Лекция по теме: "Функция и ее свойства. Предел функции"

Лекция № 1

Тема. Функция и ее свойства. Предел функции.

Цели:

• обобщить и расширить знания студентов о функции и свойствах числовой функции; формировать умение анализировать функцию; совершенствовать умение вычислять значение функции в точке, находить область определения и множество значений функции; способствовать формированию навыка нахождения предела функции.

• продолжить развитие способностей к аналитическому и алгебраическому мышлению.

• продолжить воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности.

Ход занятия

1. Организационный момент

1. Актуализация знаний

В математике одним из важных понятий является понятие функции. Как вы понимаете это слово? (ответы студентов)

Каким образом можно задать функцию? (ответы студентов)

1. Изучение нового материала

В своей практической деятельности человек сталкивается с величинами различной природы: длина, площадь, объем, масса, температура, вес и т.д.

В зависимости от конкретных условий некоторые из этих величин принимают одно и то же постоянное значение, т.е. не меняются; другие наоборот, принимают различные значения.

Все величины, изучаемые в математике, делятся на постоянные и переменные. Те из величин, которые в рассматриваемом процессе называются величинами.

Определение. Правило, или закономерность, при котором каждому значению х соответствует единственное значение у, называется функцией. Обозначение: .

• Аргумент х – независимая переменная х.

• Значение функции f(x) – число у, соответствующее значению х.

• Область определения D(f) – множество возможных значений переменной х.

• Множество значений E(f) – множество, состоящее из всех значений функции f(x).

Выражение у=х+5 является функцией, т.к. каждому значению аргумента х соответствует единственное значение функции у.

Область определения: (-;+). Область значений: (-;+).

Функция определена во всех точках области определения. Такую функцию называют непрерывной. у=х+5 – непрерывная функция.

у(0)=5, у(1)=6, у(2)=7, у(-1)=4.

А теперь посмотрим как ведет себя эта функция у=х+5 вблизи точки х=1:

у(0,01)=5,01

у(0,02)=5,02

у(0,1)=5,1

у(0,5)=5,5

у(0,9)=5,9

у(0,99)=5,99

Итак, при х 1 у6. Говорят, что у=6 является пределом функции у=х+5 при х 1. Записывают:

Р ассмотрим другую функцию: у=

Функция у= неопределенна в точке х=0, т.к. на 0 делить нельзя. Значит функция у= не является непрерывной. Точку х=0 называют точкой разрыва функции у= .

График функции у= - гипербола. График функции у= не пересекает ось Оу, но при неограниченном приближении х к нулю ветви гиперболы неограниченно приближаются к оси Оу. При неограниченном увеличении х ветви гиперболы неограниченно приближаются к оси Ох, нигде ее не пересекая. 

На графике видно, что при х+ или х-, у0. Значит

Простейшие пределы

Любой предел состоит из трех частей:

1. Всем известного значка предела lim. 

2. Записи под значком предела, в данном случае x1. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно x, хотя вместо x на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность .

3. Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись 

читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Выражение «икс стремится к единице» следует понимать так: х последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Чтобы решить вышерассмотренный пример нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Что означает х? Это значит, что х неограниченно возрастает, то есть: сначала х=10, потом х=100, потом х=1000, затем х=100000 и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией 1-х? 

1-10=-9; 1-100=-99; 1-1000=-999; ….
Итак: если х, то функция 1-х стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  1-х бесконечность и получаем ответ.

Снова начинаем увеличивать х до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  х функция х²-2х-3  неограниченно возрастает:

Попытайтесь самостоятельно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

Обратите внимание на следующее: даже если дан предел с большим числом в числителе, да хоть с миллионом: , то все равно  , так как рано или поздно х начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет ничтожно мал.

П одставляем 0 в функцию . Получаем:

Под записью   подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Тогда

Запомните: если конечное положительное число (любое, даже очень маленькое, как 0,0001) разделить на бесконечно малое число х0, то получится .

1. Закрепление новых знаний.

5. Подведение итогов занятия.

6. Домашнее задание.

Найдите пределы:

7. Литература:

1. Математика для техникумов- И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул, Москва, 1980

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2т. учеб. пособ.

4