Конспекты уроков по алгебре 9 класс

Функция. Область определения и область значений функции

Урок 1. Алгебра 9 класс

На этом уроке вводятся понятия: функция, зависимая переменная, независимая переменная (аргумент), область определения, область значений функции, график. Рассматриваются примеры отыскания области определения функции, а также примеры нахождения значения функции по заданному значению аргумента. Повторяются графики известных функций.

Определение:

Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.

В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.

В общем виде любую функцию можно записать так:

Например:

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Можно записать её в таком виде:

Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём прямую через полученные точки.

Мы изобразили график функции.

Определение:

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.

В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Коспект урока “Свойства функции”

На прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились находить область определения и область значений функции.

Свойства функций:

·        нули функции;

·        промежутки знакопостоянства функции;

·        промежутки монотонности функции.

Нули функции

Определение:

Нулями функции называют такие значения аргумента, при которых функция равна нулю.

В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.

Решив уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.

Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.

График не пересекает ось икс ни в одной точке.

Промежутки знакопостоянства функции

Определение:

Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки из области определения, на которых данная функция принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.

Функция принимает положительные значения:

И отрицательные значения:

Запишите промежутки знакопостоянства функции:

Положительные и отрицательные значения функции:

Промежутки монотонности функции

Определение:

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Определение:

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Определение:

Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

Опишем свойства функции:

Графиком является прямая, поэтому для построения достаточно двух точек:

Найдём значения функции:

Областью определения и областью значений будет множество всех действительных чисел. Ведь х и у могут быть любыми числами.

Найдём нули функции:

Запишем промежутки знакопостоянства:

Запишем промежутки монотонности:

Конспект урока “Квадратный трехчлен и его корни”

Квадратный трёхчлен, это тот многочлен, который записан в левой части квадратного уравнения:

Коэффициенты квадратного трёхчлена имею такие же названия, как и коэффициенты квадратного уравнения:

Найдите среди записанных многочленов те, которые являются квадратными трёхчленами:

Получим:

Определение:

Значение переменной, при котором многочлен равен нулю, называют корнем многочлена.

Найдём корни многочлена:

Для этого решим уравнение:

Левую часть уравнения можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, получим:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем:

Ответ:

Вывод:

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена

нужно решить квадратное уравнение

Найдите корни квадратных трёхчленов:

1.                Найдём корни первого квадратного трёхчлена

Решим квадратное уравнение:

2.                Найдём корни второго квадратного трёхчлена:

Решим квадратное уравнение:

3.                Найдём корни ещё одного квадратного трёхчлена:

Решим квадратное уравнение:

Ответ: корней нет.

Вывод:

Видим, что, как и квадратное уравнение, квадратный трёхчлен может иметь 1 корень, 2 корня или не иметь корней.

Решим задачу. Докажите, что из всех прямоугольников с периметром 20 сантиметров наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть х – одна сторона прямоугольника, 10 – х - вторая сторона прямоугольника. Тогда площадь прямоугольника равна х(10 – х).

Получаем:

Последнее выражение принимает всегда неположительные значения, наибольшее из них:

Соответственно наибольшая площадь будет у прямоугольника со стороной:

При решении задач с квадратным трёхчленом удобно использовать такое преобразование, как выделение квадрата.

Повторим их:

Потренируемся выделять квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

1.

2.

Конспект урока “Разложение квадратного трехчлена”

Квадратный трёхчлен - это трёхчлен вида:

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно решить квадратное уравнение:

Разложим квадратный трёхчлен на множители, применяя известные способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения.

Вынесем общий множитель за скобки:

Воспользуемся способом группировки:

Видим, что в разложении квадратного трёхчлена на множители нет случайных чисел, первый множитель является старшим коэффициентом квадратного трёхчлена, а далее записано произведение разностей переменной и одного из корней квадратного трёхчлена.

Запишем квадратный трёхчлен в общем виде:

Первым множителем является старший коэффициент, вторым - разность переменной и первого корня уравнения, третьим - разность переменной и второго корня уравнения.

