Получите свидетельство
Вход
Математика. Введение отрицательных и противоположных чисел
Фомина Надежда Валентиновна
учитель математики
МОУ «Школа №18 города Тореза»
Каждый учитель, заинтересованный в совершенствовании преподавания математики, должен быть лично знаком с учебниками А.П. Киселева, учебниками, которые долгое время считались эталонными. Н.В. Розов, профессор, декан факультета педагогического образования МГУ в предисловии к изданию учебника [1] А.П. Киселева «Алгебра. Часть I» пишет: «Чаще и внимательнее перечитывайте классиков»- это глубокая мысль касается не только бессмертных шедевров художественной литературы. С полным правом распространяется она и на книги «мэтров» педагогики и методики преподавания, ибо профессиональное искусство обучающего и оригинальность преподнесения материала подчас важнее академических познаний учителя и следования инструктивным письмам».
Учитель, стремящийся стать профессионалом, уделяет в своей работе большое внимание методике изложения материала, содержанию урока, сочетанию доступности и строгости, применению компьютерных и мультимедийных обучающих продуктов.
Формализм в преподавании математики губителен. Известно, что большое число обучающихся испытывает трудности и даже неприязнь при изучении математики. Одна из причин состоит в том, что материал кажется им слишком абстрактным, оторванным от реальности. Часто правила обучающиеся заучивают формально, не понимая как и откуда они появились. Вместе с тем абстрактные математические понятия и формы рождались не сами по себе. Их появление было вызвано и связано с практическими потребностями человека. Следует использовать любую возможность, чтобы на учебном материале показывать это ученикам. В этом неоценимую помощь учителю окажут учебники А.П. Киселева.
Сравним, например, как вводятся целые (положительные и отрицательные числа) числа в учебнике [2] «Математика. 6 класс» авторов С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.и в учебнике [1] А.П. Киселева «Алгебра. Часть I».
|
| А.П. Киселев «Алгебра. Часть I» | Комментарии |
| 1 | Задача. Термометр в полночь показывал 2º, а в полдень 5º. На сколько градусов изменилась температура от полуночи до полудня? | Обучающимся предлагается задача с неполными данными. В учебнике [2] таких задач нет. Поэтому большинство учеников «решат» ее. Ответы получатся разные. Вот готовая проблемная ситуация. |
| 2 | Объяснение. В этой задаче условия выражены неполно: надо указать 2º тепла или холода показывал термометр в полночь, подобные указания нужно сделать также относительно температуры в полдень. Если в полдень и полночь термометр показывал тепло, то за этот промежуток времени температура повысилась от 2º до 5º, то есть повысилась на 3º. Если же в полночь было 2º холода ( ниже 0º), а в полдень 5º тепла (выше 0º), то температура повысилась на 2+5, то есть на 7º. | Как видно, объяснения даются на простом, понятном языке. В качестве примера приводится реальная, хорошо знакомая ученикам ситуация. |
| 3 | Вывод. В этой задаче речь идет о величине, которую можно отсчитывать в двух противоположных направлениях: температуру можно отсчитывать вверх от нулевой черты термометра и вниз от нее. Принято температуру выше 0º (тепло) считать положительной и обозначать числом градусов со знаком «+», а температуру ниже 0º (холод) считать отрицательной и обозначать числом градусов со знаком «-» | Сделанный вывод, безусловно, понятен ученикам. Более того, им это хорошо известно из личного опыта. |
| 4. | Переформулировка задачи. Сформулируем теперь задачу иначе: термометр в полночь показывал -2º, а в полдень +5º. На сколько градусов и как изменилась температура от полуночи до полудня? В таком виде задача получает вполне определенный ответ : температура повысилась на 2+5, то есть на 7º. | Можно предложить обучающимся самим переформулировать задачу и решить ее. |
| 5 | Расширение понятия. Кроме температуры есть другие величины, которые можно понимать в двух противоположных смыслах. Например, доход – расход, выигрыш – проигрыш, прибыль – убыток, имущество – долг и т.д. | Приведенные примеры знакомы учащимся. Дети смогут дополнить этот список. |
| 6 | Объяснение. Если доход, выигрыш, прибыль, имущество и т.п. условимся считать величинами положительными и выражать их числами со знаком «+» (или без знака), то расход, проигрыш, убыток, долг и т.п. принято считать величинами того же рода, но отрицательными и выражать их числами со знаком « - ». При таком соглашении будут понятны выражения: - жилищное товарищество получило доход с квартир: в январе +200 руб., в феврале -50 руб.; - у старшего брата имущества было на 500 руб., а у младшего не -300 руб. | С учетом принятого соглашения, ученики сами смогут объяснить смысл предложенных фраз. |
После проделанной работы дается определение : «Число со знаком (+) (который, впрочем, принято опускать) называется положительным; число со знаком (-) называется отрицательным.» И далее приводятся примеры. Понятие «положительные и отрицательные числа» вводится и для целых , и для дробных чисел сразу.
