Методика решения систем уравнений

Задачи ЕГЭ по информатике

Система логических уравнений (B23)

Пример 1.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₆, y₁, ..., y₆, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

Решение:

Поскольку, 1 и 2 уравнения идентичны, найдем все решения уравнения 1:

Всего данное уравнение имеет 7 решений.

Так же и второе уравнение имеет 7 решений.

Два уравнения без третьего имеют 7*7 = 49 решений.

Составим таблицы решений равнения 1 и 2:

Рассмотрим какие ограничения в решение системы наложит третье уравнение:

Возьмем первое решение х1..х6 и найдем какие решения y1..y6 соответствуют системе

Чтобы найти решение, мы складываем x_i и не( y_i ), которые в сумме должны дать 1

Получается только 1 решение системы

2 решение х1..х6:

Всего 2 решения системы

3 решение х1..х6:

Всего 3решения системы

4 решение х1..х6:

Всего 4 решения системы

5 решение х1..х6:

Всего 5 решений системы

6 решение х1..х6:

Всего 6 решений системы

7 решение х1..х6:

Всего 7 решений системы

Суммируем полученное количество решений:

1+ 2 + 3 +4 + 5 +6 +7 = 28

Ответ: 28

Пример 2.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₆, y₁, ..., y₆, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

Поскольку, 1 и 2 уравнения идентичны, найдем все решения уравнения 1:

Всего данное уравнение имеет 6 решений.

Так же и второе уравнение имеет 6 решений.

Два уравнения без третьего имеют 6*6 = 36 решений.

Составим таблицы решений уравнений 1 и 2:

Рассмотрим какие ограничения в решение системы наложит третье уравнение:

Возьмем первое решение х1..х6 и найдем какие решения y1..y6 соответствуют системе

Чтобы найти решение, мы складываем x_i и не( y_i ), которые в сумме должны дать 1, если все суммы равны 1, то их произведение равно 1.

Всего 1 решение системы

2 решение х1..х6

Всего 2 решения системы

3 решение х1..х6

Всего 3 решения системы

4 решение х1..х6

Всего 4 решения системы

5 решение х1..х6

Всего 5 решений системы

6 решение х1..х6

Всего 6 решений системы

Суммируем полученное количество решений:

1+2 + 3 +4 + 5 +6 = 21

Ответ: 21

Задачи для самостоятельной работы:

1. Сколько различных решений имеет система уравнений?

(x₁  x₂)  (x₂  x₃)  (x₃  x₄)  (x₄  x₅)  (x₅  x₆) = 1

(у₂  у₁)  (у₃  у₂)  (у₄  у₃)  (у₅  у₄)  (у₆  у₅) = 1

y₁  x₂ = 1

где x₁,x₂,…,x_6, у₁,у₂,…,у₆ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

(ответ: 19)

1. Сколько различных решений имеет система уравнений?

(x₁  x₂)  (x₂  x₃)  (x₃  x₄)  (x₄  x₅)  (x₅  x₆)=1

(у₁  у₂)  (у₂  у₃)  (у₃  у₄)  (у₄  у₅)  (у₅  у₆)=1

(z₁  z₂)  (z₂  z₃)  (z₃  z₄)  (z₄  z₅)  (z₅  z₆)=1

x₆  у₆  z₆ = 0

где x₁,x₂,…,x_6, у₁,у₂,…,у_6, z₁,z₂,…,z₆ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

(ответ: 127)