Курсовая работа по математике "Интегральное определение логарифма и его исторические корни"

и для y = 9999999 принимает в качестве логарифма среднее арифметическое

чисел 1 и 10⁷/9999999 = 1,00000010000001..., так что L9999999= 1,00000005 (с точностью до четырнадцатого знака). Здесь, как и всюду, Непер пользуется десятичными дробями. Далее для арифметической прогрессии логарифмов

х_n = 1,00000005n он находит соответствующую геометрическую прогрессию чисел

у_п = 10⁷(1-1/10⁷)ⁿ, где п = 1, 2, 3,… ,100.

Это нетрудно, так как здесь нужны только вычитания; у_k=у_k-1- 0,0000001y_k-1

Так получается, при подходящих округлениях, L9999900.

Отношение числа 9999900 к 10⁷ есть 1-1/10⁵ , и Непер переходит к вычислению логарифмов у_п = 10⁷(1-1/10⁵)ⁿ, до n=50, причём логарифму у₁ известен. Аналогично применяются прогрессии 10⁷(1-1/2·10³)ⁿ и в особенно большом объёме 10⁷(1-1/10²)ⁿ.Числа у_п округляются, и с помощью оценки разности логарифмов близких чисел, основанной на приведенном выше неравенстве, вычисляются их логарифмы. Так Непер доходит до L5000000.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Ненеру, он возник из сочетания греческих слов — отношение и число, которое означало «число отношения» что напоминает о двойных, тройных, полуторных и иных целых или дробных отношениях древней и средневековой математики. Первоначально Непер пользовался другим термином: numeriartificiales— «искусственные числа» — в противоположность numerinaturales— «числам естественным».

§3 Интегральные методы 17 века.

Под интегральным исчислением понимают раздел математического анализа, изучающий интегралы функций и их приложения.

Элементы интегрального исчисления можно найти в трудах Архимеда (287 г. до н. э. — 212 г. до н. э.): в сочинении «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах некоторых тел. Для решения этих задач Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н. э. — ок. 355 г. до н. э.).

Таким образом, интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести.

Систематическое развитие эти методы получают в XVII веке в работах Б. Кавальери Б (1598—1647),Э. Торричелли (1608—1647), П. Ферма (1601—1665), Б. Паскаля (1623—1662) и других учёных. Но их изыскания в основном имели разрозненный и утилитарный характер — решались конкретные самостоятельные задачи. В 1659 году И. Барроу (1630—1677) установил взаимосвязь между задачей о нахождении площади и задачей о нахождении касательной.

Основы классического интегрального исчисления были заложены в работах И. Ньютона (1643—1727) и Г. Лейбница (1646—1716), которые в

70-х годах XVII века отвлеклись от упомянутых частных прикладных задач и установили связь между интегральным и дифференциальным исчислением. Это позволило Ньютону, Лейбницу и их ученикам развить технику интегрирования. Своего нынешнего состоянию методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера (1707—1783). Развитие методов завершили труды М. В. Остроградского (1801—1861) и П. Л. Чебышёва (1821—1894).

Исторически под интегралом понимали площадь криволинейной трапеции, образованной заданной кривой f(x) и осью координат. Для нахождения этой площади отрезок ab разбивали на n необязательно равных частей и строили ступенчатую фигуру (на рисунке 1.1 она заштрихована). Её площадь равна

(1.1)

где y_i — значение функции f(x) в i-той точке (), а

dx_i = x_{i + 1} − x_i.

Г. Лейбниц в конце XVII века обозначил предел этой суммы как

( 1.2)

Так как на тот момент времени понятие предела ещё не сформировалось, поэтому Лейбниц ввёл новый символ для суммы бесконечного числа слагаемых — видоизменённую курсивную латинскую «S» — первую букву лат. summa (сумма).

Слово «интеграл» происходит от лат. integralis — целостный. Это название было предложено учеником Лейбница Иоганном Бернулли (1667—1748), чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых» от обычной суммы.

