Материал по математике на тему "Моделирование как метод развития умственных способностей учащихся при решении математических задач"

В современной педагогической теории широко обсуждаются вопросы развития умственных способностей учащихся, формирование научно-теоретического мышления. Как сделать обучение максимально развивающим мышление, все познавательные способности учащихся, как научить их мыслить – это те вопросы, которые находятся в центре внимания педагогов, большинства дидактических и психологических исследований.

Проблема развития умственных способностей научно-теоретического мышления учащихся приобретает особую остроту и актуальность в свете модернизации школьного образования, где результатами образования являются не только знания, умения и навыки, но и сформированность различных компетенций, т. е. умений делать перенос полученных знаний в жизненные ситуации, решать эти проблемные ситуации.

Научные наблюдения, анализ результатов ученических работ показывают, что основными причинами ошибок, допускаемых учащимися при решении задач, являются затруднения в первичном восприятии задачи, затруднения в определении условия и требования задачи, их соотнесения, т. е. в неумении проводить анализ задачи, определять ориентировочную основу действий.

В развитии умственных способностей учащихся особое место занимает обучение решению задач: с одной стороны решение задач требует от учащихся умений анализировать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии, с другой стороны обучение решению задач направлено на развитие этих умственных способностей. Анализ существующих подходов к обучению решению задач в школьном курсе математики предполагает обучение учащихся решению задач разных типов. При этом отводится много времени на обучение решению задач, но каждый раз, решая задачи одного и того же класса, но разных типов, ученики решают их как новые, незнакомые, не видят ориентировочной основы действия. Поэтому остается актуальным поиск общих подходов, методов к обучению учащихся целого класса задач. Использование метода моделирования, на наш взгляд, интегрирует дидактические возможности в обучении детей решению задач целого класса и является методом, средством развития умственных способностей учащихся.

В школьном курсе математики учащиеся изучают некоторые модели, но не познают их подлинной сущности: изучают их просто как уравнение, числа, геометрические фигуры, не объединяют их общим понятием «модель», «моделирование». В связи с этим, мы считаем, что в школьном курсе математики необходимо использовать моделирование как общий метод исследования задачи, как средство решения задачи, как средство развития умственных способностей учащихся. Проблема обучения учащихся моделированию при решении математических задач, на наш взгляд, остается актуальной и требует ее разработки. Поэтому целью нашей работы стало использование метода моделирования для развития умственных способностей учащихся при обучении их решению математических задач.

 Психология уже свыше ста лет занимается исследованием про­цессов решения задач человеком. В результате этих исследований открыто много закономерностей и найдены важные характе­ристики процессов решения задач. Известный психолог Сергей Леонидович Рубинштейн считает, что средства познания, используемые при решении задач, сводятся к переформулированию задачи, а основная форма мышления, осуществляющая это переформулирование, есть анализ условий и требований задачи, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи, и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается каждый раз все новое содержание, он как бы поворачивается каждый раз новой стороной, в нем проявляются все новые свойства. С. Л. Рубинштейн характеризовал решение задач как процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи, через синтетический акт их соотнесения. Переформулирование задачи, считает он, и является способом ее моделирования.

В науке широко используется метод моделирования, который заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объ­ект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

В. В. Давыдов считает. Что перевод некоторого объекта в форму модели позволяет обнаружить в нем такие свойства, которые невыявляемы при непосредственном оперировании с ним. ОН указывает, что в процессе решения задач, используемые средства познания выступают в форме моделирования.

Л. М. Фридман в результате изучения генезиса задач делает вывод о том, что задачи можно целесообразно рассматривать как знаковые модели проблемных ситуаций.

Полную информацию смотрите в файле. 

МОДЕЛИРОВАНИЕ

КАК МЕТОД РАЗВИТИЯ

УМСТВЕННЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В современной педагогической теории широко обсуждаются вопросы развития умственных способностей учащихся, формирование научно-теоретического мышления. Как сделать обучение максимально развивающим мышление, все познавательные способности учащихся, как научить их мыслить – это те вопросы, которые находятся в центре внимания педагогов, большинства дидактических и психологических исследований.

