Исследовательский проект по математике на тему: Линейная функция. Модуль. Графики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3»

Исследовательский проект по математике

на тему:

Линейная функция.

Модуль. Графики

Выполнили учащиеся 7А класса

Фролов Григорий

Гузь Егор

Руководитель: учитель математики Митрофанова Е.А.

г. Сасово

2018-2019

Оглавление

2.1. Теоретическая часть 5

2.2. Практическая часть 5

2.2.1. Задание функции несколькими формулами. 5

2.2.2. Построение графиков по формулам с модулем. 6

Актуальность

В 7-м классе мы изучили тему «Функции», на которой получили представление о функции и основных понятиях, связанных с ней. Первое подробное знакомство было с линейной функцией. На уроках рассмотрели основные способы построения графика такой функции. На занятиях внеурочной деятельности, мы столкнулись с трудностями при построении графиков более сложных функций. Проблемы вызвали задания, содержащие функции, заданные с помощью нескольких формул и с модулем. Исходя из всего вышесказанного, мы решили рассмотреть приемы и методы построения графиков, заданных более сложными формулами.

Цель:

Получить навыки построения сложных графиков.

Объекты исследования:

Графики функций и уравнений, заданных «сложными» формулами.

Задачи:

• Вспомнить необходимый теоретический материал и систематизировать его.

• Разработать план построения графика функции, заданной несколькими формулами.

• Выявить закономерности изменения графика линейной функции при наличии знака модуля.

• Получить представление о графике уравнения, учиться его строить.

Гипотеза:

Предположим, что появление модуля в формуле линейной функции «ломает» прямую, при этом имеет большое значение, где поставлен знак модуля в формуле.

Методы исследования.

• Проанализировать и обобщить теоретический материал.

• Опытным путём (по точкам) построить графики уравнений, содержащих модуль.

• Проанализировав полученные результаты, составить план построения графиков.

Практическая значимость исследования

Более глубокое рассмотрение темы даст возможность не только получить навыки построения графиков таких функций, но и получить хорошую базу для дальнейшего изучения математики.

2.1. Теоретическая часть

Для работы по данной теме вспомним о линейной функции и ее графике; о модуле числа.

Определение

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика нужно:

1. Составить таблицу для двух точек.

2. Отметить их в системе координат.

3. Провести через эти точки прямую.

Расположение прямой зависит от значений коэффициентов k и b. Систематизировали все случаи и результаты оформили в таблице. (Приложение1).

Если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

Определение модуля

Модулем числа  х, называется: само это число, если х – положительное число; нуль, если число х – нуль, число противоположное числу х, если х – отрицательное число. Это определение можно записать в виде:

2.2. Практическая часть

2.2.1. Задание функции несколькими формулами.

На уроке алгебры мы строили график движения туристов по следующим данным: Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 ч они шли со скоростью 4.5 км/ч. Затем сделали привал на 1ч. На оставшуюся часть пути они затратили полтора часа, проходя ее со скоростью 6 км/ч.(№334).

График получился составленным из трех отрезков, каждый из которых можно задать формулой линейной функции (рис.1).

Рис.1

Существуют функции, заданные несколькими формулами. Мы рассмотрели несколько таких функций. Построили их графики.

1. (рис.2) 2. (рис.3)

Рис.2 Рис.3

Итак, как построить графики таких функций? Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном участке, не залезая на соседние.

2.2.2. Построение графиков по формулам с модулем.

Свою работу с модулем мы начали с построения графика функции у =│х│. Используя определение модуля, получили кусочную функцию. (Рис.4)

Рис.4

Сделали вывод, что для построения графиков с модулем надо его раскрыть.

Примеры:

1) у =│х│- 2. (Рис.5)

2) у = 3х - │х│+1. (Рис.6)

Рис.5 Рис.6

Итак, для построения графиков подобных функций надо:

1)Раскрыть модуль по определению.

2)Получить функцию, заданную несколькими формулами.

3)Построить график функции, состоящей из нескольких формул.

А как поведет себя график, если модуль в формуле поставить в другом месте? Для этой работы взяли линейную функцию у = х – 2.

Далее, для подтверждения нашей гипотезы о том, что прямая при этом будет «ломаться», были исследованы несколько случаев.

а) у =│х│- 2 ; б) у =│х - 2│; в) │у│= х – 2; г) │у│=│х - 2│.

а) График у =│х│- 2 был построен ранее (рис.5). График симметричен относительно оси Оу.

б) у =│х - 2│ _{ }

Весь график расположен выше оси Ох (рис.7).

в) │у│= х – 2.

Так как │у│≥ 0, то х – 2 ≥ 0. Поэтому у = х – 2 выполняется при у ≥ 0. Строим часть прямой, расположенную выше оси Ох. Если х =5, то х – 2 = 3. │у│= 3, а это выполняется при у = 3 и у = - 3. Аналогично для других точек, для которых х–2≥0. График симметричен относительно оси Ох (рис.8).

г) │у│=│х - 2│

Модули равных и противоположных выражений равны, значит, у = х – 2 или у = - х + 2. Графиком в последнем случае является пара прямых (рис.9).

Важно отметить, что в последних двух случаях мы имеем дело не с функциями, так как каждому значению х соответствует не единственное значение у.

Рис.7 Рис.8

Рис.9

В результате проведенных исследований при построении графиков функций и уравнений, содержащих модули, можно сделать следующие выводы:

• если независимая переменная стоит под знаком модуля у = k│x│ + b, то от прямой у = kx + b оставляют только часть, где х ≥ 0, а затем отображают ее симметрично относительно оси Оу.

• если имеем у = │kx + b│, то от прямой у = kx + b оставляют часть, где у ≥ 0, а часть графика, где у симметрично отображают относительно оси Ох.

• если имеем │у │= kx + b, то от прямой у = kx + b оставляют часть, где у ≥ 0 а за-тем отображают ее симметрично относительно оси Ох.

• если имеем │у│ = │kx + b│, то строим две прямые у = kx + b и у = - kx – b.

• в других случаях, где встречается модуль, необходимо