"Математические чудеса и тайны" (ФГОС)

Занятие: «ЛИСТ МЁБИУСА»

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом...

Он полон неосознанной романтики.

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем - простота, и вместе с нею - сложность,

Что недоступна даже мудрецам.

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары...

Иванова Н. Ю.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Сегодня мы проведем ряд экспериментов, подтверждающих удивительные свойства листа Мёбиуса. Эти свойства породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в бостонском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути замкнутом в ленту Мёбиуса ("Лист Мёбиуса" автор Дж. Дейч). Оказалось, что автор не так далёк от истины. Физики - теоретики пришли к выводу, что наша вселенная, вероятно, замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность вселенной.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур, для графического искусства и поэзии. Эшер был одним из художников, который особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из них известных - «лист Мёбиуса», показывает муравьев ползущих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса применяется в науке и в технике: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатных устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д.

Итак, лист Мёбиуса применяется в науке, технике и «изучение свойств вселенной».

(презентация)

^ Что такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса -топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом

Эксперимент№1

Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить.

Я взяла лист Мёбиуса и начала закрашивать ленту, выбрав произвольное направление. Вскоре я вернулся в то место, откуда начала. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь я её не переворачивала, чтобы закрасить с другой стороны.

Итак, лента Мёбиуса - действительно односторонняя поверхность! Такое вот любопытное свойство! А из этого свойства следуют удивительные превращения ленты.

Эксперимент№2

Возьмите лист Мёбиуса, повёрнутый на пол оборота(180 градусов) и разрежьте по середине по линии параллельной краю и получите вместо двух лент одну длинную ленту с двумя полуоборотами. Эта лента не лента Мёбиуса.

Эксперимент №З

Ленту, полученную во втором эксперименте, разрежьте по середине - получите две ленты, намотанные друг на друга

Эксперимент№4

Ленту Мёбиуса с одним полуоборотом разрежьте, отступив от края на треть его ширины. Получилось две ленты: одна более короткая - лента Мёбиуса, другая длинная лента с двумя полуоборотами - не лента Мёбиуса.

Эксперимент№5

Разрежьте маленькое кольцо, полученное в четвёртом эксперименте. Получилось весьма «затейливое» переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине.

Эксперимент №б

Разрежьте ленту с тремя полуоборотами. Получилась лента, завязанная в узел трилистника.

Оказывается, разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Эксперимент № 7

Солдатик перевертыш

Вырежьте бумажного солдатика и отправьте его вдоль пунктира, идущего по середине листа Мёбиуса. И вот он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевёрнутом! А что - бы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное» путешествие.

^ Свойства листа Мёбиуса

Результатом проведённых экспериментов явилось подтверждение удивительных свойств ленты Мёбиуса:

односторонность - свойство характерное только для листа Мёбиуса;

непрерывность - на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой, разрывов нет -непрерывность полная;

связанность - чтобы разделить квадрат на две части нам потребуется один разрез, кольцо - два разреза, что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется от смены количества оборотов ленты;

ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса, так если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда бы он вернулся в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

^ Удивительное рядом.

Обломок морской ракушки, закрученный в виде листа Мёбиуса. Следовательно, лист Мёбиуса - это не изобретение человека, а его гениальное открытие.

Использование листа Мёбиуса

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса.

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон - это лента Мёбиуса.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

5. Система записи на непрерывную плёнку - лист

Мёбиуса.

6. Красящая лента в первых принтерах - лента Мёбиуса

увеличивала срок их использования.

7.В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

8.Международный символ переработки - лист Мёбиуса.

Заключение

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал», что чувство удивления - могучий источник желания знать: от удивления к знаниям - один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Танграм: древняя китайская головоломка.

Вы слышали слово «головоломка»? - Как вы понимаете это слово? - Какие головоломки вы знаете?

1. Беседа «Головоломки».

Рассказ учителя о знаменитых головоломках: Кубик Рубика, Пирамидка Рубика, Змейка Рубика, Волшебные кольца, Цилиндр.

