Биссектриса - знакомая и не очень

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Дмитровского района Орловской области

"Хальзевская основная общеобразовательная школа"

Биссектриса – знакомая и не очень

Работу выполнила:

Амерханова Мария, ученица 8-го класса

Руководитель:

Кузьмина Валентина Владимировна,

учитель математики

д.Хальзево, 2018 г.

«Ум заключается не только в знании, но и в умении приложить знание на деле»

Аристотель

Казалось бы, что такое биссектриса угла – знает каждый. Что тут сложного? Однако, просто знать – это одно, а вот использовать знание, применять его в деле – это другое. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам. На уроках геометрии мы говорили о том, что всякий луч, исходящий из вершины угла, обладает двумя свойствами биссектрисы: является лучом и равноудалён от сторон угла. Однако это ещё не означает, что всякий такой луч есть биссектриса угла. Язык математики должен быть точным. Всякое его искажение, любая маленькая неточность разрушают логику рассуждений. А что за математика без логики? Интересно, всякая ли точка равноудаленная от сторон угла лежит на биссектрисе? Заинтересовавшись этим вопросом, я и провела исследование, целью которого стало: определить расположение и свойства точек, равноудалённых от сторон угла.

Актуальность данной работы определяется тем, что биссектриса угла, биссектриса угла треугольника - это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет мне найти новые подходы к решению геометрических задач.

Объект исследования: биссектриса угла и биссектриса угла треугольника.

Предмет исследования: свойства точек, равноудалённых от сторон угла, от сторон треугольника и их применение при решении задач.

Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением наблюдения, рассуждения, доказательства и анализ фактов в ходе решения геометрических задач.

В своей публикации я рассмотрела одну из основных геометрических фигур геометрии – треугольник, который мы изучаем в 7-ом классе.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений.

Совместно с руководителем был разработан ход исследования:

1. Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и дать определение биссектрисы угла, биссектрисы треугольника.

2. Выяснить, каким свойством обладает точка пересечения биссектрис углов треугольника.

3. Рассмотреть и решить задачи по данной теме, получив таким образом результаты по теме исследования.

4. Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

В ходе работы мне предстояло подтвердить или опровергнуть суждение о том, что существуют точки, равноудалённые от сторон угла, не принадлежащие его биссектрисе.

Следуя намеченному алгоритму, я решала первую задачу:

Ещё в 6-ом классе было такое задание:

Сделать рисунок, опровергающий утверждение: если луч образует со сторонами равные углы, то он является биссектрисой этого угла.

Задача. Дан угол АВС, луч BD – биссектриса этого угла АВС. Существуют ли точки, равноудалённые от сторон этого угла АВС?

Решение.

Возьмём луч ВХ – дополнительный биссектрисе BD. Какая точка стороны ВА ближе всего к точке Х? Точка В. Тогда длина отрезка ХВ и есть расстояние от точки Х до стороны ВА. Потому что под расстоянием от точки до фигуры подразумевается расстояние от этой точки до ближайшей точки фигуры. А каково расстояние от точки Х до стороны ВС? Ближайшей точкой луча ВС для Х является та же точка В. Следовательно, расстояние от точки Х до сторон ВА и ВС угла АВС одинаковое! Значит, точка Х равноудалена от сторон угла АВС, однако не принадлежит биссектрисе этого угла!

Таким образом, я получила первый результат исследования: биссектриса угла не является геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, а составляет только его часть. Все точки дополнительного луча к биссектрисе равноудалены от сторон угла.

Поэтому я решила найти все точки, равноудалённые от сторон угла.

Для этого рассмотрела тот же угол АВС и биссектрису BD.

Решение.

Из его вершины провела луч BF, перпендикулярный стороне ВА и лежащий по другую сторону от ВА, чем сторона ВС. И ещё провела луч ВК, перпендикулярный второй стороне ВС и лежащий по другую сторону от ВС, чем сторона ВА. Провела дополнительный луч ВХ. И увидела, что точка F равноудалена от сторон угла АВС. Так как для точки F точка В – ближайшая как на одной стороне угла, так и на другой стороне. А поэтому расстояние FB и есть расстояние от точки F и до стороны ВА, и до стороны ВС.

Получилось, что и точка К, как и всякая точка луча ВК, равноудалена от сторон угла АВС. Все точки угла FBK равноудалены от сторон угла АВС. Угол FBK делит плоскость на две области. Та из них, которая содержит дополнительный луч (т. е. точку Х), обладает удивительным свойством: все её точки также равноудалены от сторон угла АВС. На рисунке эта область закрашена.

