Чётные и нечётные функции

Свойства чётных и нечётных функций

Автор:

Сидорова А.В.

учитель математики

МБОУ г. Мурманска СОШ № 31

им. Л.В.Журина

Чётная функция

Функция называется чётной , если область её

определения симметрична относительно начала

координат и для любого х из области

определения этой функции.

График симметричен

относительно оси ординат

Примеры чётных функций

Нечётная функция

Функция называется нечётной , если область её определения симметрична относительно начала

координат и для любого х из области определения этой функции.

График симметричен

относительно

начала координат

Примеры нечётных функций

Пример

Докажите, что функция g нечётная, если g

D (g) :

=

- нечётная

Определите график чётной и график нечетной функций

нечётная

чётная

ни чётная, ни нечётная

ни чётная, ни нечётная

Определить график четной и график нечетной функций

нечётная

ни чётная, ни нечётная

ни чётная, ни нечётная

ни чётная, ни нечётная

Построить график функции f , зная, что f - чётная функция

и её значения при х ≥ 0 могут быть найдены по формуле

График симметричен

У

относительно оси ординат

1

Х

0

1

Построить график функции f , зная, что f - чётная функция

и её значения при х ≥ 0 могут быть найдены по формуле

У

График симметричен

относительно

оси ординат

1

0

Х

1

Построить график функции f , зная, что f - чётная функция

и её значения при х ≥ 0 могут быть найдены по формуле

У

График симметричен

относительно

оси ординат

1

0

Х

1

Построить график функции f , зная, что f - чётная функция

и её значения при х ≥ 0 могут быть найдены по формуле

У

График симметричен

относительно

оси ординат

1

0

Х

1

Построить график функции g , зная, что функция g –

нечётная функция и её значения при х ≥ 0 могут быть

найдены по формуле g ( x )

У

График симметричен

относительно

начала координат

1

Х

0

1

Построить график функции g , зная, что функция g –

нечётная функция и её значения при х ≥ 0 могут быть

найдены по формуле g ( x )

У

График симметричен

относительно

начала координат

1

0

Х

1

Построить график функции g , зная, что функция g –

нечётная функция и её значения при х ≥ 0 могут быть

найдены по формуле g ( x )

У

График симметричен

относительно

начала координат

1

0

Х

1

Построить график функции g , зная, что функция g –

нечётная функция и её значения при х ≥ 0 могут быть

найдены по формуле g ( x )

У

График симметричен

относительно

начала координат

Ошибка!

1

0

Х

1

Свойство 1

• Если функция y = f ( x )является чётной (нечётной), то функция y = k ∙ f ( x ) также является чётной (нечётной).
• Примеры: y = x 2 и y = 3 x 2 ;

y = x 3 и y = 6 x 3.

Следствие: y = f ( x )является чётная (нечётная), то функция y = - f ( x ) также чётная (нечётная).

Свойство 2

• Сумма двух чётных функций – чётная функция, а сумма двух нечётных функций – нечётная функция.
• Примеры: y = x 2 + | x |чётная

y = 2 x 3 + нечётная

Свойство 3

• Если функция y = f ( x ) – чётная (нечётная), то функция - чётная (нечётная).
• Пример: y = x 2 + | x | и

чётная

чётная

y = 2 x 3 + нечётная

y =

нечётная

Свойство 4

• Произведение двух функций одинаковой чётности – чётная функция, а двух функций различной чётности – нечётная функция.
• Пример: y = x 2 ∙ | x |- чётная

y = x 3 ∙ | x | - нечётная

Свойство 5

• Композиция чётной функции с чётной или с нечётной функцией – чётная функция.
• Пример: - чётная

чётная

- чётная

нечётная

)

Свойство 6

• Композиция двух нечётных функций – нечётная функция.
• Пример:

нечётная

нечётная

)

нечётная

0, верно при любом х       =     " width="640"

Свойство 7

• Композиция произвольной функции с чётной функцией – чётная функция.
• Пример:

0, верно при любом х

=

Функция знак числа y = sgn (x)

• Signum (лат. – знак)
• Функция y = sgn (x) – нечётная

График y = sgn (x)

У

1

1

-1

Х

Объясните, какие из указанных функций являются чётными:

- чётная

- чётная

- чётная

- чётная

След. св. 1

f (-x) =

- чётная

- чётная

След. св. 1

Объясните, какие из указанных функций являются чётными:

нечётная

Произведение двух функций одинаковой чётности – чётная функция, а двух функций различной чётности – нечётная функция.

- чётная

- чётная

X

X

- чётная

нечётная

f(x)= sgn (x)

– нечётная

Объясните, какие из указанных функций являются нечётными:

а)

- нечётная

-

ни чётная и ни нечётная

- ни чётная и ни нечётная

+

g(x)= sgn (x)

– нечётная

-

- ни чётная и ни нечётная

Не являются чётными и не являются нечётными

Функции ,

-целая часть,

Произведение двух функций различной чётности – нечётная функция.

- нечётная

+ =

- чётная

Произведение двух функций одинаковой чётности – чётная функция

- чётная

Если функция y = f ( x ) – чётная (нечётная), то функция - чётная (нечётная).

Спасибо за урок!