«Использование моделей в обучении решению задач».

Методическая разработка

«Использование моделей

в обучении

решению задач».

Содержание.

Введение................................................................................................... 3-4

Глава I. Теоретические основы использования моделирования

в процессе обучения.

1.1. Понятие математической модели и моделирования ……… 5-7

1.2. Моделирование в методике решения текстовых задач….. 8-11

Глава II. Методико-математические основы использования моделирования.

2.1.Приемы моделирования в процессе решения текстовых

задач.……………………………………………………………. .. . 12

2.2. Практический опыт использования моделей при решении

текстовых задач при подготовке к ЕГЭ .…………….. …. 13-23

Заключение…………………………………………………………… 24

Список литературы…………………………………………… ……. 25-26

Приложение………………………………………………………….. . 27-32

Введение.

Актуальность.

Процессы модернизации в системе образования потребовали пересмотра целевых установок в определении образовательных результатов обучающихся. Цели образования на сегодняшний день перестают выступать в виде суммы «знаний, умений и навыков», которыми должен владеть выпускник школы 21 века, а предстают в виде характеристики сформированности его личностных, социальных, познавательных и коммуникативных способностей. Традиционная парадигма «человек знающий» заменяется парадигмой «человек, подготовленный к жизнедеятельности». В свете новой парадигмы образования складывается концепция государственных образовательных стандартов 2-го поколения, приоритетным направлением которых является реализация развивающего потенциала образования. Необходимо убеждать учеников в том, что лишь при наличии активной позиции, при изучении математики, при условии приобретения практических умений, навыков и их использования, можно рассчитывать на реальный успех.

Именно поэтому сегодня я переосмысливаю свой педагогический опыт и ставлю перед собой вопросы: Как обучать детей? Как формировать умение учиться? Что значит уметь учиться? Как помочь устранить некоторые пробелы в знаниях учащихся и предостеречь их от возможных ошибок на ЕГЭ? Опыт показывает, что многие школьники испытывают трудности с составлением уравнений для решения текстовых задач B13. Для того чтобы научиться решать задачи на движение, задачи на работу и задачи на растворы, сплавы, проценты и доли, надо приобрести опыт их решения. Умение решать подобные задачи является ключевым при подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Целью данной методической разработки является углубление знаний по математике и ознакомление с различными вспомогательными моделями, используемыми при решении текстовых задач учащихся 11-х классов при подготовке к ЕГЭ, разработка методических рекомендаций для учителя по обучению учащихся решению текстовых задач, приложений, содержащих теоретические сведения и подборку текстовых задач В 13.

Задачи:

-изучить научную, методическую литературу по данному вопросу;

-пополнить теоретические знания учащихся о текстовой задаче,

познакомив с понятиями «модель» и «моделирование»;

-систематизировать приемы моделирования, разработать методические рекомендации по использованию разных моделей при решении задач и применять их в учебном процессе;

-совершенствовать у учащихся умения и навыки решать текстовые задачи;

-изыскать психологические и методологические возможности, которые сделают доступным для учащихся уровень усвоения учебного материала при меньшей затрате времени и с большей эффективностью.

Объект исследования: учебная деятельность выпускников школы на уроках математики при рассмотрении решений текстовых задач В 13 в рамках подготовки к ЕГЭ.

Предмет: моделирование как средство обучения решению задач.

Контингент: учащиеся 11-х классов МБОУ « Балтасинская гимназия» Балтасинского района Республики Татарстан..

Гипотеза: использование моделирования способствует формированию умения решать текстовые задачи.

При написании данной работы были использованы и проанализированы научная, методическая литература, справочные материалы.

1. Понятие математической модели и моделирования.

Прикладная направленность обучения предусматривает овладение школьниками математическими методами познания действительности, одним из которых является метод математического моделирования.

"Метод математического моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект". [18]

Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений.

Математическая модель - это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. "Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближённым отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта". [17] Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: “Модель - это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет". В настоящее время построение, исследование и приложение математических моделей является, можно сказать, основным предметом деятельности математиков.

Поэтому и в школьном курсе математики, прежде всего при решении учебных математических задач, моделированию, особенно алгебраическому и аналитическому, следует уделить должное внимание. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности..

Функции и цели обучения математическому моделированию в школе.

Можно условно выделить следующие дидактические функции математического моделирования:

Познавательная функция.

Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.

Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала.

Функция управления деятельностью учащихся.

Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

Интерпретационная функция.

Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары объектов (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, а также с помощью рисунка или чертежа. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других - геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

Можно также говорить об эстетических функциях моделирования, а также о таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т.д.

Использование различных функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности. [14].

1.2.Моделирование в методике решения текстовых задач.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Богатые возможности для развития интереса к математике, логического мышления открывает система работы над текстовыми задачами методом моделирования. Модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи.