«Кубик Рубика» (первоначально был известен как «Магический кубик») — механическая головоломка, изобретённая в 1974 году венгерским скульптором и профессором архитектуры Эрно Рубиком. Головоломка представляет собой пластмассовый куб, составленный из 27 кубиков меньшего размера, способных вращаться вокруг невидимых снаружи осей. Каждый из девяти квадратов на каждой грани кубика окрашен в один из шести цветов. Задача игрока заключается в том, чтобы, поворачивая грани кубика, вернуть его в такое состояние, когда каждая грань состоит из квадратов одного цвета («собрать кубик Рубика»).

«Пирамидка Рубика» Известная механическая головоломка с 4-мя сторонами разного цвета. Цель — собрать все элементы одного цвета на одной стороне. Как и Кубик Рубика, она состоит из элементов, которые при повороте граней могут перемешаться с грани на грань, только роль кубиков здесь выполняют маленькие тетраэдры, из которых и сложен большой тетраэдр. По сути, измененная версия Кубика Рубика, однако для сборке потребуются другие алгоритмы, ведь перемещение игровых элементов — 14 маленьких аналогов пирамидки происходит вокруг осей, расположенных по отношению друг к другу не под прямым углом, как у Кубика Рубика.

Змейка Рубика — головоломка, также придумана Эрнё Рубиком. Задача состоит в сборке различного рода геометрических фигур, животных и прочих ассоциативных вещей. В начале 1980-х годов, Змейка Рубика пользовалась большой популярностью в СССР и до сих пор остается одним из «бестселлеров» среди механических головоломок, сравнимых по популярности с кубиком Рубика. Из данной головоломки можно сложить более ста фигур. Очень хорошо развивает пространственное мышление.

Цилиндр - представляет собой вращающие вдоль оси кольца с цветными шариками. Задача, перемещая шарики - собрать полоски одного цвета.

Волшебные кольца - два кольца соединены в форме восьмерки. Кольца заполнены цветными (всего от 2 до 4 цветов) шариками, которые могут свободно перемещаться в кольцах. Необходимо из перемешавшихся шариков составить непрерывные последовательности каждого цвета.

Танграм – головоломка с перекладыванием картинок – всего лишь один из множества видов задач для ума. Ребусы, загадки, различные хитрые задачки на подсчёты, логические головоломки – человечество придумывает всё новые и новые развлечения. Все они, на первый взгляд – не более чем забава, на самом деле являются прекрасным средством развить и поддержать свой интеллект на должном уровне.

2. Рассказ о древней китайской головоломке «Танаграм».

Танграм – самая популярная игра из серии «геометрических конструктов». Относительно её существует следующее предание.

Это было давно, почти две с половинной тысячи лет назад. У немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по летам. Одно беспокоило старого императора: его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику доставляло удовольствие целый день забавляться игрушками.

Император призвал к себе трёх мудрецов, один из которых был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. И три мудреца придумали эту игру.

На первый взгляд, игра очень проста. Всё, что требуется – это сложить из разбросанных деталей (они получаются разрезанием квадрата на 7 частей) какую-либо фигуру. Однако, задача только кажется лёгкой. Не всякий взрослый сможет решить мудрые комбинации фигурок танграма.

В Китае слово танграм неизвестно, а игра имеет название Чи – Чао – Ту (семь хитроумных фигур).

IV. Практическая работа по теме занятия.

Достать из конверта все фигуры пересчитать. (Должно быть 7 фигур)

Назвать каждую фигуру (Большие треугольники, маленькие треугольники, средний треугольник, квадрат, четырёхугольник)

Найти одинаковые фигуры. (Два больших треугольника, два маленьких треугольника).

На первом этапе проходит составление картинки с заданным разбиением на части. Учащимся раздаются листы с рисунком . Фигуры собирают в указанном учителем порядке – от более простого к более сложному.

За время занятия нужно собрать все фигуры уровня. Каждую собранную фигуру проверяет учитель.

Учитель оказывает индивидуальную помощь учащимся с неразвитыми пространственными представлениями.

V. Итог работы

- С какой игрой познакомились на занятии?

- Где была придумана эта игра?

