Использование монотонности функции при нахождении наибольшего и наименьшего значений

№ 315127. Найдите наименьшее значение функции  у = е 2х – 6е х + 3 на отрезке  [1; 2] .

Решение (c использованием монотонности):

t(x) = е х монотонно возрастающая , t Є [е; е 2 ]

y(t) = t 2 – 6t + 3 парабола, ветви которой направлены вверх, в этом случае

наименьшее значение в вершине при

, получаем t 0 = 3, t 0 Є [е; е 2 ].

Наименьшему значению аргумента t = е х = 3 соответствует наименьшее значение функции у(3) = 9 – 18 + 3 = – 6.

Ответ. – 6

0 4) х = –15 точка минимума и единственная на всей области определения функции, значит в ней будет минимум функции и соответственно наименьшее значение у(–15) = 5 225 – 450 + 229 = 5 4 = 625. – + y’(х) -15 у(х) " width="640"

№ 287513. Найдите наименьшее значение

функции y(х) = 5 x 2 + 30x + 229 .

.

Решение по алгоритму:

• y’(х) = 5 x 2 + 30x + 229 ln5( х 2 + 30х + 229)’ =

= 5 x 2 + 30x + 229 ln5 (2x + 30)

• 5 x 2 + 30x + 229 ln5 (2x + 30) = 0 только при 2х + 30 = 0, х = –15

3) у’(–20) = (– 40 + 30) . 5 400 – 600 + 229 ln5 = – 10 . 5 29 ln5

y’(0) = 30 . 5 0 – 0 + 229 ln5 = 30 . 5 229 ln5 0

4) х = –15 точка минимума и единственная на всей

области определения функции, значит в ней будет

минимум функции и соответственно наименьшее

значение у(–15) = 5 225 – 450 + 229 = 5 4 = 625.

–

+

y’(х)

-15

у(х)

№ 287513. Найдите наименьшее значение

функции y(х) = 5 x 2 + 30x + 229 .

.

Решение (c использованием монотонности):

у = 5 t монотонно возрастающая

t(х) = х 2 + 30х + 229 парабола, ветви которой

направлены вверх и в этом случае наименьшее

значение в вершине при

х 0 = -15, t(-15) = (-15) 2 + 30 . (-15) + 229 = 4.

Наименьшему значению аргумента

t = 4 соответствует наименьшее значение функции у(4) = 5 4 = 625.

Ответ. 625

0 y’(0) = -12 . 9 –34 ln9 4) х = –6 точка максимума и единственная на всей области определения функции, значит минимум функции и соответственно наименьшее значение у(–6) = 9 – 34 + 72 – 36 = 9 2 = 81. – + y’(х) -6 у(х) " width="640"

№ 287605. Найдите наибольшее значение

функции y(х) = 9 - 34 - 12х - x 2 .

.

Решение по алгоритму:

1) y’(х) = 9 - 34 - 12х - x 2 ln9(- 34 -12х -x 2 )’ = 9 -34 -12х - x 2 ln9 (-12-2x )

2) 9 -34 -12х - x 2 ln9 (-12-2x ) = 0 только при -12-2x = 0, х = -6

3) у’(-10) = (-12 + 20) . 9 -34 +120 – 100 ln9= 8 . 9 -14 ln9 0

y’(0) = -12 . 9 –34 ln9

4) х = –6 точка максимума и единственная на всей

области определения функции, значит минимум функции и соответственно наименьшее

значение у(–6) = 9 – 34 + 72 – 36 = 9 2 = 81.

–

+

y’(х)

-6

у(х)

№ 287605. Найдите наибольшее значение

функции y(х) = 9 – 34 – 12х – x 2 .

.

Решение (c использованием монотонности):

у = 9 t монотонно возрастающая

t(х) = – 34 – 12х – x 2 парабола, ветви которой

направлены вниз и в этом случае наибольшее

значение в вершине параболы при

х 0 = – 6, t(– 6) = – 34 – 12 . (– 6) – 36 = – 70 + 72 = 2.

Наименьшему значению аргумента

t = 2 соответствует наименьшее значение функции у(2) = 9 2 = 81.

Ответ. 81

0 t (х) = 4 – 2х – х 2 парабола, ветви которой направлены вниз и наибольшее значение в вершине при х 0 = – 1, t (– 1) = 4 – 2(–1) – (–1) 2 = 4 + 2 – 1 = 5 0 Наибольшему значению аргумента t = 5 соответствует наибольшее значение у(5) = log 5 5 + 3 = 1 + 3 = 4 . Ответ. 4 " width="640"

№ 245180. Найдите наибольшее значение

функции y(х) = log 5 (4 – 2x – x 2 ) + 3.

.

Решение (c использованием монотонности):

y(t) = log 5 t + 3 монотонно возрастает при t 0

t (х) = 4 – 2х – х 2 парабола, ветви которой

направлены вниз и наибольшее значение в

вершине при

х 0 = – 1,

t (– 1) = 4 – 2(–1) – (–1) 2 = 4 + 2 – 1 = 5 0

Наибольшему значению аргумента t = 5

соответствует наибольшее значение

у(5) = log 5 5 + 3 = 1 + 3 = 4 .

Ответ. 4

0 Наибольшему значению аргумента t = 9 соответствует наибольшее значение у(9) = Ответ. 3 " width="640"

№ 245176. Найдите наибольшее значение

функции y(х) = .

.

Решение (c использованием монотонности):

y(t) = монотонно возрастает при t ≥ 0

t (х) = 5 – 4х – х 2 парабола, ветви которой

направлены вниз и наибольшее значение в

вершине при

х 0 = – 2,

t (–2) = 5 – 4(–2) – (–2) 2 = 5 + 8 – 4 = 9 0

Наибольшему значению аргумента t = 9

соответствует наибольшее значение

у(9) =

Ответ. 3

Задания открытого банка ЕГЭ профильного

уровня (mathege.ru):

№ 315731. Найдите наименьшее значение функции  у = е 2х – 2е х + 9  на отрезке  [ – 1; 1] . № 287508. Найдите наименьшее значение функции y(х) = 7 x 2 + 18x + 82 . № 245179. Найдите наименьшее значение функции y(х) = log 3 (x 2 – 6х +10) + 2. № 245175. Найдите наименьшее значение функции y(х) = .

Задания открытого банка ЕГЭ профильного

уровня (mathege.ru):

№ 245184. Найдите наибольшее значение функции y(х) = 3 – 7 – 6х – x 2 . № 287211. Найдите наибольшее значение функции y(х) = log 4 ( – 36 – 20х – x 2 ) – 7. № 286826. Найдите наибольшее значение функции y(х) = .

Ответы.

№ 315731. 8 № 287508. 7 № 245179. 2

№ 245175. 2 № 245184. 9 № 278211. - 4

№ 286826. 11