Материал по математике "Умножение и деление степеней"

Цель урока:

научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие «степень числа». Выражение вида

a*a*a*a можно записать как - aⁿ

Справедливо так же обратное:

aⁿ = a*a*a*...*  n

Это равенство называется запись степени в виде произведения, оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.

Запомните:

a – основание степени,

n – показатель степени.

Если n = 1, значит, число а взяли один раз и соответственно

a¹ = a

Почему так происходит мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

1) Умножение.

a) если умножаются степени с одинаковым основанием:

Что бы aⁿ умножить на a^m запишем степени в виде произведения...

Видно что число а взяли n+m раз, соответственно

aⁿ * a^m = a^n+m

Пример:

2³ * 2² = 2⁵ = 32

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу по возведению числа в большую степень:

2⁷ = 2³ * 2⁴ = 8 * 16 = 128

б) если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем

Что бы aⁿ * a^m запишем через произведение...

2. Деление.

a) Основание степени одинаковое, показатели разные.

Пока что мы будем рассматривать только деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

Итак, нам надо aⁿ÷a^m где n › m.

Весь материал - в документе.

Умножение и деление степеней

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие «степень числа». Выражение вида

можно записать как.

aⁿ

Справедливо так же обратное:

это равенство называется запись степени в виде произведения, оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.

Запомните:
a – основание степени,
n – показатель степени.
Если n = 1, значит, число а взяли один раз и соответственно

a¹ =а.
Если n=0, то a⁰ =1

почему так происходит мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Умножение

a) если умножаются степени с одинаковым основанием:
Что бы aⁿ умножить на a^m запишем степени в виде произведения:

видно что число а взяли n+m раз, соответственно

aⁿ •a^m = a^{n + m}

Пример:
2³• 2²= 2⁵=32

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу по возведению числа в большую степень:

2⁷=2³•2⁴=8•16=128

б) если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем
Что бы aⁿ •a^m запишем через произведение.

Если поменять множители местами и посчитать получившиеся пары получим

что, согласно определению степени числа, равно (a•b) n

aⁿ•bⁿ= (a•b)ⁿ

Пример:
3²• 2²= 2(3•2)²=6²=3⁶

2. Деление.

a) Основание степени одинаковое, показатели разные.

Пока что мы будем рассматривать только деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

Итак, нам надо aⁿ÷a^m где n › m
Записываем степени в виде произведения


для удобства деление запишем в виде простой дроби


теперь сокращаем дробь.



Получается:



aⁿ÷a^m = a^n-m

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m тогда

a⁰=a^n-n=aⁿ÷aⁿ=1
Примеры:

3³÷3²=3^3-2=3¹=3

2²÷2²=2^2-2=2⁰=1

б)Основания степени разные, показатели одинаковые.

Пусть нам надо aⁿ÷ bⁿ запишем степени чисел в виде произведения


Представим деление в виде простой дроби


используя свойство дробей разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим:


Соответственно:

aⁿ÷bⁿ=(a÷b)ⁿ

Пример:

4³/2³=(4/2)³=2³=8