Исследование функции с применением производной

В презентации рассмотрено решение задач на исследование функции с помощью производной. Использован материал рабочей тетради С.А. Шестакова  «ЕГЭ 2012. Математика. Задача В14. Исследование функции»

Исследование функций с применением производной

1. Исследование функции на экстремумы;

2. Исследование функции на возрастание/ убывание;

3. Исследование функции на наибольшие и наименьшие значения на отрезке;

4. Исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной)

Исследование функции на возрастание (убывание)

f(x) дифференцируема на интервале (a;b)

Если f′(x)>0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале.

Если f′(x)<0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) убывает на этом интервале.

Учительство - не труд, а отреченье,

Умение всего себя отдать,

Уйти на долгий подвиг и мученье,

И в этом видеть свет и благодать.

Учительство - когда в глазах холодных

Зажжется понимания заря,

И ты поймешь: старался не бесплодно

И знания разбрасывал не зря.

Липлянская Татьяна Геннадьевна,

учитель математики МОБУ «СОШ №3»

город Ясный Оренбургская область

Подготовка к ЕГЭ

В14

Исследование функций с применением производной

• Исследование функции на экстремумы ;
• Исследование функции на возрастание/ убывание ;
• Исследование функции на наибольшие и наименьшие значения на отрезке;
• Исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной)

0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале. Если f′(x)" width="640"

Исследование функции на возрастание (убывание)

f(x) дифференцируема на интервале (a;b)

Если f′(x)0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале.

Если f′(x)

Исследование функции на экстремумы

Признак максимума . Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0

Признак минимума . Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0

Графическая интерпретация

y

точка

минимума

y=f(x)

0

x

b

a

точка

максимума

точка

максимума

-

-

f′(x)

+

+

a

b

f(x)

x

y

точка

минимума

a

x

0

b

точка

максимума

точка максимума

1. Найдите точку минимума функции y = x 3 – 48x + 17

Найти область определения функции: D(y)=(-∞;+∞)

Алгоритм

1. Найти f ′ (x)

2. Найти стационарные ( f′(x)=0 ) и критические точки ( f′(x) не существует )

3. Определить знаки производной, выполнить графическую иллюстрацию.

1) y / = 3x 2 – 48

2) y / = 3x 2 – 48 = 3(x 2 – 16) = 3(x – 4)(x + 4)

3(x – 4)(x + 4)=0

х = 4, х = - 4

–

+

+

y \

x

y

-4

4

Точка минимума

Ответ: 4

Реши самостоятельно!

Проверь себя : D(y)=(-∞;+∞)

2. Найдите точку максимума функции

-

-

у′

+

у

Ответ: 2

Реши самостоятельно!

Проверь себя : D(y)=(-∞;+∞)

3. Найдите точку максимума функции

-

у′

+

+

у

Ответ: -3

4. Найдите точку минимума функции

y = 2х – ln(x+3) + 7

)

(

1

/

lnx

=

x

+

–

y \

y

x

-3

-2,5

Ответ: -2,5

5. Найдите точку минимума функции

)

(

/

+

/

/

=

uv

v

u

uv

–

–

+

y \

y

x

8

2

Ответ: 2

6. Найдите точку минимума функции

)

(

/

+

/

/

=

uv

u

v

uv

y \

+

–

y

x

-17

Ответ: -17

7. Найдите точку минимума функции

+

–

y \

y

x

0

4

Ответ: 4

8. Найдите точку максимума функции

–

+

y \

y

x

0

9

Ответ: 9

9. Найдите точку максимума функции

+

–

y \

–

+

y

x

0

-17

17

Ответ: 17

10. Найдите точку максимума функции

y = ln(9x+10) – 9х

)

(

1

/

lnx

=

x

y \

+

–

y

x

10

-1

–

9

Ответ: -1

11. Найдите точку минимума функции

)

(

/

+

/

/

=

u

uv

uv

v

+

y \

–

–

y

x

-1

-3

Ответ: -3

• Найдите наименьшее значение функции

y = 3x 2 – 2x 3 + 1 на отрезке [-4;0]

Алгоритм

1. Найти f ′ (x)

у′=6х-6х 2

2. Найти стационарные ( f′(x)=0 ) и критические точки ( f′(x) не существует ) лежащие внутри отрезка [а;b]

6х-6х 2 =0

3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2)

4. Выбрать наименьшее значение (у min )

6х(1-х)=0

у (-4)=3∙16-2∙(-64)+1=177

y min =1

у (0) =3∙0-2∙0+1=1

х=0 или х=1

Критических точек нет

Ответ: 1

Реши самостоятельно!

Проверь себя :

2. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [1;3]

у(1)=-1

у(3)=-3

у(2)=0

Ответ: 0

Реши самостоятельно!

Проверь себя :

3. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [-2;2]

)

(

/

+

/

/

=

v

uv

u

uv

у(-2)=-5

у(2)=-25

у(1)=-32

Ответ: -32

Реши самостоятельно!

)

(

/

+

/

/

=

uv

u

v

uv

4. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [-1;7]

Проверь себя :

у(-1)=-242

у(7)=54

у(4)=108

Ответ: 108

5. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [2;8]

Стационарные точки х=-4;4

Критическая точка х=0

Ответ: 8

Реши самостоятельно!

6. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [-14;-1]

Проверь себя :

х=-7, х=7, х≠0

у(-14)=-10,5

у(-1)=-43

у(-7)=-7

Ответ: -7

Реши самостоятельно!

7. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [-10;-1]

Проверь себя :

у(-10)=-75

у(-1)=-201

у(-5)=-25

Ответ: -25

5. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [-4;4]

Стационарная точка х=-8,5

Критическая точка х=-5

Ответ: 11

Использован материал рабочей тетради С.А. Шестакова «ЕГЭ 2012. Математика. Задача В14. Исследование функции»