«В школьных учебниках, к большому сожалению, нет целостной системы в обучении методике решения текстовых задач. В основном, учащиеся знакомятся с алгоритмами решения уравнений, неравенств, а также их систем. Текстовые задачи предлагаются весьма элементарного содержания с одним – двумя условиями. К сожалению, после начальных классов учащиеся перестают решать задачи с помощью прямых рассуждений и переключаются на алгебраические методы, которые из-за постепенно усложняемого аппарата ограничивают текстовый задачный материал одним-двумя условиями. По настоящему язык алгебры получает преимущество после знакомства с алгоритмами решения квадратных уравнений в 8 классе, т.е. два года оказываются потерянными в плане развития логического мышления на сложных текстовых задачах с большим числом условий». [11]

Первое место по частоте применения занимает понятие скорости сближения, которое оказывается очень полезным в задачах на «движение». Напомним, что к задачам на «движение» относятся многие задачи на производительность, на бассейны и т.п. Интересно заметить, что хотя с понятием скорости сближения учащиеся знакомятся еще в начальных классах, но в следующих классах они забывают об этом, так как в задачах на составление уравнений из учебников не возникает необходимости в использовании этого понятия. В этом случае необходимо их заново познакомить с этим понятием на примере двух случаев одновременного движения: а) встречного движения; б) движения в одном направлении. Выражение для времени, когда два движущихся объекта со скоростями v₁ и v₂ после начала движения оказываются в одной точке, содержат в знаменателе сумму или разность v₁ и v₂, называемую скоростью сближения V=v₁+v₂ или V=v₁-v₂ (случаи а) и б) на рис). Всегда полезно давать и арифметическое толкование скорости сближения – это арифметическая сумма или разность расстояний, пройденных обоими объектами в единицу времени.

АС₌v₁ t ВС=v₂ t

_{А В С t= }

S=(v₁₊v₂)t

рис.1

_{б )} АС₌v₁ t

_{А В} ВС=v₂ t _{С t= }

_рис.2

В любой текстовой задаче на «движение» всегда целесообразно дать рисунок, подобный вышеприведенному. Иногда детализация рисунка помогает ввести вспомогательную переменную, которую потом уже нетрудно исключить из полной системы уравнений. Желательно, особенно в 9 классе, когда изучается физическая механика, вводить «физические» обозначения неизвестных: S-расстояние, v, u –скорости, t-время, V-объем, m, M-масса и т.п.. В любом случае первой неизвестной должны быть та величина, которую требуется определить. Иногда полезным оказывается введение промежуточной переменной k=v/u, являющейся отношением подобных величин, например - скоростей. Такой прием оказывается эффективным и в чисто алгебраическом плане: подбирается такая комбинация уравнений из составленной системы, которая приводит к однородному уравнению с двумя неизвестными.

Например, систем уравнений с двумя неизвестными _{ }

_{ } решается очень громоздко, если одну из двух переменных выразить через другую с последующей подстановкой. Но заметим, левые части однородны по _{ ;} если положить _{ =}k_{ } , то сразу получаем после сокращения на _{ }несложное уравнение по k:

_{  (k-1)(3k}²_+4k-1)=0 .

Всегда полезно напоминать учащимся, что при одновременном движении пройденные расстояния прямо пропорциональны скоростям: S₁/S₂=v₁/v₂, а при движении на одно расстояние – времена обратно пропорциональны скоростям:t₁/t₂=v₂/v₁. Вообще при анализе условия задачи необходимо сразу выделять такие стандартные ситуации, как одновременное движение, движение на одно расстояние, движение по течению реки или против течения реки.

Кроме этого учащиеся должны четко представлять, как от процентного содержания перейти к абсолютному содержанию чистого вещества и обратно. Пусть, например, вещества с массами m, M и с процентным содержанием чистого вещества x и y, соответственно, смешиваются, тогда новое количество вещества m+M будет иметь новое процентное содержание, равное (хm+уM)/(m+M). Наконец, желательно, познакомить с такой типовой задачей, имеющей приложения в химии, биологии , экономике и других областях: начальное число _{ 0} увеличивается каждый раз на 30%, чему будет равно число а₁₀ после десятикратного увеличения? Чаще и ошибочно рассуждают, что к моменту десятикратного увеличения прирост составит 300% и число увеличится в 4 раза. На самом деле правильный ответ:

а₁₀₌(1+0,3)¹⁰_{ 0} =1,3¹⁰ _{ 0 }13_{ 0},т.е. увеличится в 13 раз!

2.1. Приемы моделирования в процессе решения текстовых задач.

Прежде чем мы приступить к разбору конкретных текстовых задач B13, посмотрим, какие вообще существуют подходы к их решению. Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, чертежи, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы и т. д. Наиболее распространенный и, надо сказать, довольно эффективный способ — использование таблиц. В зависимости от типа решаемой задачи (будь то задача на движение, работу, сплавы, растворы и проценты) столбики в этой таблице будут иметь разные названия.

Таблица 1

Почему использование таких таблиц упрощает решение текстовых задач B13 на составление уравнений? Просто потому, что это удобно. Данные таблицы позволяют в наглядном и понятном виде записать условие задачи и провести его анализ для составления уравнения. Разберем это на конкретных примерах.

3.2.Практический опыт использования моделей при решении текстовых задач при подготовке к ЕГЭ.

Текстовые задачи B13 на движение

Пример 1. Из пунктов A и B одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль двигался в 2 раза быстрее второго и приехал в пункт B на 1 час раньше, чем второй приехал в пункт A. На сколько минут раньше встретились бы автомобили, если бы скорость второго автомобиля была равна скорости первого?

Решение. Рассмотрим как заполняется таблица в данной задаче. Первое предложение: «Из пунктов A и B одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля.» Речь идет о двух автомобилях, значит наша таблица будет выглядеть следующим образом:

Таблица 2.

Второе предложение: «Первый автомобиль двигался в 2 раза быстрее второго и приехал в пункт B на 1 час раньше, чем второй приехал в пункт A.» В данном предложении содержатся данные, которые нужно занести в соответствующие ячейки нашей таблицы. Фраза «он (первый автомобиль) приехал в пункт B на 1 час раньше, чем второй приехал в пункт A» означает, что время движения первого автомобиля было на 1 час меньше, чем второго. Попутно мы осознаем, что оба автомобиля проехали одинаковое расстояние, которое можно обозначить за 1. Заносим эти данные в таблицу, и она принимает вид:

Таблица 3.