В дальнейшем обозначение Лейбница усовершенствовал Ж. Фурье (1768—1830). Он явно стал указывать начальное и конечное значение x:

введя тем самым современное обозначение определённого интеграла.

В теории определённых интегралов интегрирование рассматривается как процесс обобщения суммирования на случай бесконечно большего числа бесконечно малых выражений. Таким образом, результатом определённого интегрирования (в случае его возможности) является некое число (в обобщениях, бесконечность).

§4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади под гиперболой.

Грегуа́р де Сен-Венса́н (фр. Grégoire de Saint-Vincent, 22 марта 1584, Брюгге — 5 июня 1667, Гент) — бельгийский математик, иезуит.

Закончил университет в Дуэ (1600 год). В 1605 году в Риме стал иезуитом, изучал там труды Галилея и Клавиуса. После смерти Клавиуса (1612) вернулся в родную Фландрию. Был профессором в Антверпене (1617-1620) и Лёвене (1621-1625).

Главное сочинение де Сен-Венсана: «Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений» (лат. Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni, закончен в 1629 году, опубликован в 1647 году). Среди его значительных открытий:

Вычисление площади под гиперболой.

Рассмотрим равнобочную гиперболу Возьмём на гиперболе четыре точки A,B,A',B', так чтобы a,b,a',b' получили пропорцию a:b=a':b'. Тогда криволинейные трапеции AabB и A'a'b'B' будут равновеликими:

y

А

В

А'

В'

а b aʹ bʹ x

Рассмотрим на гиперболе несколько точек, абсциссы которых

x₀=1, x₁=q, x=q²…, составляют прогрессии x_k=q^k,... (1)

Получим ряд криволинейных трапеций, площадь каждой из которых равна какому-то числу S, т.е.

Обозначим площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке

( x₀, x_k) или (1,x) через S_k, соответственно S(x), т.е. S(x) =, тогда получим S_k = kS или S(x)=xS. (3)

Это говорит о том, что если абсцисса x точки, скользящей по гиперболе, образуют геометрическую прогрессию, то площади S(x), соответствующих криволинейных трапеций образуют арифметическую прогрессию

0, S, 2S, 3S, ...,xS, ...

Если обозначим через e такое число, для которого S(e)=1 и принять q=e^1/n, где n – натуральное число, то получаем геометрическую и арифметическую прогрессии:

1,e^1/n, e^2/n,… e^х/n,…,e,…,

0, S, 2S, 3S, ...,xS,…,1,…

согласно (3) получим: S(qⁿ)=nS(q), т.е. 1= nS(e^1/n) или S(e^1/n)=1/n

Обобщая полученный результат имеем:

S(x)= или S(x)=

Это означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.

§5 Метод Николая Меркатора вычисления логарифмов.

Около 1686  г. математику  Николаю Меркатору  из Голштинии случайно  удалось,  путём несложного преобразования,   найти естественное решение задачи о площади «под» гиперболой. И до Меркатора было известно несколько решений задачи о площади «пол гиперболой», но все они были сложны и искусственны.

Гипербола, которая является графиком функции y

Теперь, оставляя ось Ох прежней, перенесём ось Оу на единицу  вправо в положение О₁у₁. Если точка N, взятая на гиперболе, имела раньше абсциссу ОР = х, то новая абсцисса будет О₁Р- обозначим её через z. Тогда z = x ̶ 1 или же х = 1 + z. Уравнение нашей линии (гиперболы) y принимает вид: .

