Площади сечений многогранников
1. В прямоугольном параллелепипеде
известны рёбра
Точка
принадлежит ребру
и делит его в отношении
считая от вершины
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
и ![](https://fsd.videouroki.net/html/2015/12/28/98725541/98725541_8.png)
2. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна
Найдите сторону основания.
4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.
5. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
6. На ребре
прямоугольного параллелепипеда
взята точка
так, что
Точка
— середина ребра
Известно, что ![](https://fsd.videouroki.net/html/2015/12/28/98725541/98725541_16.png)
а) Докажите, что плоскость
делит ребро
в отношении ![](https://fsd.videouroki.net/html/2015/12/28/98725541/98725541_19.png)
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ![](https://fsd.videouroki.net/html/2015/12/28/98725541/98725541_20.png)
7. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
8. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной
, высота призмы равна
. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
9. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
10. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
11. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
12. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
13. В прямоугольном параллелепипеде
известны рёбра:
Точка
принадлежит ребру
и делит его в отношении
считая от вершины
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
и ![](data:image/png;base64,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)
14. Точка
— середина ребра
куба Найдите площадь сечения куба плоскостью если ребра куба равны ![](data:image/png;base64,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)
15. Точка
— середина ребра
куба Найдите площадь сечения куба плоскостью если ребра куба равны ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACIAAAAqCAYAAADWFImvAAABh0lEQVR4nO3XgW2CQBQGYJq4gJ2gNd2AFXCEOkI7QhlBRmAFHaGswAYNuoEj4P/Li1UUgeOej0RfcrloQvLx3t07blKWZTCGmAx5+OPtfYaJY/e33eQmECCmmH4FkmHMTSCIpSC8hBME2fjE9OUL4QSRdZH6RDhBNBCMXhBk4wdThLHAWJlAgAiDaoGusVXX+O3T0Q0iW5UlKTC+vQr6QBAsCTMyRzZ2JhDZqoQkQGQaiFbISUlyIGItRCtEEMSorItOENmqLEs89EBzhshWJSQDItFGNEKC/+6pXpJGCLLBpsWMLJCNwgQCBNs3S3LonvdCnEHu0T07QQTBI16te7ZCkA1+5HCrqnbPmxD50OECVe+eNyFB9cnH9REC5Xq3iK48m/R5sUHXCZ8xHoikr/faqJWCR4HZvcZrPC5EOjhvADxO2MV5puUWGUkFwWAP4/351QIS1X5P+f1jAeGpfnpvLqxKw1bBkhzXCP90huAtXhyf48l+0XMed/s2xRNSjyekHqOB7AHVNnQo6otQtQAAAABJRU5ErkJggg==)