Для решения задачи нам нужно составить уравнение, следовательно, необходимо что-то обозначить за х. Формально за можно обозначить что угодно из того, что не известно. Задача в любом случае будет иметь решение. Просто при неудачном выборе возрастет сложность вычислений, а, соответственно, и вероятность ошибки. Наиболее простым уравнение получится в том случае, если за х здесь обозначить скорость второго автомобиля.

Если скорость второго автомобиля х, то скорость первого автомобиля 2х, поскольку по условию она в 2 раза больше. Чтобы найти время движения, нужно расстояние разделить на скорость. То есть время движения второго автомобиля равно _{ } а время движения первого равно _{ } . Заносим все эти данные в таблицу:

Таблица 4.

Теперь написать уравнение для решения задачи не должно составить труда. Используем условие, что время движения первого автомобиля на 1 час меньше, чем второго:

То есть скорость движения второго автомобиля равна _{ } условных единиц в час. Тогда скорость движения первого автомобиля равна 2_{ } условная единица в час.

Напомню, что нам нужно определить: «На сколько минут раньше встретились бы автомобили, если бы скорость второго автомобиля была равна скорости первого?» Теперь, когда мы знаем скорости каждого автомобиля, мы без труда сможем ответить на этот вопрос.

Если бы второй автомобиль ехал с той же скорость, что и первый, то есть со скоростью 1 условная единица в час, то встреча произошла бы на середине пути через часа. Здесь 1 — полное расстояние, (1 + 1) — скорость сближения автомобилей.

На самом же деле встреча произошла через часа. Здесь, аналогично, 1 — полное расстояние, — скорость сближения автомобилей. То есть реально автомобили встретились позже на часа или на 10 минут. Ответ: 10 минут.

Текстовые задачи B13 на работу

Пример 2. Писатель собрался напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы он печатал на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то смог бы завершить работу на 3 дня раньше. Какое количество страниц в день запланировал печатать писатель?

Решение. Читая условие, понимаем, что в задаче рассматриваются две ситуации: запланированная и произошедшая. Следовательно, наша таблица будет иметь следующий вид:

Таблица 5.

Повторно читаем условие: «Писатель собрался напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы он печатал на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то смог бы завершить работу на 3 дня раньше».

Скорость работы — это тот объем работы, который выполняется за единицу времени, в нашем случае — за один день. Следовательно, информация, содержащаяся в высказывании «печатая на 5 страниц в день больше, чем запланировал», относится, очевидно, к фактической скорости работы.

Время работы — это то количество дней, которое понадобятся для выполнения всей работы. Следовательно, данные, содержащиеся в высказывании «он смог бы завершить работу на 3 дня раньше (чем запланировал)» относится к времени работы, причем к фактическому.

Общий же объем работы не зависит от планов нашего писателя и равен в том и в другом случае тремстам страницам. Заносим все эти данные в таблицу, и она в результате принимает вид:

Таблица 6.

Что здесь удобнее всего обозначить за То, что требуется найти, то есть скорость работы по плану. Так и сделаем. Раз скорость работы по плану равна то фактическая скорость работы равна потому что она по условию на 5 страниц в день больше.

Чтобы найти время работы, нужно общий объем работы разделить на скорость работы. То есть время работы по плану равно а фактическое время работы равно Снова занесем эти данные в таблицу, в результате чего она примет вид:

Таблица 7.

Теперь составить уравнение для решения задачи уже несложно. Используем то условие, что по факту работа была выполнена на 3 раньше запланированного срока. То есть запланированное время работы минус фактическое время работы равно трем дням:

Понятно, что отрицательный вариант нам не подходит. Итак, нас спрашивали: «Какое количество страниц в день запланировал печатать писатель?» Теперь мы можем ответить на этот вопрос. Наш писатель запланировал печатать по 20 страниц в день. Ответ: 20.

Текстовые задача B13 на проценты

Пример 3. В понедельник акции поднялись в цене на некоторое количество процентов, а во вторник упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости. На сколько процентов подешевели акции во вторник?

Решение. Итак, в понедельник акции поднялись в цене, во вторник — упали в цене. Для решения задачи нам потребуется таблица, содержащая помимо шапки две строки (для понедельника и вторника соответственно). То есть эта таблица будет иметь следующий вид:

Таблица 8.

Вопрос задачи: «На сколько процентов подешевели акции во вторник?» На это же количество процентов они подорожали в понедельник. Это мы и обозначим на неизвестную величину Поскольку нам не известна стоимость акций на момент открытия торгов в понедельник, примем ее за 1. Это никак не отразится на результате, ведь нам нужно определить лишь процентное изменение.

Итак, «в понедельник акции поднялись в цене на некоторое (в наших обозначениях ) количество процентов». Следовательно, после повышения их стоимость составила Заносим эту информацию в нашу таблицу.

Для тех, кому не понятно, откуда получилась такая формула, простой пример. Допустим футболка стоила 100 руб., потом ее цена увеличилась на 20%. Сколько стала стоить футболка? Каждый без труда ответит, что 120 руб. А как вы получили это значение? Умножили 100 на 1,2. А откуда вы взяли число 1,2? Из дроби где 20% — процент, на который повысилась стоимость футболки.

Таблица 9.