Проблема развития умственных способностей научно-теоретического мышления учащихся приобретает особую остроту и актуальность в свете модернизации школьного образования, где результатами образования являются не только знания, умения и навыки, но и сформированность различных компетенций, т.е. умений делать перенос полученных знаний в жизненные ситуации, решать эти проблемные ситуации.

Научные наблюдения, анализ результатов ученических работ показывают, что основными причинами ошибок, допускаемых учащимися при решении задач, являются затруднения в первичном восприятии задачи, затруднения в определении условия и требования задачи, их соотнесения, т.е. в неумении проводить анализ задачи, определять ориентировочную основу действий.

В развитии умственных способностей учащихся особое место занимает обучение решению задач: с одной стороны решение задач требует от учащихся умений анализировать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии, с другой стороны обучение решению задач направлено на развитие этих умственных способностей. Анализ существующих подходов к обучению решению задач в школьном курсе математики предполагает обучение учащихся решению задач разных типов. При этом отводится много времени на обучение решению задач, но каждый раз, решая задачи одного и того же класса, но разных типов, ученики решают их как новые, незнакомые, не видят ориентировочной основы действия. Поэтому остается актуальным поиск общих подходов, методов к обучению учащихся целого класса задач. Использование метода моделирования, на наш взгляд, интегрирует дидактические возможности в обучении детей решению задач целого класса и является методом, средством развития умственных способностей учащихся.

В школьном курсе математики учащиеся изучают некоторые модели, но не познают их подлинной сущности: изучают их просто как уравнение, числа, геометрические фигуры, не объединяют их общим понятием «модель», «моделирование». В связи с этим, мы считаем, что в школьном курсе математики необходимо использовать моделирование как общий метод исследования задачи, как средство решения задачи, как средство развития умственных способностей учащихся. Проблема обучения учащихся моделированию при решении математических задач, на наш взгляд, остается актуальной и требует ее разработки. Поэтому целью нашей работы стало использование метода моделирования для развития умственных способностей учащихся при обучении их решению математических задач.

Психология уже свыше ста лет занимается исследованием про­цессов решения задач человеком. В результате этих исследований открыто много закономерностей и найдены важные характе­ристики процессов решения задач. Известный психолог Сергей Леонидович Рубинштейн считает, что средства познания, используемые при решении задач, сводятся к переформулированию задачи, а основная форма мышления, осуществляющая это переформулирование, есть анализ условий и требований задачи, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи, и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается каждый раз все новое содержание, он как бы поворачивается каждый раз новой стороной, в нем проявляются все новые свойства. С.Л. Рубинштейн характеризовал решение задач как процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи, через синтетический акт их соотнесения. Переформулирование задачи, считает он, и является способом ее моделирования.

В науке широко используется метод моделирования, который заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объ­ект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

В.В. Давыдов считает. Что перевод некоторого объекта в форму модели позволяет обнаружить в нем такие свойства, которые невыявляемы при непосредственном оперировании с ним. ОН указывает, что в процессе решения задач, используемые средства познания выступают в форме моделирования.

Л.М. Фридман в результате изучения генезиса задач делает вывод о том, что задачи можно целесообразно рассматривать как знаковые модели проблемных ситуаций.

Д.Н. Богоявленский пишет, что любое содержание становится предметом обучения лишь тогда, когда оно принимает для учения вид определенной задачи, направляющей и стимулирующей учебную деятельность. Так в основу проблемного обучения положено решение учащимися задач – проблем.

Г.А.Балл, анализируя различные трактовки задач, дает такую последовательность определений видов задачи:

1. Задача есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия

2. Мыслительная задача – ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известными величинами.

3. Проблемная задача или проблема – ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия.

Н.Ф. Талызина, рассматривая формирование общих приемов решения арифметических задач, обращает внимание на то, что при постановке данного исследования, исходили из понимания мышления не как некой готовой формальной функции, которая применяется при решении арифметических задач, а из понимания его как содержательной системы актов деятельности, формирующихся в процессе решения соответствующих задач и проходящих ряд закономерно сменяющих друг друга этапов. При этом отмечает, что успешность формирования действий определяется качеством их ориентировочной основы, ее содержанием и структурой. Для построения ориентировочной основы действий III типа необходимо найти структурную единицу, которая составляет сущность любой задачи этого класса.