Если, например, ОР = 1,8 ед. и искомый логарифм   обозначен как , то теперь мы должны его обозначить как ,

так как новая абсцисса z изменяется, от значения 0 до значения 0,8. И вот Меркатор (в этом решающий шаг!) привлекает формулу суммы убывающей геометрической   прогрессии.  А именно,  

1-z+z²-z³-z⁴-z⁵+… =

Казалось бы эта формула нужна для того, чтобы сложное выражение бесконечной суммы преобразовать в простое, стоящее справа. Меркатор же наоборот, заменяет простую дробь ¹/_1+z бесконечным знакопеременным рядом, расположенным по степеням буквы z. Он получает: пл «под» гиперболой (логарифм),

=

Стоящий знак интеграла, означает площадь, а уравнения

у = 1,   у = —z,   у = z²,   у = —z³, ...

означают   параболы  последовательных   степеней. Итак, «ключ» Меркатора, который он применил для открытия незнакомой замкнутой  шкатулки — это  замена  площади гиперболы  рядом площадей  последовательных парабол.

Во времена Меркатора формула площади для параболы

была уже хорошо  известна.  Что же касается того, что ряд парабол тянется неограниченно далеко (до бесконечности), то Меркатор об этом мало беспокоился. Примерно через 150 лет после него математикам стоило многих трудов доказательство того, что при этом переходе сразу к несметному множеству площадей парабол мы не совершаем ошибки, одним словом, логически-строгое доказательство далось нелегко. Но в ту эпоху, когда жил Меркатор, можно было не входить в эти тонкости и беззаботно попеременно прибавлять и  вычитать площади последовательных парабол:

=0,8 кв. ед

Эти последовательные площадки под параболами у = z⁰,  у = z¹,  у = z²,  у = z³, ...,  у = z⁹ . Конечно, значение z = 0,8 взято лишь в качестве примера. Можно написать в общем виде: площадь «под» гиперболой[1…1+z]:т.е

=

Окончательная формула такова:

log(1+z)=

или изменяя букву

log(1+x)=

Глава2. Некоторые современные определения логарифмов.

§1 Об историко-генетическом методе.

Использование на уроках элементов истории математики повышает интерес учащихся, имеет большое мировоззренческое и общекультурное значение, может оказывать воспитывающее влияние.

Учитель не только должен знать, как происходило развитие основных математических понятий и идей, но и понимать, что учащиеся в своем обучении кратко повторяют этот путь и сталкиваются с теми же трудностями, с какими сталкивались ученые, стоявшие у истоков формирования того или иного математического понятия. Учителю необходимо не только быть знакомым с историей науки, но параллельно, неразрывно с излагаемым материалом, обращать внимание на то, какие методические идеи и находки подсказывает ему история науки, следовать с историко-генетическому метод.

В основе историко-генетического метода лежит следующее наблюдение: изучая математику, учащиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания. Если мы знаем этот путь, знаем историю математики, то можем, используя это знание, координировать учебный процесс, делая его более эффективным, а математику, преподносимую учащимся, более понятной. Поясним эту идею следующим высказыванием американского профессора М. Клайна: «Нет никакого сомнения, что затруднения, которые встретили великие математики, являются теми же камнями преткновения, какие встречают студенты, и что никакие попытки смазать эти трудности с помощью логической словесности не достигнут цели. И если нужны были 1000 лет, чтобы первоклассные математики добрались до понятия отрицательных чисел, и потребовалось еще 1000 лет, чтобы математики признали отрицательные числа, то можно быть уверенным, что учащиеся испытают затруднения с отрицательными числами. Больше того, учащимся придется преодолеть эти трудности почти тем же путем, каким это преодолели математики, постепенно привыкая к новым понятиям, оперируя с ними и используя все интуитивные средства, которые учитель сможет им привести».

Для того чтобы лучше разъяснить суть историко-генетического метода, рассмотрим кратко главные этапы его становления. Началом его проникновения в преподавание математики можно считан, появление в 1685 г. «Исторического и практического трактата по алгебре» Дж. Валлиса. Исторический подход к изложению предмета и метода алгебры, реализованный в трактате, вызывал у читателей большую заинтересованность и тем самым способствовал ускоренному постижению смысла излагаемого материала, логики выводов и доказательств. Таким образом, впервые было замечено, что если к математическим понятиям, терминам и символам подойти с позиции исторического развития, то они перестанут казаться искусственными и оторванными от жизни. Станет, виден их глубокий жизненный смысл, их естественность и необходимость. «Трактат по алгебре» Валлиса можно считать первым курсом алгебры, построенном на историко-генетических началах.