Идем далее. «Во вторник упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости». Итак, во вторник цена упала на процентов. Следовательно, новая цена стала равна Кому не понятно предлагается прочитать еще раз пример с футболкой, описанный выше. При этом известно, что окончательная цена оказалась на 4% меньше первоначальной, равной 1, то есть 0,96. Заносим эти данные в таблицу, после чего она принимает вид:

Таблица 10.

Теперь составить уравнение для решения задачи уже легко:

По смыслу задачи нам подходит только положительный ответ. Ответ: 20.

Текстовые задачи B13 на сплавы

Пример 4. Содержание меди в первом сплаве — 10%, содержание меди во втором сплаве — 40%. Второй сплав весит на 3 кг больше первого. Сплавив первые два сплава, получили третий сплав, содержание меди в котором оказалось 30%. Вычислите массу третьего сплава. Запишите ответ в килограммах.

Решение. В задаче рассматриваются два сплава и третий сплав, состоящий из первых двух. Следовательно, в нашей таблице кроме шапки будет еще три строки (по одной на каждый из сплавов). То есть она будет иметь следующий вид:

Таблица 11.

Читаем еще раз условие: «Содержание меди в первом сплаве — 10%, содержание меди во втором сплаве — 40%. Второй сплав весит на 3 кг больше первого. Сплавив первые два сплава, получили третий сплав, содержание меди в котором оказалось 30%.» Все данные из условия заносим в соответствующие ячейки таблицы. Я думаю, вам не составит особого труда сделать это самостоятельно:

Таблица 12.

Кажется, что в этой задаче удобнее всего за обозначить массу первого сплава. Тогда масса второго сплава будет А что такое «концентрация»? В данном случае под концентрацией понимается отношение массы вещества в сплаве к общей массе сплава. Следовательно, чтобы найти массу вещества (меди), нужно массу сплава умножить на соответствующую концентрацию, выраженную в виде десятичной дроби. Тогда содержание меди в первом сплаве равно а содержание меди во втором сплаве равно

Масса общего сплава, очевидно, будет равна сумме масс каждого из первоначальных сплавов, то есть Масса меди в общем сплаве тоже, очевидно, будет равна сумме масс меди в первом и во втором сплаве, то есть Вносим все эти данные в таблицу, и она принимает вид:

Таблица 13.

Еще раз, концентрация — это отношение массы вещества в сплаве к массе сплава. Следовательно, чтобы узнать концентрацию получившегося сплава, нужно общую массу меди в третьем сплаве поделить на общую массу третьего сплава При этом из условия известно, что эта концентрация равна 30%. То есть уравнение для решения данной текстовой задачи B13 на сплавы будет иметь вид:

кг.

Это масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна к г. Читаем вопрос задачи: «Вычислите массу третьего сплава. Запишите ответ в килограммах». Теперь мы располагаем достаточным количеством информации, чтобы дать правильный ответ. Масса третьего сплава равна кг. Ответ: 9.

Рассмотрим вариант решения типовой задачи повышенной трудности, решенный разнообразными способами решения задач.

Рассмотрим решение задач на движение с использованием рисунка.

Задача №1 Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки?

v 3v

_{А С v Д В}

5v

рис.3

Очевидно, что до встречи катер проплывет расстояние в 3 раза больше, чем плот, так как их скорости различаются на этом интервале времени в отношении v_1/ v₂ =(4v-v)/ v=3. Значит к моменту встречи плот пройдет ¼ часть пути от А до В: АС=АВ/4. Обратный путь СВ проедет быстрее в отношении (4v+v)(4v-v)=5/3, тогда как плот проплывет за это же время 3/5 первоначального пути;СД=3/5_{ } АВ=3/20 _{ } АВ. Всего плот пройдет расстояние: 1/4АВ+3/20АВ=2/5АВ, т.е. 2/5 всего пути от А до В.

П вариант решения (арифметический способ).Положим время, необходимое плоту на весь путь от А до В, равным 1. Тогда катеру, чтобы доплыть из В в А хватит 1/3, а обратно уже 1/5, в сумме 1/3+1/5=8/15 всего времени плота. Очевидно, катер за все время проплыл лишь ¾ всего пути туда и обратно между А и В, катер затратил 8/15_{ } 3/4=2/5 полного времени плота из А в В. Так как по условию задачи движение было одновременным, то плот за то же время проплыл 2/5 всего пути.

Заключение.

В процессе работы над методической разработкой были получены следующие результаты:

-определены понятия "модель" и "математическое моделирование",-выделены основные идеи и этапы метода математического моделирования;

-выделены дидактические функции преподавания математического моделирования в школе;

-обосновано значение изучения элементов математического моделирования;

-выделены основные действия, характерные для этапов формализации и интерпретации, и разработана методика применения метода моделирования в процессе решения текстовых задач при подготовке учащихся к ЕГЭ.

Результаты проведенной работы позволяют сделать следующие выводы:

-включение моделирования в содержание учебных предметов необходимо для ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий модели и моделирования, овладением моделированием как методом научного познания и решения практических задач;

-следует включить изучение элементов математического моделирования на ранних этапах обучения, т.е. уже в 5 - 6 классах или ещё раньше. Это обосновано тем, что у учащихся создаются предпосылки для более осознанного изучения математики, формирования прикладного стиля мышления и повышения интереса к самой науке математике

Список литературы.

1. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании. // Математика в школе, 1993, №4.

2. Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: Просвещение, 1987.

3. Болтянский В.Г., Пашкова Л.М. Проблема политехнизации курса математики. // Математика в школе, 1985, №5.