- В чём она заключается?

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Костромского муниципального района

Костромской области

«Минская основная общеобразовательная школа»

«СОГЛАСОВАНО» «УТВЕРЖДАЮ»

Председатель методического совета Директор школы:

__________________________________ ________________________

(Творогова Л.В.) (Данилова О.Н.)

Протокол №_______________________ Приказ №___________________ от«____»_________________2013г от« ____»_______________2013г

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по внеучебной деятельности

в 6 классе

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ»

на 2013-2014 учебный год

Разработчик:

Кузнецова Е.В.

учитель математики-физики

2013

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Реализация задачи воспитания любознательного, активно и заинтересованно познающего мир школьника, обучение решению математических задач творческого и поискового характера будет проходить более успешно, если урочная деятельность дополнится внеурочной работой. Для этого и предназначены занятия по внеурочной деятельности «Математические чудеса и тайны» в 6 классе, расширяющие математический

кругозор и эрудицию учащихся, способствующие формированию познавательных универсальных учебных действий.

Данный курс служит для развития математических способностей учащихся, для формирования элементов логической и алгоритмической грамотности, коммуникативных умений школьников с применением коллективных форм организации занятий и использованием современных средств обучения. Создание на занятиях ситуаций активного поиска, предоставление возможности сделать собственное «открытие»,

знакомство с оригинальными путями рассуждений, овладение элементарными

навыками исследовательской деятельности позволят обучающимся реализовать

свои возможности, приобрести уверенность в своих силах.

Содержание курса «Математические чудеса и тайны» направлено на воспитание интереса к предмету, развитию наблюдательности, геометрической зоркости, умения анализировать, догадываться, рассуждать, доказывать, умения решать учебную задачу творчески. Содержание может быть использовано для показа учащимся возможностей применения тех знаний и умений, которыми они овладевают на уроках математики.

Общая характеристика курса.

Курс «Математические чудеса и тайны» входит во внеурочную деятельность по направлению «общеинтеллектуальное развитие личности». Программа предусматривает включение задач и заданий, трудность которых определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной и необычностью математической ситуации. Это способствует появлению желания отказаться от образца, проявить самостоятельность, формированию умений работать в условиях поиска, развитию сообразительности, любознательности. В процессе выполнения заданий дети учатся видеть сходства и различия,

замечать изменения, выявлять причины и характер этих изменений, на этой основе формулировать выводы. Совместное с учителем движение от вопроса к ответу –

это возможность научить ученика рассуждать, сомневаться, задумываться, стараться и самому найти выход – ответ.

Курс «Математические чудеса и тайны» учитывает возрастные особенности младших школьников и поэтому предусматривает организацию подвижной деятельности учащихся, которая не мешает умственной работе. С этой целью включены подвижные математические игры, предусмотрена последовательная смена одним учеником «центров» деятельности

в течение одного занятия; передвижение по классу в ходе выполнения математических

заданий на листах бумаги, расположенных на стенах классной комнаты и др. Во время занятий важно поддерживать прямое общение между детьми (возможность подходить друг к другу, переговариваться, обмениваться мыслями). При организации занятий целесообразно использовать принцип игр «Ручеёк», «Пересадки», принцип свободного перемещения по классу, работу в парах постоянного и сменного состава, работу в группах. Некоторые математические игры и задания могут принимать форму состязаний, соревнований между командами.

Место факультатива в учебном плане.

Программа рассчитана на 34 часа в год с проведением занятий 1 раз в неделю. Содержание факультатива отвечает требованию к организации внеурочной деятельности: соответствует курсу «Математика», не требует от учащихся дополнительных математических знаний. Тематика задач и заданий отражает реальные познавательные интересы детей, содержит полезную и любопытную информацию, интересные математические факты, способные дать простор воображению.

Ценностными ориентирами содержания данного факультативного курса

являются:

– формирование умения рассуждать как компонента логической грамотности;

– освоение эвристических приемов рассуждений;

– формирование интеллектуальных умений, связанных с выбором стратегии решения, анализом ситуации, сопоставлением данных;

– развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся;

– формирование способностей наблюдать, сравнивать, обобщать, находить простейшие закономерности, использовать догадку, строить и проверять простейшие гипотезы;

– формирование пространственных представлений и пространственного воображения;

– привлечение учащихся к обмену информацией в ходе свободного общения на занятиях.