В XVIII в., т.е. спустя почти двести лет, французский математик А.К. Клеро, следуя за педагогической идеей Валлиса, уделил большое внимание историческому методу в процессе обучения математике. Он считал очень продуктивной методику, которая учит искать и делать открытия, потому что при таком изложении математических утверждений указывается, каким образом люди пришли к открытию.

В середине XIX столетия англичанин В.Г. Спенсер опубликовал книгу «Геометрия путем изобретения», в которой излагал для детей геометрию не обычным дидактическим способом, а знакомил читателей с геометрическими представлениями, постепенно и как бы только подготавливая к ее изучению. Такая методика также дала положительные результаты.

В конце XIX — начале XX столетий историко-генетический метод стал широко популяризироваться деятелями математического образования. В 1904 г. французский математик А. Пуанкаре писал: «Зоологи считают, что за короткий период развития эмбриона животного он воспроизводит историю своих предшественников всех эпох. Кажется, что-то же самое происходит в развитии ума. Задача воспитания - дать уму ребенка пройти то, что изведали его предки, пройти быстро определенные этапы, но не опустить ни одного из них. Для достижения этой цели история науки должна служить поводырем».

В России одним из активных пропагандистов историко-генетического метода был русский исследователь истории математики и математического образования В.В. Бобынин. Приведем цитату из его работы 1886 г. «Философское, научное и педагогическое значение истории математики»: «Умственное развитие молодых поколений управляется теми же законами и вследствие этого проходит в существенных чертах те же самые фазы развития, которые имели место в соответствующих ступенях умственного развития всего человечества... преподавание каждой науки должно идти тем же путем, которым шла при своем развитии сама наука...». Такой метод В.В. Бобынин называет генетическим, понимая под этим «метод, развивающий в преподавании положения и выводы науки именно таким образом, как они развивались в действительности». В качестве основного педагогического значения истории математики Бобынин указывает именно на значение ее для генетического метода преподавания. Фактически о том же говорит и русский психолог и педагог П.Ф. Каптерев: «Наиболее удобная в педагогическом отношении форма изложения есть генетическая, когда сообщается история происхождения знания, показывается, как знание возникло и развивалось».

Определенного рода повторяемость общего пути умственного развития человечества в формировании индивидуального сознания, которую на опыте собственной педагогической деятельности подмечали многие преподаватели XIX в., в середине XX столетия стала предметом психологических исследований. Психолог В.В. Давыдов считает, что учащиеся присваивают культурные формы в процессе учебной деятельности, осуществляя при этом мыслительные действия, адекватные тем, посредством которых исторически вырабатывались продукты духовной культуры, т.е. школьники как бы воспроизводят реальный процесс создания людьми понятий, образов, ценностей и норм. Отсюда В.В. Давыдов делает важный вывод о том, что обучение в школе всем предметам необходимо строить так, чтобы оно «в сжатой сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития... знаний». Таким образом, историко-генетический метод действительно может играть большую роль в преподавании математики, так как именно он позволяет учащимся пройти тот путь, который проходило человечество, добывая математические знания.

Историко-генетический метод побуждает каждый раз обосновывать введение того или иного понятия, рассказывая, какие задачи практики привели к его открытию, и как оно впервые использовалось. С его помощью учитель может предвидеть трудности, возникающие при усвоении учащимися школьной программы и преодолевать их, используя исторический опыт.

