Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота и фаза гармонических колебаний.

Пашикова Т.Д.

Преподователь кафедры общей физики

Туркменский государственный университет им. Махтумкули

(г. Ашхабад, Туркменистан)

Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота и фаза гармонических колебаний.

Гармоническим называется колебание, при которм изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса или косинуса. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с максимальным отклонением маятника от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными и их начальная фаза равна нулю. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с прохождением маятником положения равновесия, то колебания являются синусоидальными и их начальная фаза равна нулю.

26.1

26.1 – уравнения гармонических колебаний

Здесь – смещение маятника (м), – амплитуда колебаний (м), – частота (Гц), – время колебаний (с).

Смещение — это расстояние от маятника до положения равновесия. Амплитуда — это наибольшее смещение. При гармонических колебаниях амплитуда — постоянная величина. В одном полном колебании содержится 4 амплитуды.

Период — время одного полного колебания. Период при гармонических колебаниях — постоянная величина. Период и частота связанны соотношением

26.2

Частота — это число полных колебаний в единицу времени. Частота — величина, обратная периоду. Если тело совершило колебаний за секунд, то частота колебаний равна

26.3

а период колебания равен

26.4

Циклическая (круговая) частота — это величина, равная числу полных колебаний, совершенных за время, равное секунд.

26.5

Циклическая частота в системе СИ измеряется в .

Фаза — это величина под знаком косинуса или синуса в уравнении гармонических колебаний, показывающая, какая доля периода прошла от начала колебания. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется. Фаза в системе СИ измеряется в радианах.

26.6

Гармонические колебания происходят под действием переменной силы, пропорциональной смещению маятника от положения равновесия и всегда направленной к положению равновесия. Поскольку в процессе колебаний эта сила изменяется, изменяется и ускорение маятника, возникающее под действием этой силы. Поэтому к колебательному движению нельзя применять формулы равномерного или равноускоренного движений, с их помощью можно определять только средние скорость и ускорение за определенный промежуток времени. Чтобы найти мгновенную скорость, надо брать первую производную смещения по времени, а чтобы найти мгновенное ускорение — первую производную скорости по времени.

начальная фаза ( )

26.7

- мгновенная скорость (м/с), - первая производная смещения по времени (м/с), – масимальная скорость колебаний (м/с).

26.8

– мгновенное ускорение (м/с²), - первая производная скорости по времени (м/с²), – масимальное ускорение (м/с²).

Сравнение формул (26.1, 26.7, 26.8) приводит к следующим выводам.

1. Как и смещение , скорость и ускорение точки совершают гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой и периодом .

2. Амплитуды этих колебаний различны: - у смещения, -у скорости и - у ускорения.

3. Фазы колебаний также различны: колебание скорости опережает колебание смещения по фазе на (по времени – на ), колебание ускорения опережает колебание смещения по фазе на (по времени – )

Как видно на этом рисунке, в момент прохождения колеблющейся точкой положения равновесия ( ) ее скорость максимальна ( ), а ускорение равно нулю. Когда же точка максимально отклонится от положения равновесия ( или ), ее скорость равна нулю, а ускорение сиановится максимальным ( или ). Знак ускорения всегда противоположен знаку смещения. Следовательно, ускорение всегда направлено к положению равновесия колеблющейся точки.

При малых углах отклонения от положения равновесия колебания математического маятника являются гармоническими. Период, частота, циклическая частота определяются:

26.9

26.10

26.11

где – длина математического маятника (м), – ускорение свободного падения . Формула 26.9 называется формулой Гюйгенса.

Из формулы 26.9 видно, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника. .

Колебания груза на пружине являются гармонимческими колебаниями. Период, частота, циклическая частота определяются:

26.12

26.13

26.14

где – масса маятника (кг), – жесткость пружинного маятника .

Период свободных колебаний пружинного маятника не зависит от начальных условий (амплитуда, скорость), а полностью определяется собственными характеристиками колебательной системы (жесткостью и массой )

Рассмотрим физический маятник. Он представляет собой стержень с утяжелённым концом, другой его конец подвешен и связан с горизонтальной осью , перпендикулярный стержню. Рис.26.2 отклонённый от положения равновесия на угол , маятник под действием силы тяжести возвращается к этому положению, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит положение равновесия и т.д. Возвращающая сила

Знак минус обусловлен тем, что направления силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых отклонениях

Следовательно, колебания физического маятника гармонические. В соответствии с основным законом динамики вращения момент возвращающей силы выразится соотношением

где – момент инерции маятника отнистельно оси подвеса, – угловое ускорение. Так как , тогда

26.15

откуда найдем циклическую частоту и период колебаний физического маятника:

26.16

26.17