4. Возняк Г.М. Прикладные задачи в мотивации обучения. // Математика в школе, 1990, №2.

5. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М.: Просвещение, 1985.

6. Дорофеев Г.В., Тараканова О.В. Постановка текстовых задач как один из способов повышения интересов учащихся к математике. // Математика в школе, 1988, №5.

7. Интернет-ресурсы.

8. Канин Е.С. Аналитическое моделирование текстовых задач. // Функции задач в обучении математике. - Киров - Йошкар-Ола, 1985.

9. Канин Е.С. Учебные математические задачи. - Киров: Издательство ВятГГУ, 2004.

10. Концепция федеральных государственных образовательных стандартов общего образования (Стандарты второго поколения). - М.: Просвещение, 2009, с. 28.

11.Куканов М.А. Моделирование в решении задач.-Волгоград.:Учитель,2009г.

11. Лысенко Ф.Ф, Кулабухова С.Ю. Математика.Подготовка к ЕГЭ-2013.Ростов-на-Дону:Легион,2012.

13. Новикова Л. Ю. Об усвоении учащимися некоторых понятий школьного курса математики. Модернизация содержания школьного образования: проблемы, решения, перспективы // Мат-лы Всерос. конф. Томск: Изд-во Том. гос. пед. ун-та, 2003. С. 126–130.

14. Практикум по преподавания математики в средней школе. Под ред.В.И. Мишина. - М.: Просвещение, 1993.

15. Серикбаева В. Межпредметные связи как одно из важнейших средств формирования мировоззрения учащихся. // Современные проблемы методики преподавания математики. - М.: Просвещение, 1985.

16. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1990

17.Тесленко И.Ф. Формирование диалектико-материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики. - М.: Просвещение, 1979.

18. Тикина Г.П. Методические вопросы использования задач как средства формирования познавательного интереса к математике. // Функции задач в обучении математике. - Киров - Йошкар-Ола, 1985.

19. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. - М.: Наука, 1979.

20. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: От действия к мысли . Система заданий. Пособие для учителя / Под ред . А . Г . Асмолова .

21. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1984.

22. ЯщенкоИ.В., Семенова А.Л. Математика.Типовые экзаменационные материалы.2013. Москва-Национальное образование,2012.

Приложение.

Текстовые задачи для самостоятельного решения с использованием таблиц.

1. Из порта A в порт B отправился катер. Одновременно с ним из порта B в порт A отправилась моторная лодка. Катер прибыл в порт B на 2 часа быстрее, чем моторная лодка прибыла в порт A, а их встреча произошла через 45 минут после начала движения. Сколько часов двигалась моторная лодка из порта B в порт A?

Ответ: 3.

1. Время наполнения резервуара одной трубой на 22 минуты больше, чем второй. Если обе трубы будут работать вместе, они наполнят резервуар за один час. Сколько времени потребуется для наполнения резервуара одной второй трубой?

Ответ: 110

1. Цена покупки со скидкой в 4% составила 1152 рубля. Сколько стоила бы покупка без предоставления скидки?

Ответ: 1200.

1. После смешивания 4-х литров 15-процентного раствора вещества с таким же объемом 19-процентного раствора этого же вещества получили третий раствор. Вычислите концентрацию получившегося раствора.

Ответ: 17.

Приложение

(теоретический материал)

Задачи на движение по реке. (Закон сложения скоростей)

Основные величины, характеризующие движение лодки (катера, теплохода и т.п.) по реке:

1. Скорость течения реки r;

2. Собственная скорость речного транспорта (скорость в стоячей воде – например, на озере) v_собс;

3. Расстояние или путь S;

4. Время движения t.

Закон сложения скоростей.

1. Движение по течению реки: скорость движения речного транспорта по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки: v= r + v_собс;

2. Движение против течения реки: скорость движения речного транспорта против течения реки равна разности скоростей v_собс и скорости течения реки r.

При проверке решения уравнения необходимо учесть, что собственная

скорость лодки не может быть меньшей или равной скорости

течения реки.

Задачи на концентрацию и процентное содержание.

В этих задачах речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей нескольких веществ.

Величины, характеризующие эти процессы:

• Объем компонентов А; В; С V_А V_В V_С;

• Объем смеси: V₀ = V_А + V_В + V_С;

• Доли компонентов в объеме смеси: d_А= V_А / V₀ ; d_В= V_В / V₀; d_С= V_С / V₀ – объемная концентрация;

• Объемное процентное содержание компонент в процентах: Р_А= d_А∙100% Р_В= d_В∙100% Р_С= d_С∙100%

Основные допущения, принимаемые в подобных задачах:

• Все получаемые смеси и сплавы однородны;

• Если смешать два раствора, то объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов, (на самом деле на практике это не всегда выполняется);

• Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

Задачи на работу

Основные величины, характеризующие работу:

1. Производительность труда (количество изделий, выпускаемых в единицу времени) Р;

2. Время, в течение которого выполнялась работа t;

3. Конечный объем работы А.

Виды задач на работу

1. Один исполнитель одного и того же объема работы, но с разной производительностью.

2. Два или более исполнителей одного объема работы. В условии задачи дана зависимость производительности одного из рабочих от производительности другого. Работа идет одновременно.

3. Один и тот же объем работы выполняют два и более исполнителей поочередно, или с наложением.