Историко-генетический метод способен подсказать учителю решение и некоторых чисто методических проблем, например, как лучше спланировать изучение данного учебного материала, какой методической разработке отдать предпочтение, в какой последовательности изучать те или иные темы. «Вообще, мы можем ожидать больший успех делая то, что нам подсказывает генетический принцип, чем следуя чисто формальной концепции математики». Этот метод может оказать учителю большую помощь при реализации в учебном процессе эвристических приемов: чтобы подвести учащихся к открытию математического факта, учитель должен кратко пройти вместе с ними тот путь, который привел людей к установлению этого факта.

Однако преподаватели прекрасно понимают, что попытка воспроизвести весь исторический путь познания математической истины, повторяя все детали ошибок и заблуждений первооткрывателей, приведет к отказу от тех преимуществ, которые предоставляют дидактике современные обобщающие идеи, концепции и методы науки, и, как следствие, к разрушению логической структуры курса. Поэтому историко-генетическому методу противопоставляется другой метод преподавания - логический.

При логическом изложении не должно быть ничего лишнего, никаких нарушающих стройность предмета исторических случайностей. Однако и ходе преподавания стало очевидным, что логический метод также не лишен недостатков. В своей строго логической форме, без указаний на происхождение понятий и выхода теории в практику, математическая дисциплина принимает слишком искусственный характер, «...мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаем понимать, как и почему они были поставлены». По этой причине логическое изложение не заинтересовывает даже способных учащихся так, как могло бы.

Вот почему уже много лет не угасает интерес к историко-генетическому методу. Однако очевидно, что этот метод эффективен лишь в том случае, когда в процессе изложения научных понятий правильно найдено соотношение логического и исторического подхода в преподавании. Говоря об историко-генетическом методе, мы, безусловно, не имеем в виду его крайние формы - повторение в преподавании развития математического знания со всеми нюансами и тонкостями. Для методически правильной организации обучения учителю, прежде всего, необходимо знать общие законы развития математической науки, пути формирования и становления математических понятий и идей.

В конце XIX в. история математики как наука лишь зарождалась и поэтому не могла решить поставленных перед нею задач. Только в наше время, когда, благодаря исследованиям таких историков математики, как

Г.Г. Цейтен, Б.Л. Ван-дер-Варден, Г. Вилейтнер, И.Я. Депман, А.П. Юшкевич, Б.А. Розенфельда и др., накоплен и систематизирован колоссальный историко-математический материал, стало возможным на основе этих данных делать обобщения, говорить об общих законах развития математического знания, прослеживать пути формирования математических понятий от их зарождения до современного состояния.

Исторические справки и сведения, эвристические идеи выводов формул и доказательств теорем, яркие несложные примеры, несомненно, заинтересуют учащихся и сделают более эмоциональными уроки математики, и главное, позволят им в случае необходимости даже через несколько лет снова вывести уже забытую формулу или теорему. Отметим также, что основные этапы эвристического рассуждения, реализуемого на уроке, могут быть подсказаны учителю данными истории математики и осуществлены с помощью историко-генетического метода.

Историко-генетический метод преподавания нельзя сводить только к использованию отдельных историко-математических сведений на уроках математики. Реализуя этот метод в своей работе, учитель повторяет вместе с учащимися путь развития науки, ведет их по пути новых открытий. Отдельные историко-математические сведения, которые он использует, - это лишь вершина айсберга, каким является метод. Разумеется, учителю необходимо знать и отдельные частные сведения, которые он может непосредственно рассказывать на уроке. Но если учитель знает основные этапы развития математических понятий и идей и знает конкретно, какой фрагмент этих сведений он хочет изложить учащимся, то подобрать нужный историко-математический материал ему будет несложно.

Историко-математические сведения, излагаемые учителем, могут быть самыми разными и нести самую разнообразную смысловую нагрузку, однако наиболее эффективным их использование будет лишь в том случае, если они излагаются в системе, единым методом и если их использование позволяет сделать изложение материала более последовательным, понятным, целостным и интересным.

§2 Логарифм как показатель степени.

