Действия над многочленами

7 класс, алгебра Урок по теме «Действия над многочленами»

МОУ СОШ № 31

Учитель: Кряквина Л.Н.

2004 год

Исторические сведения

• Тема “Многочлены” - очень важная тема в алгебре. Много ученых работали над этой темой. В 1799 г. немецкий ученый Гаусс доказал основную теорему алгебры многочленов с комплексными коэффициентами, в конце XVIII в. французский математик Безу доказал основную теорему многочленов с действительными коэффициентами

Содержание

• 1. Основные понятия.
• 2. Сложение и вычитание многочленов.
• 3. Умножение многочлена на одночлен.
• 4. Умножение многочлена на многочлен.
• 5. Формулы сокращенного умножения.
• 6.Разложение многочленов на множители.
• 7. Математический диктант.
• 8. Решите самостоятельно.
• 9. Ответы.

Основные понятия.

Определение . Многочленом назы-

вают сумму одночленов.

Слагаемые (одночлены), из которых

состоит многочлен, называют чле-

нами многочлена.

Примеры многочленов :

2 a+b; 5a 2 b-3ab+7c; x 5 +x 4 +x 2 -2

Если в многочлене все члены запи-

саны в стандартном виде и приведе-

ны подобные члены, то говорят, что

многочлен приведен к стандартному

виду.

Сложение и вычитание многочленов.

Чтобы сложить несколько много-

членов, их записывают в скобках

со знаком «+» между скобками,

раскрывают скобки и приводят

подобные члены.

При вычитании одного многочле-

на из другого их записывают в

скобках со знаком «-» перед вы-

читаемым, раскрывают скобки и

приводят подобные члены.

Примеры.

№ 1 Сложить многочлены 2х 2 +3х-8 и 5х+2.

Решение. (2х 2 +3х-8) + (5х+2 )= 2х 2 +3х-8 + 5х+2=2х 2 +(3х+5х)+(-8+2)=2х 2 +8х-6

Сложение и вычитание многочленов

№ 2 Найти разность многочленов

х 3 +у 3 +2х+3у+5 и х 3 -у 3 -5х+3у-7.

Решение. (х 3 +у 3 +2х+3у+5)-(х 3 -у 3 -5х+3у-7)=

х 3 +у 3 +2х+3у+5-х 3 +у 3 +5х-3у+7=2у 3 +7х+12

Обратите внимание:

х 3 -х 3 =0 и 3у-3у=0.

Умножение многочлена на одночлен.

При умножении многочлена на одночлен

используется распределительный закон

умножения (a + b) ∙ c= a ∙ c+b ∙ c .

Правило. Чтобы умножить многочлен на

одночлен, нужно каждый член многочлена

умножить на этот одночлен и полученные

произведения сложить.

Пример. Выполнить умножение

(2a 2 -3ab) ∙ (-5a) .

Решение. (2a 2 -3ab)∙(-5a) =( 2a 2 ) ∙(-5a)+

(-3ab)∙(-5a)=-10a 3 +15a 2 b

Умножение многочлена на многочлен.

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена поочередно на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Пример: Выполнить умножение многочленов 2х 2 -5х+1 и 3х-4.

Решение. (2х 2 -5х+1)(3х-4)= 2х 2 ∙3х+

+2х 2 ∙(-4)+(-5х)∙3х+(-5х)∙(-4)+1∙3х+1∙(-4)=

=6х 3 -8х 2 -15х 2 +20х+3х-4= 6х 3 -23х 2 +23х-4

Формулы сокращенного умножения.

• 1. Квадрат суммы и квадрат разности.
• 2. Разность квадратов.
• 3. Разность кубов и сумма кубов.

Квадрат суммы и квадрат разности

( a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a – b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Пример. Раскрыть скобки

а) (3x+2) 2 =(3x) 2 +2 ∙(3x)∙2+2 2 =9x 2 +12x+4

б) (5a 2 -4b 3 ) 2 =(5a 2 ) 2 -2∙5a 2 ∙4b 3 +(4b 3 ) 2 =

=25a 4 -40a 2 ∙b 3 +16b 6

Разность квадратов

(a + b)(a - b)=a 2 -b 2

Пример. Выполнить умножение

(3х-2у)(3х+2у).

Решение. (3х-2у)(3х+2у)= (3х) 2 -(2у) 2 =

=9х 2 -4у 2

Разность кубов и сумма кубов

( a – b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 -b 3

(a + b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3

Пример № 1. Выполнить умножение

(2х-1)(4х 2 +2х+1).

