Конспект урока по геометрии "Решение планиметрических задач методом площадей"

Цель урока: 

повторение и обобщение знаний о методе площадей в решении задач.

Задачи:

обучающие: обобщить и систематизировать знания о методе площадей, отработать умения применить формулы в решении задач.

развивающие: развить познавательные умения,

воспитательные: развить положительное отношение к знаниям.

Ход урока.

I. Актуализация знаний.

Слайд 3

Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны соответствующие этим высотам.

Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты.

Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащий этот угол.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

II. Устная работа.

Слайд 8 Случай, когда треугольники имеют общую высоту.

Дано:

AD=6см

DB=2см

S_ΔACD=3см²

Найти:

S_ΔACD=?

Решение: ΔACD, ΔDCB имеют общую высоту CE.

S_ΔACD/S_ΔDCB=AD/DB,

S_ΔACD/3 =6/2

S_ΔACD=3*6/2 =9см²

Ответ: 9см²

Весь материал - в документе.

Муниципальное общеобразовательное учреждение – гимназия № 1

Урок геометрии в 11 классе

Тема: «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ»

Автор: Дацко Елена Владимировна

учитель математики

г. Клин, 2014 год

Содержание

Стр.

1. Цель и задачи урока………………………………………………………………………...…3

2. План урока……………………………………………………………………………..…3 – 11

2.1. Актуализация знаний……………………………………………………………………3 – 4

2.2. Устная работа………………………………...………………………………………….5 – 7

2.3. Работа на уроке по вариантам с различной сложностью……………………………..7 – 9

2.4. Самостоятельная работа контролирующего характера……………………………10 – 11

2.5. Итог урока. Домашнее задание с подробным разбором задач....……………….…11 – 17

3. Литература……………………………………………………………………………………18

Слайд 2

Цель урока: повторение и обобщение знаний о методе площадей в решении задач.

Задачи:

– обучающие: обобщить и систематизировать знания о методе площадей, отработать умения применить формулы в решении задач.

– развивающие: развить познавательные умения,

– воспитательные: развить положительное отношение к знаниям.

Тип урока: урок повторения.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

Слайд 3

Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны соответствующие этим высотам.

Рисунок 1

Слайд 4

Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты.

Рисунок 2

Слайд 5

Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащий этот угол.

Рисунок 3

Слайд 6

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Рисунок 4

Слайд 7

Рисунок 5

II. Устная работа.

Слайд 8 Случай, когда треугольники имеют общую высоту.

Рисунок 6

Дано:

Найти:

Решение:

имеют общую высоту

Ответ:

Слайд 9

Рисунок 7

Дано:

Найти:

Решение: имеют общую высоту

т. к. то

Ответ: 20.

Вывод:

1) Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту равно отношению сторон, к которым проведена высота.

2) Если же стороны, к которым проводится высота равны, то и площади треугольников также равны.

3) Во сколько раз отношение сторон треугольников, к которым проводится высота больше (меньше), во столько раз и площади больше (меньше).

Слайд 10

Случай, когда треугольник и параллелограмм имеют общую высоту.

Рисунок 8

Дано:

параллелограмм,

Найти:

Решение:

Ответ: 8.

Вывод: В этом случае отношение площадей треугольника и параллелограмма равно отношению их высот. Высота параллелограмма есть высота треугольника. Но в нахождении площади треугольника присутствует коэффициент , а, значит, составляя и решая данную пропорцию, получаем 8.

Слайд 11

Рисунок 9

Дано:

Найти:

(Отношение площадей, имеющих общий угол равно отношению произведения сторон, заключающих данный угол).

– общая,

Ответ:

Слайд 12

Рисунок 10

Дано:

– параллелограмм,

– медиана

– медиана

– середина

Найти:

Решение:

Ответ: 10.

III. Работа на уроке.

1 ряд. Работа в парах (сидят слабый ученик и ученик средних способностей).

Решает I вариант – уровень «4»,

2,3 ряды – II вариант – уровень «4 – 5».

I вариант

Рисунок 11

Дано:

– параллелограмм,

Найти:

Решение:

1) Найдём какую часть составляет от

Проведём диагональ

(общий угол ),

2)

3)

Ответ:

II вариант

Рисунок 12

Дано:

– медианы,

Найти:

Решение:

1) (сторона – общая),

2) Дополнительное построение

По теореме Фалеса – средняя линия,

3) подобен (по двум углам),

– коэффициент подобия.

4) по свойству медиан

подставим в получим

Ответ:

IV. Самостоятельная работа контролирующего характера (дифференцированная).

1 ряд

I вариант

Рисунок 13

Дано:

– параллелограмм,

– диагональ,

Найти:

Решение:

Параллелограмм и имеют общую сторону

Ответ:

II вариант

Рисунок 14

Дано:

– параллелограмм,

– медиана,

Найти:

Решение:

– медианы,

(свойство диагоналей),

– общий,

имеют общую высоту, значит их площади

Ответ: 24.

V. Итог урока.

Домашнее задание. Ученику следует выбрать для решения две любые задачи. При желании можно выполнить всё задание.

Задача 1. В треугольнике со сторонами вписан параллелограммпричём точки лежат на сторонах соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет площади треугольника Найдите стороны параллелограмма.

Рисунок 15

Решение:

Пусть

1)

2)

3)

4) подобен по двум углам.

как накрест лежащие,

соответственные углы.

.

Составляем систему:

или

Ответ: 12 и 4 или 6 и 8.

Другой способ решения данной задачи:

1)

Пусть

2)

Ответ: 6 и 8 или 12 и 4.

_Задача 2. В треугольнике _{на прямой выбрана точка так, что Точка середина стороны Прямая пересекает отрезок в точке Найдите площадь треугольника если площадь треугольника равна 120.}

_{1 случай.}

Рисунок 16

Решение:

(медиана).

Пусть

1)

2) и

Ответ: 12.

2 случай.

Рисунок 17

Решение:

1) медиана,

медиана;

Пусть ,

медиана,

2) общая высота, общая высота.

Ответ: 20.

Задача 3. Через точку лежащую в треугольнике проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1;2,25и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов.

Рисунок 18

Найти:

Решение:

1) Рассмотрим

2) Рассмотрим

3) Рассмотрим

4)

Ответ: 13.

Задача 4. Площадь трапеции равна 810. Диагонали пересекаются в точке

Отрезки, соединяющие середину основания с вершинами и пересекаются с диагоналями трапеции в точках и Найдите площадь треугольника если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

1 случай.

Рисунок 19

Решение:

1) Рассмотрим четырёхугольник основания трапеции. параллелограмм.

2) по двум сторонам и углу между ними. Аналогично, Значит,

3) диагонали параллелограмма делят его на четыре равных по площади треугольника.

4) Т. к. то средняя линия треугольника

5) трапеция,

Пусть тогда

Ответ: 22,5.

2 случай.

Рисунок 20

Решение:

Пусть высота трапеции.

Положим Тогда

Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом а треугольник подобен треугольнику с коэффициентом Тогда

Значит, Аналогично,

Следовательно,

Ответ: 14,4.

Литература:

1. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255с.

2. Геометрия в таблицах. 7 – 11 кл.: Справочное пособие / Авт.-сост. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000. – 128 с.

3. http://www.fipi.ru (Официальный сайт Федерального института педагогических измерений)