Исследовательская работа «Проверка математических действий методом девятки»

Введение.

Выполняя различные задания по математике, я убедился в том, что ошибка, описка в вычислениях может свести на нет всю работу. Использование компьютера, калькулятора, конечно, во многом облегчает процесс вычислений. Но конкретные числа и действия машине задает человек.

В некоторых ситуациях машина может дать «сбой», или человек, который вводит числа в компьютер, может сделать ошибку. Из истории известно, что запуск первого искусственного спутника земли советские ученые произвели успешно, не пользуясь компьютерами и калькуляторами.

А в 2011 году запуски российских космических аппаратов часто происходили неудачно, несмотря на наличие современной компьютерной техники. Известно, что часть этих неудач случилась из-за описок при вводе данных.

Поэтому борьбе с арифметическими ошибками придается большое значение и в наше время. Значит надо учиться давать предварительную оценку результата, уметь прогнозировать и оценивать его истинность.

Для этого необходимо использовать различные знания, уметь выбирать более удобный (легкий) вычислительный прием, который в конкретной ситуации, быстрее других приведет к результату.

Наиболее полная проверка достигается, конечно, повторным выполнением вычисления или с помощью выполнения обратного действия.

А наши предки для проверки результатов арифметических вычислений использовали различные приемы быстрого счета.

Один из таких приемов, облегчающий процесс проверки правильности вычислений и экономящий время, это проверка математических действий методом «девятки», который я исследовал в данной работе.

Я считаю, что данная работа будет полезна всем школьникам и студентам.

Цели работы:

Изучить один из приемов проверки математических действий - проверку методом «девятки». Ответить на вопрос: «Можно ли отказаться от традиционного способа проверки арифметических действий и заменить его на проверку с помощью метода «девятки»»?

Задачи исследовательской работы:

1. Изучить историю возникновения и развития проверки вычислений методом «девятки».

2. Сформулировать алгоритм проверки вычислений с помощью метода «девятки».

3. Изучить достоинства и выявить недостатки данного метода.

4. Сформулировать выводы, полученные в процессе исследования.

История возникновения и развития метода “девятки”

В старину многие вычислительные приемы и арифметические действия нелегко удавались, так как были очень сложными и громоздкими, требовали много места и времени.

Кроме этого, вычисления производились не на бумаге, а на счетной доске, посыпанной песком или пылью.

Каждое промежуточное вычисление стиралось песком, чтобы освободить место для следующего вычисления. В самом конце на доске оставались только данные числа и найденный результат. Повторить заново все вычисления с целью проверки было нелегко.

Вот почему прибегали к разным приемам проверки. Проверка считалась последним этапом решения.

Одним из старинных способов проверки является так называемый метод “девятки”. Изложение его встречается у индийских математиков уже в Х веке. Несколько позже с ним познакомились ученые стран ислама, а еще позже - европейские математики (Леонардо Фибоначчи и другие). ([1], c.81)

Алгоритм проверки вычислений с помощью “девятки”

Известно, что при делении любого числа на 9 получается такой же остаток, как и при делении на 9 суммы цифр этого числа.

Например, 1738 при делении на 9 даст в остатке 1. Такой же остаток получится от деления на 9 чисел 19 =(1+7+3+8), 10=(1+9), 1=(0+1).

Однозначное число 1, полученное от последовательного сложения цифр числа 1738, назовем числовым остатком.

Известно также, что остаток от деления суммы нескольких чисел на какое-то число равен сумме остатков от деления каждого из слагаемых на то же число или остатку от деления суммы на данное число. ([1], c.81)

Алгоритм проверки арифметических действий над целыми числами с помощью “девятки”:

1. Для каждого числа найти сумму цифр.

2. Для каждого из полученных результатов суммирования найти остатки от деления на 9.

3. Произвести над остатками те же действия, что и над данными числами.

4. Сравнить результаты.

5. Сделать вывод.

Проверка изученного метода на примерах.

Теперь на нескольких примерах покажем проверку результатов арифметических действий.

Весь материал - в документе.

