Материал по математике на тему "Абсолютная и относительная погрешность"

Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.

Однако:

- Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.

- Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.

- Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.

Определение.

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = |а-х|, где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Δ = |а-х| → a - x= ± Δ → a = x ± Δ

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = |4/9-0,44| = |4/9-11/25|=|100-99/225| = 1/225

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Δ = |а-х| ≤ h

Пример. 1/225=0,004444 < 0,0045

x - Δ – Нижняя граница (Н. Г.)

x + Δ – Верхняя граница (В. Г.)

Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей.

Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.

Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра.

В противном случае она называется сомнительной.

Пример. x = 3,7412 ± 0,002.

Определить верные и сомнительные цифры.

В. Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432

Н. Г. = 3,7412 - 0,002 = 3,7392

Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.

Замечания.

1) В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7

2) Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.

x = 0,301 ±0,001

В. Г. = 0,302 Н. Г. = 0, 300 → x = 0,30

3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.

0, 583;  38,57;  38,507;  29,830

Весь материал - в документе.

Тема: Абсолютная и относительная погрешность.

Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.

Однако:

- Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.

- Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.

- Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.

Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = , где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Δ = a - x= Δ a = x Δ

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = =

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Δ = h

Пример. 0,0045