4. Один и тот же объем работы выполняется в одном случае каждым исполнителем в отдельности, в другом – всеми исполнителями одновременно. В таких задачах объем всей работы обычно не указывается, или его нельзя вычислить, поэтому его принимают за единицу. Также не указывается и производительность труда каждого исполнителя, а выдается время исполнения работы каждым исполнителем в отдельности и всеми вместе. Тогда исполнитель, выполняющий работу за t часов, за 1 час выполнит 1/t часть работы. Весь объем работы в этом случае берем равным единице А=1.

Зависимость между величинами, характеризующими работу:

А= р∙ t

Объем работы равен произведению производительности и времени, в течение которого выполнялась эта работа.

Задачи на движение

Основные величины, характеризующие движение: скорость v; время t; путь S; расстояние между объектами R, скорость приближения или отдаления объектов друг от друга.

Виды задач на движение

1. З

   v₁

   v₂

   
   
   

   адачи на встречное движение

А

В

1. l

2)Задачи на движение из одного пункта в противоположных направлениях:

v₁

v₂

Рис.2

l

1. Задачи на движение в одном направлении

v₁

l

v₂

Зависимость между величинами:

Проценты

1. Число А увеличили на р%, затем полученное число уменьшили на р%

А(1+ _{ })

А(1+_{ })( 1- _{ })=А(1- _{ }) Результат не изменится, если увеличение последует за уменьшением.

1. Число А увеличили на р%: А(1+_{ })

На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы снова получить число А? Пусть процент уменьшения равен у%, тогда условие задачи можно записать в виде:

А (1+ _{ }) - А(1+ _{ }) ∙ _{ }= А (1+ _{ }) ∙ (1- _{ }) = 1 1- _{ } = _{   } = _{ } у= _{ }.

Ответ: у= _{ } .

Сложные проценты

Пусть денежный вклад _{ } через год возрастает на р%, Тогда к концу года вклад станет равным: А₁= _{   } = _{ } ∙ (1+ _{ } ) руб. Еще через год: А₁= _{ } ∙ (1+ _{ } ) + _{ } ∙ (1+ _{ } )∙_{ } = _{ } ∙ (1+ _{ } ) ∙(1+ _{ } ) = _{ } ∙ (1+ _{ } )² руб. Через п лет:

*

Формулы сложных процентов

 

 

А_п = _{ } ∙ (1- _{ } )^п – п понижений

Приложение

(по материалам ЕГЭ)

Подборка упражнений

Задачи на “Сложные проценты”

1. На сколько процентов снизилась производительность труда, если для выполнения плана пришлось увеличить рабочий день с 7ч до 8ч? ( 7=8∙(1-_{ }). Ответ: на 12,5%)

2. Рабочий день уменьшился с 8ч до 7ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках зарплата выросла на 12%? ( Решение: 8(1+ _{ }) = 7(1+ _{ } ), 8+ _{ } = 7+ _{ }, Ответ: р = 28%.)

3. Из молока, жирность которого 5%, изготавливают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится от 1т молока? (Решение: 15,5х + 0,5(1000-х) = 500, 15х = 4500, х = 300. Ответ 300кг.)

4. Две шкурки ценного меха общей стоимостью 8000р были проданы на аукционе с прибылью 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 50%, а от второй – 20%? (Решение: 0,5х+0,25(8000-х) = 0,4∙8000, 0,5х+200 – 0,25х = 3200, 0,25х = 1200, х = 4800. Ответ: 4800р. и 3200р.)

5. Имеется два сорта молока жирностью 3,5% и 1,5%. Сколько молока каждого сорта нужно взять, чтобы получить 10л молока жирностью 3%? (Ответ: 7,5л и 2,5л.)

6. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплаты сумма в 100р обратилась в 125,44р. Определите, на сколько процентов повышалась каждый раз зарплата? ( По формуле * из А_п = 125,44; А₀= 100 и п= 2 имеем: (1+ _{ } )^п = _{ }; (1+ _{ } )² = 125,44; 1+ _{ } + _{ } = 1,2544, р²+200р -2544 = 0, р₁ = 12, р₂ = -212. Ответ: 12%)

7. Вкладчик на свои сбережения получил через год 15р начисления процентных денег. Добавив ещё 85р, он оставил деньги ещё на год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 420р. Какая сумма была положена первоначально и какой процент дает сбербанк? ( Ответ: 5%, 300р.)

Задачи на работу.

1. Бассейн при одновременном включении 4 кранов заполняется водой за 45 мин. За сколько минут тот же бассейн может заполниться водой при одновременном включении 6 таких кранов?

2. Из резервуара идут три трубы. Через первые две трубы содержимое резервуара откачивается за 1ч 10мин, через первую и третью за 1ч 24мин, а через вторую и третью – за 2ч 20мин. За какое время содержимое резервуара откачивается всеми трубами вместе?

3. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первую бригаду перебросили на другое задание, поэтому вторая бригада закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада, работая отдельно?

4. Четверо рабочих обрабатывают детали с постоянной производительностью. Если первый будет работать 2ч, второй – 4ч и четвертый – 6ч, то всего они обработают 260 деталей. Если второй и четвертый будут работать по 6 ч, а третий – 2ч, то будет обработано 270 деталей. Если второй и четвертый будут работать по 6ч, а третий – 2ч, то будет обработано 270 деталей. Если второй и четвертый будут работать по 1ч, то они успеют обработать 40 деталей. Сколько деталей будет обработано, если первый, третий и четвертый рабочий будут работать по 1ч?

5. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6ч. За какое время наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что в течение 1 часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй?

6. В цехе соревнуются три токаря. За определенный период времени первый и второй токари обработали в 3 раза больше деталей, чем третий токарь, а первый и третий токари – в 2 раза больше, чем второй. Какой из токарей победил в соревновании?