Областной конкурс

исследовательских работ по учебным предметам

учащихся учреждений общего среднего образования

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«Проверка математических действий методом девятки»

Морозов Ян Егорович,

учащийся 6 «В» класса

Государственного учреждения

образования «Средняя школа № 27

г. Могилева»

Научный руководитель:

Челочева Ольга Дмитриевна,

учитель математики

Государственного учреждения

образования «Средняя школа № 27

г. Могилева»

г. Могилев 2014

Содержание

Введение 3

Основная часть 4

История возникновения и развития метода “девятки” 4

Алгоритм проверки вычислений. 4

Проверка изученного метода на примерах 5

Недостатки метода 11

Заключение 12

Список литературы 14

Введение

Выполняя различные задания по математике, я убедился в том, что ошибка, описка в вычислениях может свести на нет всю работу. Использование компьютера, калькулятора, конечно, во многом облегчает процесс вычислений. Но конкретные числа и действия машине задает человек. В некоторых ситуациях машина может дать «сбой», или человек, который вводит числа в компьютер, может сделать ошибку. Из истории известно, что запуск первого искусственного спутника земли советские ученые произвели успешно, не пользуясь компьютерами и калькуляторами. А в 2011 году запуски российских космических аппаратов часто происходили неудачно, несмотря на наличие современной компьютерной техники. Известно, что часть этих неудач случилась из-за описок при вводе данных. Поэтому борьбе с арифметическими ошибками придается большое значение и в наше время. Значит надо учиться давать предварительную оценку результата, уметь прогнозировать и оценивать его истинность. Для этого необходимо использовать различные знания, уметь выбирать более удобный (легкий) вычислительный прием, который в конкретной ситуации, быстрее других приведет к результату. Наиболее полная проверка достигается, конечно, повторным выполнением вычисления или с помощью выполнения обратного действия.
А наши предки для проверки результатов арифметических вычислений использовали различные приемы быстрого счета. Один из таких приемов, облегчающий процесс проверки правильности вычислений и экономящий время, это проверка математических действий методом «девятки», который я исследовал в данной работе.

Я считаю, что данная работа будет полезна всем школьникам и студентам.

Изучить один из приемов проверки математических действий - проверку методом «девятки». Ответить на вопрос: «Можно ли отказаться от традиционного способа проверки арифметических действий и заменить его на проверку с помощью метода «девятки»»?

1. Изучить историю возникновения и развития проверки вычислений методом «девятки».

2. Сформулировать алгоритм проверки вычислений с помощью метода «девятки».

3. Изучить достоинства и выявить недостатки данного метода.

4. Сформулировать выводы, полученные в процессе исследования.

В старину многие вычислительные приемы и арифметические действия нелегко удавались, так как были очень сложными и громоздкими, требовали много места и времени. Кроме этого, вычисления производились не на бумаге, а на счетной доске, посыпанной песком или пылью. Каждое промежуточное вычисление стиралось песком, чтобы освободить место для следующего вычисления. В самом конце на доске оставались только данные числа и найденный результат. Повторить заново все вычисления с целью проверки было нелегко. Вот почему прибегали к разным приемам проверки. Проверка считалась последним этапом решения.

Одним из старинных способов проверки является так называемый метод “девятки”. Изложение его встречается у индийских математиков уже в Х веке. Несколько позже с ним познакомились ученые стран ислама, а еще позже - европейские математики (Леонардо Фибоначчи и другие). ([1], c.81)

Алгоритм проверки вычислений с помощью “девятки”

Известно, что при делении любого числа на 9 получается такой же остаток, как и при делении на 9 суммы цифр этого числа. Например, 1738 при делении на 9 даст в остатке 1. Такой же остаток получится от деления на 9 чисел 19 =(1+7+3+8), 10=(1+9), 1=(0+1). Однозначное число 1, полученное от последовательного сложения цифр числа 1738, назовем числовым остатком. Известно также, что остаток от деления суммы нескольких чисел на какое-то число равен сумме остатков от деления каждого из слагаемых на то же число или остатку от деления суммы на данное число. ([1], c.81)

Алгоритм проверки арифметических действий над целыми числами с помощью “девятки”:

1. Для каждого числа найти сумму цифр.

2. Для каждого из полученных результатов суммирования найти остатки от деления на 9.

3. Произвести над остатками те же действия, что и над данными числами.

4. Сравнить результаты.

5. Сделать вывод.

Проверка изученного метода на примерах

Теперь на нескольких примерах покажем проверку результатов арифметических действий.

Проверка сложения

Пример 1:

Если сложение верно, то укороченная сумма слагаемых (1+1+3+5+9) должна равняться сумме цифровых остатков (8+1+1) то есть 10 (1).

