  ,  читается как  "инверсия  x или y ". Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ—НЕ с двумя входами представлено на рис. 5.5.

  
                  Рис. 5.5

Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ

Термин триггер происходит от английского слова trigger — защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс). Условное обозначение триггера — на рис. 5.6.

 
Рис. 5.6

Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала .

На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов ( ).

Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие — нулем.

На рис. 5.7 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ—НЕ и соответствующая таблица истинности.

Рис. 5.7

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ—НЕ (табл. 5.5).

1. Если на входы триггера подать S="1", R="0", то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится "0". После этого на входах нижнего вентиля окажется R="0", Q="0" и выход станет равным "1".

2. Точно так же при подаче "0" на вход S и "1" на вход R на выходе появится "0", а на Q — "1".

3. Если на входы R и S подана логическая "1", то состояние Q и не меняется.

4. Подача на оба входа R и S логического "0" может привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта, соответственно, 8 х 2¹⁰ = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём. Условное обозначение одноразрядного сумматора на рис. 5.8.

Рис. 5.8

При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

1. цифра a_i первого слагаемого;

2. цифра b_i второго слагаемого;

3. перенос p_i–1 из младшего разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра c_i для суммы;

2. перенос p_i из данного разряда в старший.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности:

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Например, схема вычисления суммы C = (с₃ c₂ c₁ c₀) двух двоичных трехразрядных чисел A = (a₂ a₁ a₀) и B = (b₂ b₁ b₀) может иметь вид:

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре:

(0, 0),     (0, 1),     (1, 0),     (1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь:

(0, 0, 0),     (0, 0, 1),     (0, 1, 0),     (0, 1, 1),     (1, 0, 0),     (1, 0, 1),     (1, 1, 0),     (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Примеры.

1. Составим таблицу истинности для формулы , которая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу:

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной.

1. Таблица истинности для формулы :

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула  принимает значение 0, то есть является тождественно ложной.

3. Таблица истинности для формулы :

Из таблицы видно, что формула  в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является выполнимой.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение функционально полной системе?

2. В каком режиме могут работать логические элементы?

3. Что такое алгебра логики?

4. Что такое логическое высказывание?

5. Всякое ли предложение является логическим высказыванием?

6. Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются?

7. Высказывания, не являющиеся составными, называются?

8. Что такое логическая формула?

9. Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием?

10. В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах процессора данные и команды?

11. Что такое логический элемент компьютера?

12. Дайте определение таблицам истинности?

13. Дайте определение триггеру?

14. Дайте определение сумматору?

15. Что из - себя представляет многоразрядный двоичный сумматор?

Использованная литература

1. Изучение элементной базы цифровой техники

Иноземцев В.А.

1. Интернет-версия издания: Шауцукова Л.З.

1. http://ivatv.narod.ru/zifrovaja_texnika/1_01.htm

2. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_0.html

3. http://book.kbsu.ru/theory/index.html

4. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_1.html

5. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_2.html

6. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_3.html

7. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_4.html

8. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_5.html

9. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_6.html

10. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_7.html

11. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_8.html

12. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_9.html

13. http://book.kbsu.ru/theory/chapter5/1_5_10.html

41