Логарифмы в школьном курсе математики обычно вводят как показатель степени некоторого положительного неравного единице числа.

О: Логарифм числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b.

Исторически понятие логарифма возникло для упрощения вычислений. Один из таких приемов был известен во времена Архимеда, он состоит в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессии.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Если перемножить какие-нибудь два числа нижнего ряда, например 4 и 32

(4·32=128), то параллельно с этим умножением, происходит сложение соответственных «верхних» чисел: 2+5=7. Это происходит потому, что

4=2²; 32=2⁵ 4·32=2²·2⁵=(2·2)·(2·2·2·2·2)=2⁷

Логарифм, число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.

Общее описание. Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (10² = 100). Если n - заданное число, b - основание и 1 - логарифм, то b¹ = n. Число n также называется антилогарифмом по основанию b числа 1. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100. Сказанное можно записать в виде соотношений 10g_b n = 1

если с геометрической прогрессией

1, α, α² ,αᵌ,. . .

сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров её членов

1, 2, 3, 4,...,

то произведение двух членов первой аᵐ и аⁿ будет членом той же прогрессии, порядковый номер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е. m+n-1.

с вполне ясным указанием на то, что произведению двух членов

геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.

1° Сложению в арифметических прогрессиях от­вечает умножение в геометрических.

2° Вычитанию в арифметических прогрессиях от­вечает деление в геометрических.

3° Простому умножению (т. е. числа на число) в арифметических прогрессиях в геометрических отвечает умножение на себя (возвышение в степень). Так, удвоению члена арифметической прогрессии в геометрической отвечает возведение в квадрат.

4" Делению в арифметических прогрессиях от­вечает извлечение корня в геометрических.

Формула a^logab=b (где b0,a0 и a≠1) называют основным логарифмическим тождеством.

Основные свойства логарифмов.:

При любых a0 и (a≠1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

1°

2°

3°

4° .

5°

для любого действительного p.

Для доказательства правила 3° воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

х=a^logaх у=a^logaу

перемножая почленно эти равенства, получаем:

ху= a^{logaх ·} a^logaу =a^{logaх + logaу}

т.е. ху=a^{logaх + logaу} Следовательно, по определению логарифма

Для доказательства правила 5°воспользуемся тождеством х=a^logaх

откуда x^p =( a^logaх)^p=aᴾ^logaх. Следовательно, по определению

Основное свойство логарифмов широко применяется в ходе преобразования выражений. содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула верна, если обе части имеют смысл, т.е. при х0, a0 и a≠1, b0 и b≠1.

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

откуда

разделив обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле.

П р и м е р ы:

log ₃ 81 = 4 , так как 3⁴ = 81;

log _1/3 27 = - 3 , так как ( 1/3 )³ = 3³ = 27 .

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. 1оg ₁₀ N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... равны соответственно 1, 2, 3, ... , Т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... равны соответственно -1, -2, -3, ... , Т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. 1оg _е N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) ⁿ при неограниченном возрастании n . Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при про ведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

§3. Введение логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой.

Ту же идею сопоставления арифметической и геометрической прогрессии можно интерпретировать так.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой а₀ = 2; q = 1,2. Вычисления дают:

а₀ = 2; а₁ = 2,4; а₂ = 2,88; а₃ = 3,46; а₄ = 4,15; а₅ = 4,98, ...

Строим оси координат и график гиперболы у =

Вдоль оси Ох откладываем от начальной точки О последовательно отрезки:

ОА = 1; ОР₀ = 2; ОР₁ = 2,4; ОР₂ = 2,88; ОР₃= 3,46; ОР₄ = 4,15;

ОР₅ = 4,98.

В концах этих отрезков строим ординаты точек гиперболы. Мы получим криволинейную фигуру АР₀М₀В и ряд криволинейных фигур Р₀Р₁М₁М₀, P₁Р₂M₂M₁, Р₂Р₃М₃М₂.