Решение. (2х-1)(4х 2 +2х+1)=(2х) 3 -1 3 =

=8х 3 -1

Пример № 2. Представить 27 a 6 +8b 3 в виде произведения многочленов.

Разность кубов и сумма кубов.

Решение. 27 a 6 +8b 3 =(3 a 2 ) 3 +(2b) 3 =

=(3a 2 +2b) ((3a 2 ) 2 - 3a 2 ∙2b+(2b) 2 )=

=( 3a 2 +2b)(9a 4 - 6a 2 b+4b 2 )

Разложение многочленов на множители

Многочлен представляют в виде произведения многочлена и одночлена или произведения многочленов.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Пример: а) 2х+2у=2(х+у) – за скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена;

б) а 2 + а 3 = а 2 (1 + а) – если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся;

Вынесение общего множителя за скобки.

в) 4а 3 + 6а 2 = 2а 2 (2а+3) – для коэффициентов находим наибольший общий делитель, для переменных – наименьшую степень из имеющихся.

2. Способ группировки.

Члены многочлена нужно группировать так, чтобы в каждой группе после вынесения общих множителей в скобках оставался один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель.

Пример. Разложить на множители многочлен: 2а 2 + 6а + ав +3в = (2а 2 + 6а) + (ав + 3в) =2а(а+3) + в(а + 3)=(а + 3)(2а + в).

Математический диктант

• Верны ли следующие утверждения:

1. X + X = X 2

2. X(X+Y)=X 2 + Y

3. (X+Y)(2X+Y)=2X 2 +XY + 2XY +Y 2

4. (a-2b) 2 =a 2 -2ab+4b 2

5. (X-Y)(X+Y)=X 2 –Y 2 ?

Решите самостоятельно

1. Преобразуйте в многочлен:

а) (5x + 2y ) 2 ; б ) (2a - 7b) 2 ; в ) (a 2 – 1 ) 2 ;

г ) (0,3a + 3b) 2 ; д ) (3a 2 - b)(3a 2 + b);

е ) (x 3 +y)(x 3 - y)

2. Приведите многочлен к стандартному виду:

а)27х 3 -3х 2 -14х 3 +5х+7х 2 -2

б)5х 3 -3х 2 +2х-7-(х 2 -4х-2)

3. Решите уравнение:

2х-1-(3х 2 +7х+2)=-3х 2 -3х+4

4. Преобразуйте в многочлен:

а) -3х(2х-7)

б) (4х-2) ∙0,5х

в) -5х 2 (х 2 -2х+3)

г) (7х 2 +3х-4)∙6х 3

д) (х + у)(х-2)

е) (у – х)(х – 1)

ж) (2х –у)(у – 3х) + (х – 4)(6х + 1) + у 2

5. Разложите многочлен на множители:

а) 21а + 28у;

б) 3в 2 – 3в;

в) х 3 – 3х 2 – х;

г) m 3 n 2 – m 2 n 3 ;

д) 15с(а+в) + 8(в+а).

6. Разложите на множители способом группировки:

а) 3a+3-na-n;

б) 6mx-2m+9x-3;

в) 5a 2 -5ax-7a+7x;

г) 7c 2 - c – c 3 + 7 .

Проверьте свое решение!

• а) 25х 2 +20ху+4у 2 ;

б ) 4а 2 -28ав+49в 2 ;

в)а 4 -2а 2 +1;

г) 0,09а 2 +1,8ав+9в 2 ;

д) 9а 4 -1;

е) х 6 -у 2

2. а) 13х 3 +4х 2 +5х-2;

б) 5х 3 -4х 2 +6х-5

3. х=-3,5

Проверьте свое решение!

4. а) -6х 2 +21х;

б) 2х 2 -х;

в) -5х 4 +10х 3 -15х 2 ;

г) 42х 5 +18х 4 -24х 3 ;

д) х 2 -2х+ху-2у;

е) ху-у-х 2 +х;

ж) 5ху-23х-4.

Ответы:

№ 5 № 6

а) 7(3а+4у); а) (а+1)(3- n);

б) 3в(в-1); б) (3x-1)(2m+3);

в) х(х 2 -3х-1); в) (a-x)(5a-7);

г) m 2 n 2 (m-n) г) (c 2 + 1)(7 – c).

д) ( а+в)(15с+8) .