Обоснование использования метода моделирования для развития умственных способностей можно найти и в исследованиях П.М. Эрдниева и Б.П. Эрдниева, которые отмечают, что фактором обеспечивающим высокое качество укрупненного дидактического знания может выступить общий графический образ, общность символов для групп формул и т.п. Исследования П.М. Эрдниева и Б.П. Эрдниева в области применения укрупненных дидактических знаний обращают наше внимание на то, что УДЕ дает возможность человеку за меньшее время овладеть большим объемом знаний, основательных и действенных, что акцент на необходимость пространственного и временного совмещения элементов укрупненных дидактических знаний имеет психологическую причину. Согласно современным научным данным всякая информация, воспринятая человеком, циркулирует, в так называемой, оперативной памяти в течение 15 – 20 минут, после чего уходит на хранение в долговременную память. Фаза оперативной памяти наиболее оптимальна для всевозможных перекодировок информации, для преобразования знаний.

УДЕ – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающая в то же время информационной общностью. УДЕ обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению в памяти во времени и быстрым проявлением в памяти. Эрдниев отмечает, что использование УДЕ позволяет проявлению фундаментальных закономерностей мышления:

• закона единства и борьбы противоположностей;

• перемежающего противопоставления контрастных раздражителей ( И.П. Павлов)

• принципа обратных связей ( П.К. Анохин);

• обратимости операций (Ж. Пиаже);

• перехода к сверхсимволам, т.е. оперированием более длинными последовательностями символов.

Все выше перечисленные теоретические положения явились основой для работы по использованию метода моделирования для развития умственных способностей на уроках математики.

Процесс обучения учащихся решению задач осуществляем в соответствии с этапами их решения:

1. Анализ задачи

2. Схематическая запись задачи

3. Поиск способов решения задачи

4. Осуществления решения задачи

5. Проверка решения задачи

6. Исследование задачи

7. Формулирование ответа задачи

8. Анализ решения задачи.

Часто ученики затрудняются провести анализ задачи. И тогда эффективным методом, позволяющим нам осуществить не только анализ, но и все этапы решения задачи, выступает метод моделирования. Он заключается в том, что ученики строят внешние опоры для активизации внутренней мыслительной деятельности в виде различных схем, чертежей, таблиц, структур, где вычленяют из задачи все ее элементы, отмечая их на модели, все отношения между элементами задачи, определяя условие и требование задачи.

При обучении решению задач в зависимости от программы обучения, содержания задачи используем различные виды моделирования и моделей.

1. Наглядно-схематические модели.

В наглядно схематической модели воспроизводится сюжет задачи в виде какой-либо схемы. Такими моделями являются модели, воспроизводящие условие задачи и требование с помощью отрезков, геометрических фигур и т.д.

Например: а

в

(а – в) : 3

Графическая модель (схема ) сюжетной задачи помогает понять учащимся абстрактные отношения, заданные в условии задачи, в конкретной пространственной форме. Эта схема является обобщением, позволяющим выйти за пределы данной задачи и получить обобщающий способ для решения любых задач данной структуры. Необходимость перевода абстрактных отношений в конкретно-пространственные формы стимулирует учащихся с одной стороны конкретизировать те абстрактные отношения, которые даны в условии, а с другой отвлечься от имеющейся в нем же сюжетной конкретности. Именно эта сложная двойственная природа графика и позволяет ей лечь в основу обобщенного метода решения.

2. Табличные модели

Построение табличных моделей используется тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями, например:

Данная табличная модель служит формой фиксации анализа сюжетной задачи и является основным средством поиска решения. Пользуясь такой схемой нетрудно найти план и осуществить решение задачи.

Учащиеся после этапа построения указанных моделей, на их основе стоят решающую алгебраическую или арифметическую модель задачи. На начальных этапах обучения рассматриваем модели, которые являются вспомогательными 1) 18 * 3 2) 82 – (1) 3) (2) : 2 таким образом, проведя поиск решения задачи, составляя вспомогательные модели можно составить решающую модель: (82 – 18 * 3) : 2

Вместе с учениками отмечаем, что числовые выражения могут быть моделью какой-то сюжетной задачи. По мере знакомства с уравнениями показываем, что для решения задачи можно составить и алгебраическую решающую модель 18 * 3 + 2 * Х = 82, обозначив неизвестное Х.