Данный методический прием (прибыль-убыток) автор применяет на протяжении изложения всей темы. Это помогает ученикам самим формулировать правила действий с положительными и отрицательными числами, понимать откуда и как эти правила появились. Вот несколько примеров , взятых из учебника [1] :
| Правило | Объяснение |
| Сумма двух противоположных чисел равна нулю. (+150)+(-150)=0
| Если, например, кооператив получил за один месяц прибыль, а за другой столько же убытка, то в результате он не имеет ни прибыли, ни убытка. |
| Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их абсолютные величины и поставить в ответе минус. (-200) + (-150)= -350 | Если за каждый месяц получен убыток. Например, за первый месяц получено 200 руб., а за второй 150 руб. убытка. В этом случае кооператив получил за два месяца 350 руб. убытка. |
В учебнике [2] «Математика. 6 класс» авторов С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. понятие «положительные и отрицательные числа» вводится раздельно : сначала для целых чисел (глава 2), потом для обыкновенных дробей (глава 3), а потом для десятичных дробей (глава 4). Само появление отрицательных чисел представляется и объясняется довольно абстрактно:
1.Строится ряд целых неотрицательных чисел: 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
2. Ставится проблема: как из 7 вычесть 8 ?
3. Дается пояснение: «Отсчитать в ряду неотрицательных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7-8 стало выполнимым, расширим ряд неотрицательных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (слева направо) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак «-», показывающий , что это число стоит слева от нуля. Полученный ряд …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … называют рядом целых чисел».
4. Далее вводится понятие : «Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными. Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называются целыми отрицательными».
Даже на таком небольшом примере видны существенные отличия в методике изложения материала. В учебнике А.П. Киселева «Алгебра. Часть I» понятие «положительные и отрицательные числа» вводится:
с опорой на опыт и практику учеников;
от конкретного к абстрактному;
все последовательность рассуждений понятна и логична;
правила, действия над числами интерпретируются, объясняются в разных терминах;
ученики получают представление о том, как возникли отрицательные числа, какая в них была потребность;
понятие вводится сразу для всех чисел: целых и дробных;
язык изложения материала понятен , доступен, но вместе с тем, и строг, каждая фраза в учебнике отшлифована мастером.
Рассмотрим далее введение противоположных чисел. В учебнике [2] С.М. Никольского сразу дается определение противоположных чисел: «Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными. Например, +1 и -1, -5 и +5- противоположные числа».
Возникает вопрос, как , откуда возникли эти числа? Почему их так назвали? Какая в них потребность?
В учебнике [1] А.П. Киселева перед введением противоположных чисел рассматривается вопрос: как положительные и отрицательные числа изображать на числовой прямой. Автор пишет: «Возьмем какую-нибудь прямую (например, горизонтальную) и условимся одно из двух направлений прямой считать положительным. Примем, например, направление слева направо (указанное стрелкой) за положительное, тогда противоположное направление – справа налево- будем считать отрицательным». Далее подробно объясняется, как отложить на прямой положительное или отрицательное число. Изображая число +3, двигаемся вправо от 0 на 3 единичных отрезка. Изображая число -3, перемещаемся в противоположную сторону от 0 тоже на три единичных отрезка. В результате вполне логично следует вывод: «так как направления отрезков, концы которых изображают числа со знаком «+», противоположно направлению отрезков, изображающих числа со знаком «-», то и сами эти знаки принято называть противоположными знаками. Всякие два числа , как +3 и -3, +5 и -5 и т.п., у которых знаки противоположны, а абсолютные величины одинаковы , называются противоположными числами». В результате такого объяснения ученику будет понятен и сам термин «противоположные числа» , и его смысл и происхождение.
Уверена, знакомство каждого современного учителя математики с классическими учебниками А.А. Киселева поможет педагогу стать гроссмейстером своего дела, обогатит методику изложения материала оригинальными находками .
Литература
Киселев А.П., Алгебра.Ч.I/ Киселев А.П.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.-152с.
Математика.6 класс: учебн. Для общеобразоват. Организаций/С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.-М.: Просвещение, 2016.-256с.
Математика. Ведение отрицательных и противоположных чисел (68.58 KB)
0
625
19
Нравится
0