Пример 2:

Следует отметить, что к сумме цифр всегда можно добавить и из нее можно выбрасывать девятки, если требуется найти только остаток от деления числа на 9.

Проверка вычитания

Вычитание – действие обратное сложению.
Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

В примере уменьшаемое 1 оказалось меньше вычитаемого, поэтому к нему добавлена 9 и уменьшаемое стало равно10.

Пример 6:

В последнем примере уменьшаемое 3 оказалось больше вычитаемого 5, поэтому к 3 добавлена 9 и уменьшаемое стало равно12.

Проверка умножения

Особенно интересно применение способа девятки к проверке умножения.

Пример 7:

Пример 8:

При умножении цифровых остатков множителей получим 30, т.е. 3+0=3.

Пример 9:

Пример 10:

Проверка деления

Делимое равно произведению делителя на частное, поэтому для проверки находим произведение цифровых остатков делителя и частного, оно должно быть равно произведению цифрового остатка делимого.

Пример 11:

Т.е. находим произведение цифровых остатков делителя и частного 6*7=42, цифровой остаток 42 равен 6 – цифровому остатку делимого.

Пример 12:

Т.е. находим произведение цифровых остатков делителя и частного 7*7=49, цифровой остаток 49 как раз и равен 4 – цифровому остатку делимого.

Рассмотрим применение метода «девятки» при проверке правильности вычислений в примере, содержащем четыре арифметических действия.

Пример 13:

2137 + 21 · 47 – 407 : 11 = 3087

Вывод: Проведенная проверка свидетельствует о правильности вычислений.

Пример 14:

6513 - 330 : 15 + 57 · 98 = 11977

Вывод: Проведенная проверка свидетельствует о том, что проведенные вычисления содержат ошибку. Правильный ответ 12077, 1+2+0+7+7=17, 1+7=8.

Недостатки метода

При проверке арифметических действий методом “девятки” было выявлено, что существуют некоторые особенности, которые мы продемонстрируем на следующих примерах.

Пример 15:

Вывод. При нахождении суммы была допущена ошибка, мы поменяли цифры местами, это не повлияло на сумму его цифр и числовой остаток. Ошибка будет не выявлена.

Пример 16:

Вывод: Если при умножении в произведении будет потерян 0, ошибка останется незамеченной.

Пример 17:

Вывод: При вычитании в разности ошибочно 9 была заменена 0, но на сумму цифр и числовой остаток это не повлияло. Ошибка не выявлена.

Итак, в процессе исследования мы получили следующие выводы:
ошибка не будет выявлена в следующих случаях:

1. Если мы поменяем цифры местами.

2. Если в результат мы добавим или уберем 9.

3. Если в результат мы добавим или уберем 0.

То есть в тех случаях, когда допущенная ошибка не влияет на сумму цифр, а, следовательно, на числовой остаток. ([2], c.99)

Предки наши сознавали это и не ограничивались одной лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще и дополнительную проверку – чаще с помощью «семерки». Этот метод основан на том же правиле остатков, но не так удобен, как способ девятки, потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, что бы найти остатки (а при этом возможны ошибки в действиях самой проверки).

Две проверки – «девяткой» и «семеркой» – являются уже гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной, будет уловлено другой. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов будет кратна числу 7*9=63. Так как подобная случайность все же возможна, то двойная проверка не дает полной уверенности в правильности результата. ([3], c.47)

Основные выводы, полученные в процессе исследования

Изучив литературу и проанализировав ряд примеров, приходим к следующим выводам:

1. Проверка действий с помощью “девятки” быстрый и удобный способ.

2. Если допущенная ошибка не влияет на сумму цифр, а, следовательно, на цифровой остаток, то она останется не выявленной. Метод не гарантирует проверку без ошибок. Поэтому полностью полагаться на такой прием проверки нельзя.

3. Для обычных вычислений, где ошибки встречаются на одну или две единицы, можно ограничиться только проверкой с помощью «девятки».
   
   

Литература

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер – Москва:
   Просвещение, 1964. - 364 с.

2. Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман За страницами учебника математики / Виленкин Н.Я., Депман И.Я. – Москва: Просвещение, 1988, - 361 с.

3. Я.И. Перельман Занимательная арифметика / Перельман Я.И. - Москва: Центр-полиграф, 2010, - 269 с.

4. А.А. Свечников Путешествие в историю математики / Свечников А.А. - Москва: Педагогика-Пресс, 1995, - 324 с.