Затем составляются арифметические модели всех соотношений, имеющихся в этой задаче 1) 8 + 3 2) (1) * ( ?) 3) ? * 2 4) 8 * (3) 5) (4) + (2) = 81

Далее выделяются соотношения разрешимые арифметическим путем и соотношения, в которые входит неизвестное и тогда отмечает, что этот тип задач имеет алгебраическую решающую модель, т.е. уравнение 11 Х + 16 Х = 81, решив уравнение, получим ответ. После чего учащиеся делают вывод, что уравнение – это алгебраические модели сюжетных задач.

1. Структурные модели

Структурные модели используются для дальнейшего развития абстрагирования. Для построения структурной модели задачи вводим условные обозначения элементов соотношений. Так, например, рассматривая триединую задачу нахождения части от числа, числа по значению дроби, отношение части и целого используем следующие обозначения:

• -

  N- целая величина

  прямоугольник это целая величина

• - треугольник – это ее часть;

• круг – значение этой части

Типы указанных свыше задач имеют следующие структуры:

N

?

N

Рассматривая данные структуры, ученики делают вывод, что между элементами N, b/c, n существует связь N* b/c = n. Это помогает учащимся найти несколько способов решения задачи каждого вида.

Решающие модели более сложной задачи легко усваиваются учениками, если использовать структурную модель

Различные способы решения одной и той же задачи иллюстрируются одной и той же структурной моделью

Приведем пример структурной модели более сложной задачи, решающими моделями которой являются:

I способ N (1 – b/c) * ( 1 – p/k)

II способ (N – N * b/c) – ( N – N * b/c) * p/k

III способ ? : (1 – p/k) + N* b/c = N

В качестве решающей модели используем также графики функций, геометрические построения. Многообразие моделей исчерпать невозможно.

Метод моделирования эффективен при обучении решению взаимно обратных задач, при выполнении этапа проверки решения задачи.

Внешние опоры – модели позволяют легко менять местами известные данные задачи и требования и использовать обратную задачу для проверки результата данной задачи. Построенная модель задачи в виде схемы, структуры, таблицы, чертежа, графика служит внешней опорой для мыслительной деятельности ученика на всех ее этапах решения.

При обучении младших школьников простым задачам использование метода моделирования актуализирует преемственность в формировании планов мышления учащихся. Системная работа при обучении решению задач от воссоздания ситуации во всей ее конкретности, а затем воссоздание реальной ситуации в виде знаковой модели схематично, обобщенно позволяют последовательно формировать три вида мышления: предметно-действенное, наглядно-образное и абстрактно-теоретическое. При этом новый вид мышления, возникающий у ребенка, не вытесняет, не замещает предшествующие виды, они развиваются в тесном взаимодействии. Таким образом, использование моделирования на начальной стадии решения задач служит предпосылкой для дальнейшей работы по определению ориентировочной основы целого класса задач.

Эффективным приемом в обучении решению задач является обмен между учащимися текстами задач, составленных ими по модели с последующим их решением и взаимопроверкой. Учащиеся, выполняя такую работу, учатся переносу теоретических знаний на жизненные проблемные ситуации.

Таким образом, при решении задач посредством моделирования учим школьников абстрагированию, анализу, синтезу, сравнению, аналогии, обобщению, переводу жизненных проблемных ситуаций в абстрактные модели и наоборот. Использование моделирования как способа обучения поисковой деятельности, обобщенным подходам, приемам в решении задач способствует усилению творческой направленности процесса обучения, развитию умственных способностей учащихся.

Результаты диагностик развития умственных способностей, проводимых совместно с психологом, указывают на положительную динамику формирования таких умственных действий как анализ, сравнение, абстрагирование, аналогии, обобщения, умению устанавливать причинно-следственные связи. Анализ результатов контрольных работ показывает положительную динамику умений решать сюжетные задачи.

