Методическая разработка по предмету «Математика» по теме: «Дифференциальные уравнения 1-го порядка»

Пояснительная записка.

При изучении некоторых явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

Явления в физики, химии, биологии, экономике описываются математическими моделями достаточно полно, в результате эти науки достигли высокой степени теоретических обобщений. Большинство таких явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

Дифференциальные уравнения - важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине. В этом методической разработке приводятся несколько математических моделей, описывающих некоторые процессы в указанных науках. Анализ этих моделей в основном предлагается провести в задачах.

Здесь рассматриваются методы интегрирования простейших дифференциальных уравнений 1-го порядка. Соответственно цель изучения темы "Основные понятия дифференциальных уравнений 1-го порядка" состоит в кратком изложении основных понятий и методов интегрирования простейших дифференциальных уравнений 1-го порядка, наиболее часто встречающихся.

1. Историческая справка.

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики.

Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира.

Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.

Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций электрических и магнитных явлений, описывающие биологические сообщества, распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции, изменения в экономике и др.

Теория дифференциальных уравнений возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик, механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии, на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович (так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем. Неутолимо вычисляя при свечах, он потерял зрение сначала на правый, а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

Ученый кот, услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и  Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но, однако,

Кот съел в теории собаку.

При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этих процессов или явлений. А затем, решая эти уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов.

Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения.

Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений.

Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты.

С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать на небе. Точно в указанном месте эта планета затем была обнаружена, её назвали НЕПТУН. О ней говорят, что она открыта «на кончике пера», т.е. путем вычислений.

Актуальность методической разработки заключается в том, что исследование многих задач сводится к решению дифференциальных уравнений, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно. В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:

для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;

для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;

для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных;

для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

Целью данной работы является обеспечить наибольшую эффективность усвоения методов использования дифференциальных уравнений, а также научиться находить общее решение линейных дифференциальных уравнений, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Студент должен уметь:

находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;

составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Студент  должен знать:

понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и частного решения;

понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения

практическое применение ДУ в физике, химии, экономике, биологии и медицине.

Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.

2. Основные понятия дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значения её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Порядком или степенью дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение. 

Весь материал - в документе.