Величина площади таких фигур не зависит от длины отрезков

[а₁ ... а₂], [а₂ ... а₃] и т. д., но только от отношений … В данном случае, согласно определению геометрической прогрессии, отношения: … все равны между собой

…=q=1,2.

А потому можно утверждать, что все указанные площади (за исключением первой) равны между собой: S. Р₀Р₁М₁М₀ = S. P₁Р₂M₂M₁ = S. Р₂Р₃М₃М₂ = ... = S.

Площадь первой фигуры АР₀М₀В обозначим S₀. Отсюда получаем

площадь на отрезке [1 ... а₀] = S₀

» » » [1 ... а₁] = S₀ + S;

» » » [1 ... а₂] = S₀ + 2S;

» » » [1 ... а₃] = S₀ + 3S;

» » » [1 ... а₄] = S₀ + 4S;

................................................................

» » » [1 ... аn] = S₀ + nS.

Таким образом площади, опирающиеся на эти отрезки, составляют арифметическую прогрессию, в то время как длины отрезков ОР₀, OP₁, ОР₂, ОР₃,... образуют геометрическую прогрессию. Этим мы установили связь между обеими прогрессиями.

Рассмотрим ещё геометрическую прогрессию, у которой начальный член а₀ = 1:

1, q, q², q³ ,q⁴, ...

Пусть, например, q = 1, 2. Если для этой прогрессии построить график такой как для предыдущей, то получим ряд равных между собою площадей:

AP₁M₁B, P₁Р₂M₂M₁, Р₂Р₃М₃М₂; ... .

Получаем:

площадь на отрезке [1 ... 1 ] = O.

» » » [1 ... q] = S₀;

» » » [1 ... q²] = 2S₀;

» » » [1 ... q³] = 3S₀;

» » » [1 ... q⁴] = 4S₀;

.............................................................

» » » [1 ... qⁿ] = nS₀;

И здесь имеет место соответствие между геометрической прогрессией

ОА = 1; ОР₁ = q; ОР₂ = q²; ОР₃ = q³; , ... ,

и арифметической прогрессией

0; S₀; 2S₀; 3S₀; 4S₀; ...

Связь между геометрической прогрессией длин отрезков и арифметической прогрессией площадей можно формулировать cлeдующим образом: возвышению в степень длины отрезка q соответствует умножение площади S₀ на число n. Площадь криволинейной трапеции над отрезком (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.

Ф.Клейн (1849-1925) принадлежит к числу математиков–классиков обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших её лицо излагает свою идею введения логарифмов в школе по простому и естественному способу: по его мнению основным принципом должно быть признание квадратуры уже известных кривых правильным источником для введения новых функций. Это соответствует, с одной стороны, историческому по­ложению вещей, а с другой, методу, применяемому в высших частях математи­ки. Сле­дуя этому общему прин­ципу, надо исходить из ги­перболы ɳ=и назвать логарифмом х число, изме­ряющее площадь, которая содержится между кривой и осью абсцисс, а с боков ограничена ординатами боков ограничена ординатами и =х Пе­редвигая вторую ординату, можно легко на основании геометрической интуиции составить себе качественное представление об изменении этой площади при изме­нении х и, следовательно, приблизительно построить кривую у= ln х. Чтобы возможно более просто по­лучить функциональное уравнение логарифма, можно, например, исходить из равенства

которое получается при преобразовании cпере­менных интегрирования; это равенство говорит, что площадь, заключенная между ординатами 1 и х, равна площади, заключенной между ординатами с и с х, в с раз более удаленными от начала. Этот факт легко сделать весьма наглядным геометрически, если обратить внимание на то, что величина площади должна оставаться неизменной, если передвигать ее под гиперболой и в то же время растягивать в такой же мере, в какой уменьшается высота. Но из этой теоремы вытекает непосредственно теорема сложения!

Этот путь можно применить в школьной практике.

§4Интегральное определение логарифма.