Результативность использования метода моделирования подтверждается следующими данными из анализа проверочных работ в 6-м классе:

В результате анализа результатов ЕГЭ наших учеников установлено, что 54,2% учащихся успешно ( на «4» и «5») справились с заданиями ЕГЭ. 30% поступили в ВУЗы и СУЗы, где профилирующим предметом является математика, применив сертификат ЕГЭ по математике и успешно продолжают обучение в настоящее время.

Опыт работы по данной технологии транслировался на заседании РМО учителей математики Парфинского района, на районной учительской конференции «Опыт. Проблемы. Поиск». Учителя математики СОШ п.Пола используют на практике метод моделирования.

Данный опыт может быть полезен для учителей математики, физики, химии, методистов.

Пересекающиеся и параллельные прямые.

У меня вопрос, сказала Линейка. – Когда прямая одна, то все ясно и понятно. А если взять сразу две прямых, то что будет тогда?

Хорошо, друзья, - ответил Карандаш. – Давайте возьмем сразу две прямые. Если эти прямые пересекаются, то есть у них есть общая точка, то их называют «пересекающиеся».   Сказав это, Карандаш нарисовал на животике Листа две пересекающиеся прямые. Получилось так:

Посмотрите внимательно, друзья! Прямые c и d пересекающиеся, у них общая точка. Это точка А. Обозначается это так: 

                  -c х d=A

 Скажите, пока все понятно? – спросил Карандаш.

 Циркуль и Линейка радостно закивали – им было понятно все, что объяснял Карандаш.  Но тут заговорила Резинка. По всему было видно, что какая-то мысль не дает ей покоя.

 А что будет, если прямые нигде не пересекутся? – испуганно спросила она. – Бедненькие прямые! Ведь тогда получается, что у них не будет ни одной общей точки?!

  Да ведь это не страшно! – успокоил ее Карандаш. – Просто такие прямые, у которых нет ни одной общей точки, называют «параллельные».

Как красиво! Па-рал-лель-ны-е. . . До чего же хорошо! – сказала мечтательно Резинка. Ей так понравилось это название, что она даже прикрыла глаза от удовольствия.

 А ты, Карандаш, объяснишь нам, как можно их провести? – спросила Линейка.

 Конечно! – сказал Карандаш. – Для того, чтобы провести параллельные прямые, нужно взять линейку и провести сначала одну прямую. Затем, не убирая пальцев с линейки, нужно будет очень аккуратно сдвинуть ее вниз или вверх, не меняя положения линейки. Если теперь провести еще одну прямую, то получим две прямые, которые будут параллельными! Сейчас я вам это покажу. Тебе, Линеечка, нужно будет помочь мне!

Я постараюсь сделать все как можно аккуратнее! – пообещала Линейка.

Назовем наши параллельные прямые а и b, - предложил Карандаш. – Друзья мои, вы согласны?

Конечно, все были согласны. Малые буквы а и b вышли вперед, чтобы сразу же вставить на свои места.

 Как всегда потребуется твоя помощь, Лист! – сказал Карандаш.

Лист с готовностью подставил свой животик. Получилось так:

Вот видите, друзья, я провел две прямые, - начал объяснять Карандаш. Они нигде не пересекутся, даже если я буду очень долго их продолжать в обе стороны.

Значит, прямые а и b параллельные, да? – перебила Резинка. Ей очень хотелось, чтобы Карандаш и все остальные видели, что ей все понятно.

Ты же знаешь, что перебивать невежливо?! – возмутилась Линейка.

Ничего, ничего, - упокоил их Карандаш. – Конечно, перебивать нехорошо, но я вижу, что теперь всем все ясно. Осталось только сказать, что обозначаются параллельные прямые так:

-       а II b

    Вот здорово! Так легко! – Резинка была в восторге оттого, что все оказалось так просто.

 Теперь вы знаете, что такое пересекающиеся и что такое параллельные прямые, сказал Карандаш. Не забывайте обозначать прямые и точку их пересечения.

 А для параллельных прямых точка пересечения не обозначается, да ? – спросила Резинка.

Конечно! Ведь у параллельных прямых ее просто нет.

2. Какая прямая есть на рисунке?                   

12