Личностными результатами изучения данного факультативного курса являются:

- развитие любознательности, сообразительности при выполнении разнообразных заданий проблемного и эвристического характера;

- развитие внимательности, настойчивости, целеустремленности, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека;

- воспитание чувства справедливости, ответственности;

- развитие самостоятельности суждений, независимости и нестандартности мышления.

Универсальные учебные действия:

- Сравнивать разные приемы действий, выбирать удобные способы для выполнения конкретного задания.

- Моделировать в процессе совместного обсуждения алгоритм решения числового кроссворда; использовать его в ходе самостоятельной работы.

- Применять изученные способы учебной работы и приёмы вычислений для работы с числовыми головоломками.

- Анализировать правила игры. Действовать в соответствии с заданными правилами.

- Включаться в групповую работу. Участвовать в обсуждении проблемных вопросов, высказывать собственное мнение и аргументировать его.

- Выполнять пробное учебное действие, фиксировать индивидуальное затруднение в пробном действии.

- Аргументировать свою позицию в коммуникации, учитывать разные мнения, использовать критерии для обоснования своего суждения.

- Сопоставлять полученный (промежуточный, итоговый) результат с заданным условием.

- Контролировать свою деятельность: обнаруживать и исправлять ошибки.

Литература:

1. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» М. «Наука» 1967

2. И.П. Сахаров, Н.Н. Аменицкий «Забавная арифметика» С-П. «Лань» 1996

3. Л.М. Лихтарников «Занимательные логические задачи» С-П. «Лань» 1996

4. В. Пекелис «Твои возможности, человек!» М. «Знание» 1986

5. Е.Б. Арутюнян, Г.Г. Левитас «Сказки по математике» М. «Высшая школа» 1994

6. Е.Г. Козлова «Сказки и подсказки» М. «Мирос» 1995

7. Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки» М. «Наука» 1978

8. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра. Живая математика» Екатеринбург, «Тезис» 1994

9. Я.И. Перельман «Занимательная геометрия. Занимательная астрономия» Екатеринбург, «Тезис» 1994

Предисловие

Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом Мёбиуса, который относится к «математическим неожиданностям», я предлагаю вместе со мной провести исследование и окунуться в светлое чувство познания.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят : лента Мёбиуса) придумал в 1858г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому – «геометрия положений»). Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону , – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Легенда

Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Увлекательное исследование

Запаситесь несколькими листами обычной белой бумаги, клеем и ножницами.



Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С.

В

С

А

D

Получим такое перекрученное кольцо

Зададимся вопросом:

сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как

у любого другого? А ничего подобного. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите – проверьте: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны.

Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Нету? Ну то-то.

Теперь второй вопрос.

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.

А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажу. Разрежьте сами.

А вот что получилось у меня

Лента перекручена два раза

Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

То же самое? А ничего подобного!

А вот что получилось у меня

А если на три части?

Три ленты? А ничего подобного!

Получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе- лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Человечек - перевертыш.

Вырежьте бумажного человечка и отправьте его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса.

Он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом!

А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие.

Проверьте!

Исследуйте дальше эту поразительную

(и тем не менее совершенно реальную) одностороннюю поверхность, и вы получите море удовольствия. Это очень успокаивает расстроенные трудными уроками нервы, уверяю вас.

Что может быть полезнее Чистого Знания?

Используемая литература:

• Внеклассная работа по математике В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь.
• Математический цветник Ю.А.Данилова.
• Краткий очерк истории математики. Д. Я. Стройк. Перевод с немецкого и дополнения И.Б.ПОГРЕБЫССКОГО.

Ресурсы:

• http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00046/48100.htm
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0
• http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=e2ab6eb5-5fb6-4fc6-b1a4-6ee7961a0dc1
• www.vokrugsveta.ru
• http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/
• http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.htm