Если квадратный трёхчлен имеет один корень, это значит что их два, но они одинаковые, тогда при разложении получится:

Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то говорят, что его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Выполним следующие задания:

1. Разложим на множители квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена, решив соответствующее квадратное уравнение:

Получим выражение:

Разложим на множители ещё один квадратный трёхчлен:

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

Получим:

2. Сократите дробь:

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Получим:

3.                Составьте квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа 7 и -2.

Функция y=ax^2, её график и свойства

Определение:

Квадратичной называют функцию вида:

Графиком квадратичной функции является парабола. Она состоит из двух ветвей и имеет вершину.

Ветви могут быть направлены вверх:

Ветви могут быть направлены вниз:

Квадратичная функция имеет свои свойства. Поговорим о них. В своей вершине квадратичная функция сменяет своё поведение с убывания на возрастание и с возрастания на убывание. Понятно, что областью определения в обоих случаях будет множество всех действительных чисел. Если говорим о нулях функции, то мы имеем ввиду те значения, при которых функция у=0. Когда находят нули функции по графику, то ищут точки пересечения графика с осью х. Если же находят нули функции по уравнению, то значение функции принимают равное 0. Тем самым получаем квадратное уравнение. Оно может иметь 2, 1 корень или не иметь корней. Соответственно, график может иметь 2 точки пересечения с осью х, 1 точку пересечения с осью х или не пересекать её. Понятно, что нулями квадратичной функции являются корни соответствующего квадратного уравнения. По графику удобно находить промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности функции.

Пример: по графику квадратичной функции опишите её свойства.

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит a0. Опишем её свойства.

Областью определения и областью значений являются:

Нулями функции являются:

Промежутки знакопостоянства:

Промежутки монотонности:

Заметим, что описать свойства функции по её графику проще, чем по формуле. Поэтому очень важно уметь изображать график функции.

Рассмотрим частный случай квадратичной функции:

Изобразим график этой функции схематично и обратим внимание на некоторые её свойства. Возможны два случая изображения графика.

Областью определения в обоих случаях является:

Область значений:

Функция такого вида обращается в ноль только при х=0, график будет пересекать ось х в одной точке. Первым свойством мы запишем, что если:

Другими словами график такой функции всегда проходит через точку начала координат. Причём эта точка является вершиной параболы.

Если же

то график расположен выше или ниже оси Х.

Если взять противоположные значения аргумента, то видно, что им соответствуют одинаковые значения функции. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Другими словами график функции симметричен относительно оси у.

Промежутки монотонности:

Заметим, что:

Пример.

В одной координатной плоскости изобразим графики функций:

Составим таблицу значений для первой функции.

Составим таблицу значений для второй функции

Получим два графика, они симметричны относительно оси х.

Рассмотрим пример: изобразим в одной координатной плоскости графики функции:

Составим таблицу значений для функции:

Составим таблицу значений для функции:

Составим таблицу значений для функции:

Изобразим графики этих функций:

График функции y=ax^2 +n

Изобразим в одной координатной плоскости графики функций:

Составим таблицы значений для каждой функции:

Запомните. График функции   является параболой, которую можно получить из графика функции   с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n0, и на -n единиц вниз, если n

Нам известно, что график функции  , всегда проходит через точку начала координат, причём она является вершиной параболы. Легко получить, что вершина параболы   будет иметь координаты (0, n). Так как выполняется параллельный перенос относительно оси y вверх или вниз.

Рассмотрим пример:  изобразим график функции  , используя шаблон  .

Составим таблицу значений:

Соединяем точки и получаем параболу:

Перенесём ключевые точки графика на 3 единицы вниз, проведём через полученные точки параболу.

Используя этот же шаблон, изобразим график функции  :

Составим таблицу значений:

Отобразим точки на графике.

Для функции  , отобразим возможные ключевые точки графика симметрично относительно оси х.

С помощью параллельного переноса относительно оси у перенесем ключевые точки на 2 единицы вверх:

Получили график функции   из шаблона  , с помощью осевой симметрии относительно оси хи параллельного переноса относительно оси у на 2 единицы вверх. Вершина полученной параболы имеет координаты (0,2).