В современных учебниках по высшей математике даётся интегральное определение логарифма, его суть та же что и площади под гиперболой, но присутствует интеграл.

Понятие интеграла позволяет определить некоторые элементарные функции с помощью интеграла. Определим функцию ln x равенством

1. Так как функция f(t)= непрерывна в интервале (0,+∞), то интег­рал (1) существует в том же интервале изменения x и, следовательно, интервал (0,+∞) является областью определения функции ln x.

2. Функция ln x дифференцируема (и поэтому непрерывна) в каждой точке области определения.

(ln x)'=

1. Функция ln x возрастает в интервале (0,+∞). Это следует из того что в данном интервале, то есть (ln x)' 0

2. 

   1. 
      

      
      

5. Для любых a 0 и b0 ln (a·b)=ln a+ln b. Для доказательства рас­смотрим функцию g(x) = ln(ax). Ее производная g(x)'= , но тогда ln (ах)

и ln x являются различными первообразными функции и поэтому

ln(ах)= ln х + С.

Полагая в этом равенстве x=1, получаем lna =С. Таким образом,

ln(ах)= ln х + ln a

Очевидно, методом математической индукции это свойство распрос­траняется на любое конечное число слагаемых. Из равенства

ln a=)+lnb

Получаем

)=ln a ̶ ln b

6. Для любого xϵ(0,∞) и любого действительного a справедливо равенство

ln(xª)=a ln x

7. Множество значений функции ln x есть все множество действительных чисел. В самом деле, в силу непрерывности функции ln x множество её значений есть промежуток, но этот промежуток не ограничен сверху и снизу, так как, например,

ln2ⁿ =nln2, а ln2^-n =-nln2.

Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели исторические аналоги некоторых современных определений логарифма и современные определения логарифма. Трехсотлетняя практика всех вычислителей вполне доказала, что благодаря логарифмам числовые вычисления были чрезвычайно облегчены.

Таким образом, с точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим более древним великим изобретением Индусов— нашей десятичной системой нумерации..

История логарифмов служит одним из бесчисленных подтверждений мысли о взаимоотношении теории и практики, блестяще выраженной великим русским математиком П. Л. Чебышевым: «Практика предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитей ее, то она еще больше приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике».

Были изучены 17 источников по данной теме. Нашли исторические аналоги интегрального определения логарифма, рассмотрели определения Джона Непера и Иоста Бюрги. Сравнили определения логарифмов как показателя степени, исторические и современные определение. Изучили возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой. Наша гипотеза подтвердилась и мы убедились что логарифмы в школьном курсе математики можно вводить опираясь на исторические корни этого определения, но так как формат курсовой работы не позволяет этот объёмный вопрос раскрыть полностью, то более полно этот вопрос мы рассмотрим при выполнение дипломной работы. Использование на уроках элементов истории математики повышает интерес учащихся, имеет большое мировоззренческое и общекультурное значение, может оказывать воспитывающее влияние.

Список литературы

1. Абельсон И.Б. Рождение логарифмов. М.: ГИТТЛ,- 1948.

2. Белобородова С.В. Об историко-генетическом методе.

3. Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. Харьков, -1952.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. -М.: Просвещение, -1964.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение.-1982.

6. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. – 1983.

7. История математики под редакцией А.П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

8. Том 1С древнейших времён до начала нового времени- М.: Наука, -1970.

9. Том 2 Математика17 столетия.- М.: Наука,- 1970

10. Том3 Математика18 столетия.- М.: Наука, -1972

11. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. - М.:Учпедгиз. - 1958.

12. Маркушевич А.И. Площади и логарифмы.- М.: Наука -1979.

13. Математический энциклопедический словарь. Гл.ред Ю.В. Прохоров.

14. М.: Сов энциклопедия,1988.

15. Успенский Я.В. Очерк истории логарифмов. Петраград, -1923.

16. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.

17. Клейн Ф. Элементарная математики с точки зрения высшей

19