Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Алгебраическая форма комплексного числа

Основные определения и соотношения для комплексных чисел

• Число называется мнимой единицей . Следовательно .
• Числа вида b j , где b R называются мнимыми или чисто мнимыми .

Например:

• Числа вида a+b j , где R называются комплексными .

Например:

, Комплексное число вида 0+0j называется нулевым комплексным числом. Два комплексных числа вида a + b j и a – b j называются сопряжёнными . Например : 3+4j и 3-4j. Два комплексных числа вида a + b j и -a – b j называются противоположными . Например : 1+3j и -1-3j. " width="640"

• Два комплексных числа a + b j и c + d j считаются равными , если равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a =c и b = d (понятия ,

• Комплексное число вида 0+0j называется нулевым комплексным числом.

• Два комплексных числа вида a + b j и a – b j называются сопряжёнными . Например : 3+4j и 3-4j.

• Два комплексных числа вида a + b j и -a – b j называются противоположными .

Например : 1+3j и -1-3j.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Запись комплексного числа в виде z=a+bj называется алгебраической формой записи комплексного числа .

а) Сложение и вычитание комплексного числа выполняются как сложение и вычитание многочленов, т.е. раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые.

Примеры:

(1+4j)+(3-2j)=1+4j+3-2j=4+2j

(5-j)-(9-2j)=5-j-9+2j=-4+j

Умножение комплексного числа в алгебраической форме выполняется как умножение многочленов с последующей заменой на -1 и приведением подобных слагаемых.

Пример: (5-2j)(1+j)=5-2j+5j-2j^2=5+3j+2=7+3j

в) Деление.

Чтобы выполнить деление комплексного числа нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю, выполнить действия и полученный в числителе результат почленно разделить на знаменатель.

Заметим , что произведение поэтому в знаменателе результат будем находить сразу по этой формуле:

Пример:

Степени мнимой единицы.

и т.д.

Таким образом,

Чтобы подсчитать любую степень j нужно выделить из нее степень кратную 4 и остаток, а потом вычислить j в степени, равной остатку.

Произвести сложение и вычитание комплексных чисел:

Произвести умножение комплексных чисел:

При выполнении умножения можно использовать формулы

Выполнить действия:

Выполнить деление:

Вычислите:

Выполните действия:

Решение квадратных уравнений

Если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то такое уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных сопряжённых корня.

Решение. Найдём дискриминант по формуле

Решить квадратные уравнения:

Найдите x и y на основании равенства двух комплексных чисел.

Пример: 4-3xj=2y+5j .

Решение . Из равенства комплексных чисел следует, что

Выполнила преподаватель ГБПОУ ВО «ВТСТ»

Сафонова Елена Артуровна