Задачи на совместное движение

1. Два поезда выходят одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 45км, и встречаются через 20мин. Поезд, вышедший из А, прибывает в В на 9мин раньше, чем другой поезд в В. Найти скорости поездов.

2. Из города А в город В, расстояние между которыми составляет 20 км, одновременно вышли 2 пешехода. Скорость одного из них была на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он затратил на весь путь на 60 мин меньше. Какова скорость каждого пешехода?

3. Из Москвы в Санкт- Петербург выехал автобус. Спустя один час вслед за ним вышел грузовик, скорость которого на 20км/ч больше скорости автобуса. Грузовик, обогнал автобус и через 5ч после своего выхода находился впереди него на 40 км. Найдите скорость автобуса.

4. Легковой и грузовой автомобили проезжают расстояние между двумя сельскими пунктами соответственно за 3 и 5 часов. Определите их скорости, если известно, что скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузового.

5. Расстояние между двумя селами, равное 120 км, один мотоциклист проезжает на 30мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго на 20 км/ч меньше скорости первого.

6. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 3ч. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 20 мин. За какое время проедет всю кольцевую дорогу каждый автомобиль?

Закон сложения скоростей.

1. Расстояние между двумя пристанями равно 24км. Двигаясь вниз по течению, катер проходит это расстояние на 30 мин быстрее, чем, двигаясь вверх. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2км/ч.

2. Яхта прошла по течению и против течения расстояние, равное 43 км. Путь по течению занял 3 ч, а против течения 2 ч. Найти скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

3. Теплоход прошел по течению реки 48км и вернулся обратно, затратив на весь путь 5ч. Определить собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4км/ч.Катер проходит одно и то же расстояние по течению реки за 3ч, против течения – за 3,25ч. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25км/ч.

4. Моторная лодка плыла по течению реки 3ч, а на тот же путь против течения реки моторная лодка затратила 5ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 10 км/ч?

5. В 9ч баржа отправилась из пункта А в пункт В, который находится в 60км выше по течению, чем А. Спустя 2ч после прибытия в В баржа поплыла обратно и прибыла в пункт А в 19ч 20мин того же дня. Определить время, в которое баржа прибыла в пункт В, если скорость течения реки 3 км/ч.

6. В 8ч утра от пристани А отчалил плот, а в 23ч пароход, который догнал плот на расстоянии 72 км от пристани А. Найти скорость течения, если собственная скорость парохода равна 20 км/ч.

7. Катер прошел по течению реки 5км, а против течения 12 км, затратив на весь путь время, нужное для прохождения 18км по озеру. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.

8. Лодка прошла по течению реки 10 км, а против течения 15 км, затратив на весь путь 1ч 10мин. Найти скорость лодки по течению, если скорость течения реки 2 км/ч.

9. Скорость течения реки 5 км/ч. На путь по течению реки судно тратит 3ч., а на путь против течения 4,5ч. Какова скорость судна в стоячей воде?

10. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 84 км. Одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 3ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок.

11. Из порта одновременно вышли два катера, один – на юг, другой – на север. Через 3ч расстояние между ними составляло 96 км. Найдите скорость первого катера, если она на 10 км/ч больше скорости второго катера.

12. Мальчик сбежал по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

Движение: план и реальность

1. Поезд, задержанный на 1 час, на перегоне длиной 200 км ликвидировал опоздание, увеличив скорость на 10 км/ч. Найти, за какое время поезд должен был проехать данный перегон с начальной скоростью.

2. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за 7 часов. Через 6 часов после отправления он снизил скорость на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт пришел с опозданием на 10 мин. Найти первоначальную скорость поезда.

3. Путь из города в поселок автомобиль проезжает за 2,5 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет путь на 15 км больше, чем расстояние от города до поселка. Найти это расстояние.

4. Автомобиль был задержан в пути на 0,2 ч, а затем на расстоянии в 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость автомобиля.

5. Автомобиль должен был проехать 1620 км. После того, как он проехал 4/9 пути, автомобиль затратил на ремонт 2 часа. Увеличив скорость на 5 км/ч, автомобиль прибыл в пункт назначения вовремя. С какой скоростью ехал автомобиль после вынужденной остановки?

6. Мотоциклист проехал 40км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

7. Пешеход рассчитал, что двигаясь с определенной скоростью, пройдет намеченный путь за 2,5ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 2 часа. Найти длину пути.

Задачи на проценты.

1. При выполнении контрольной работы 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 учеников решили задания верно. Сколько учеников в классе?

2. Цену товара повысили на 150%. На сколько процентов надо уменьшить полученную цену товара, чтобы она стала равна первоначальной цене?

3. Новый владелец магазина снизил цены на одну треть, однако через некоторое время вынужден был вернуться к старым ценам. На сколько процентов при этом увеличились новые цены?

4. Торговая база закупила партию альбомов у изготовителя и поставила её магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?

5. До распродажи мужской и женский костюмы стоили одинаково. В начале распродажи на 15% была снижена цена на мужской костюм, но покупателя не нашлось, поэтому еще раз снизили новую цену на 15%. На сколько процентов нужно однократно снизить цену на женский костюм, чтобы оба костюма снова стали стоить одинаково?

6. Стоимость 30 экземпляров учебника геометрии и 45 экземпляров учебника алгебры составляет 6000 рублей. С учетом скидки в размере 5% на учебник геометрии и 10% скидки на учебник алгебры реальная стоимость покупки составила 5520 рублей. Найдите цену учебника алгебры с учетом скидки.

7. За 6,5 кг винограда и 10 кг черешни заплатили 800 рублей. При сезонном изменении цен виноград подешевел на 60%, а черешня подорожала на 40%. В результате вся покупка подешевела на 35%. Сколько стоит 1 кг черешни после подорожания?

8. При заключении договора с фирмой на изготовление и установку двух дверей заказчик заплатил 39000 рублей. Согласно договору в случае нарушения фирмой сроков доставки и монтажа дверей фирма обязуется за каждый просроченный день выплачивать заказчику 1,5% суммы договора. Сроки договора были нарушены фирмой, и она возвратила заказчику 2340 рублей. На сколько дней позже срока были установлены две двери?

9. В первом полугодии фабрика выполнила 105% полугодового плана выпуска швейных изделий, а во втором полугодии выпустила продукции на 4% больше, чем в первом. На сколько процентов фабрика перевыполнила годовой план, если планы выпуска готовой продукции в I и во II полугодиях одинаковые?

10. Некий гражданин решил положить 150 000 рублей в банк. Для уменьшения риска он разделил всю сумму на две части и положил их в два разных банка: в первый- под 4% годовых, а во второй- под 3% годовых. Через год первый вклад принес доход в два раза больший, чем второй. Какую сумму положил этот гражданин в первый банк?

11. Две картины общей стоимостью 30 000 рублей продали на аукционе с прибылью в 40%, причем от продажи одной картины было получено 25% прибыли, а от другой – 50%. Найдите стоимость более дорогой картины.

12. Грибы при сушке теряют 80% своей массы. Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 1кг сушеных?

13. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% своей массы. Сколько кг ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения?

14. Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса?

15. Собрали 100 кг ягод. После сортировки 60% ягод поступили на продажу в магазин. Но из полученного магазином количества ягод 11% продать не успели, т.к. они испортились. Сколько кг ягод было продано?

16. При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42% и стал равным 50л. Определить первоначальный объем раствора.

17. Сбербанк в конце года начисляет 10% к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 500 рублей через 3 года?

18. Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 1200 рублей через 4 года?

Задачи на сплавы.

1. Имеются два слитка сплава олова с медью. Первый слиток содержит 230г олова и 20г меди, второй слиток – 240г олова и 60г меди. От каждого слитка отпилили по куску, сплавили их и получили 300г нового сплава. Сколько граммов отпилили от первого слитка, если в полученном сплаве было 84% олова?

2. Отношение массы олова к массе свинца в куске сплава равно 2:3. Этот кусок сплавили с куском олова 3кг и получили новый сплав с процентным содержанием свинца 10%. Найдите массу олова в новом сплаве.

3. Сплавили 300г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

4. У кузнеца имеются два одинаковых по массе бронзовых бруска. В одном олово составляет 43% массы, а в другом медь составляет 43% массы. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный при переплавке этих брусков?

5. У ювелира два одинаковых по массе слитка, в одном из которых 36% золота, а в другом 64%. Сколько процентов золота содержится в сплаве, полученном из этих слитков?

6. Сплав состоит из серебра и меди, причем масса серебра составляет 14_{ }% массы меди. Каково процентное содержание меди в сплаве?

7. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?

Задачи на смеси, концентрацию.

1. Ядро грецкого ореха состоит из жира, белка и крахмала. Жира содержится в 3,4 раза больше, чем белка, а крахмал составляет 60% массы белка. Сколько содержится жира, белка и крахмала в 2,5 центнерах ядра кедрового ореха? Определите отношение составляющих кедрового ореха. (50кг белка, 170кг жира, 30кг крахмала; 5:17:3)

2. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй – 70% кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-ного раствора соляной кислоты?

3. В двух одинаковых сосудах находятся растворы серной кислоты концентрации 28,7% и 37,3%. Растворы сливают. Какова концентрация полученного раствора кислоты?

4. В смеси ацетона и спирта ацетона в 2 раза меньше, чем спирта. Когда к этой смеси добавили 300л спирта, получили смесь с процентным содержанием ацетона 28%. Сколько литров ацетона было в смеси первоначально?

5. В некий раствор соли в воде добавили 2г соли. В результате получился раствор, содержащий 5% соли. Затем, когда из этого раствора испарилось 17г воды, получился раствор, содержащий 6% соли. Определить процентное содержание соли в начальном растворе.

6. В некоторый раствор соли в воде добавили 15г воды. В результате получился раствор, содержащий 4% соли. Затем добавили 1г соли и получили раствор, содержащий 5% соли. Определить процентное содержание соли в начальном растворе.

7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 2т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75%-ным содержанием воды?

8. Для приготовления маринада необходим 2%-ный раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

9. Как из 70%-ного раствора уксуса сделать 9%-ный? 6%-ный? 2%-ный?

10. Огурцы содержат 99% воды. В магазин привезли 1960 кг свежих огурцов, но в результате неправильного хранения содержание воды в огурцах понизилось до 98%. Сколько кг огурцов поступило в продажу?

11. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80л морской воды с 5%-ным содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

12. В двух сосудах имеется вода разной температуры. Из этой воды составляют смеси. Если отношение объемов воды, взятой из первого и второго сосуда, равно 1:2, то температура смеси будет 35⁰С, а если 3:4, то температура смеси будет 33⁰С. Найдите температуру воды в каждом сосуде, считая, что плотность и удельная теплоемкость воды не зависят от температуры.

13. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит уже 12% воды. Как изменится масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе? Как это отразится на его цене?

51