Поэтому, следующий результат таков: геометрическое тесто точек, равноудалённых от сторон угла АВС, представляет собой сложную фигуру. Она состоит из биссектрисы угла – луча BD, угла FBK и всех точек закрашенной на рисунке области.

Рассмотрела геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, когда этот угол тупой и прямой.

Решила ещё несколько задач.

а) Дан прямой угол АВС и круг с центром В. Найти точки круга, которые равноудалены от сторон угла АВС.

Сначала построим геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от сторон угла АВС. ( Я уже это рассматривала). А теперь из этого геометрического места точек, возьмём те, которые принадлежат построенному кругу. Получили фигуру, состоящую из отрезка ВЕ, равного радиусу окружности, и четверти круга – FBK.

б) Вписать в данный угол АВС окружность заданного радиуса R. Рассмотреть три случая - угол АВС: а) прямой; б) острый; в) тупой.

Первый случай: угол прямой.

Центр искомой окружности равноудалён от сторон угла АВС. Значит, он принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от сторон данного угла. На рисунке это геометрическое место точек изображено красным цветом. Оно состоит из биссектрисы угла АВС – BD и плоского угла FBK. Рассуждаем дальше. Искомая окружность касается сторон угла АВС. Конец радиуса, проведённого в точку касания, лежит на стороне угла. Этот радиус перпендикулярен стороне угла, а потому лежит на прямой, перпендикулярной стороне угла и пересекающей её. Но все такие прямые не имеют общих точек с плоским углом FBK, так как стороны этого угла параллельны этим прямым. Следовательно: центр вписанной окружности может принадлежать только биссектрисе угла АВС.

(Как это построить? Биссектриса уже построена. Я знаю, что центр окружности лежит на этой биссектрисе и удалён от любой стороны угла на расстояние R. Дальше нужно построить геометрическое место точек, удалённых от прямой АВ или ВС на расстояние R , точнее, ту его часть, которая пересекает биссектрису угла. А для этого надо на прямой, например ВС, взять точку, восставить из неё перпендикуляр к стороне длиной R. Получим точку L. Она удалена от прямой ВС на расстояние R. Проведём через точку L прямую, параллельную прямой ВС. Все точки этой прямой удалены от прямой ВС на расстояние R. Эта прямая пересекает биссектрису в некоторой точке О, которая равноудалена от сторон угла на расстояние R. Окружность с центром О и радиусом R искомая. На рисунках для построения точки L я воспользовалась тем, что BK перпендикулярна ВС. В случае, когда угол АВС прямой, точка L оказалась и точкой касания вписанной окружности со стороной ВА. Точки касания обозначены M и H).

Второй случай: угол острый.

Третий случай: угол тупой.

Я узнала о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Так как всякая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то точка пересечения биссектрис углов треугольника равноудалена от сторон всех углов треугольника. А эта точка пересечения одинаково удалена от сторон треугольника и одна ли эта точка? Для ответа на этот вопрос рассмотрела треугольник АВС. Точка О – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Рассмотрим треугольники АВО, ВСО, АСО. Углы этих треугольников при вершинах А, В, С острые (так как биссектрисы делят угол пополам, то пусть даже один угол треугольника АВС будет тупым, то половинка всё равно будет меньше прямого). Тогда основания перпендикуляров OD, OE, OM, опущенных из точки О на прямые АВ, ВС, АС, лежат на сторонах АВ, ВС, АС трёх рассматриваемых треугольников. Так как точка О равноудалена от сторон углов данного треугольника АВС, то OD = OE = OM. (Так как эта точка, во-первых, принадлежит биссектрисе угла ВАС и потому равноудалена от сторон АВ и АС. Во-вторых, точка О принадлежит биссектрисе угла АВС, а поэтому равноудалена от сторон ВА и Вс. Получаем, что расстояние от точки О до сторон АС и ВС такое же, что и до стороны АВ. Значит, точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС.) А это означает, что точка О равноудалена от сторон треугольника АВС. Отсюда следует, что окружность с центром в точке О пересечения биссектрис углов треугольника и радиусом ОD касается сторон треугольника АВС в точках D, M, E. Её называют вписанной в треугольник АВС. Точка О принадлежит и биссектрисам треугольника АВС. Но вот единственная ли эта точка? Ведь точки, равноудалённые от сторон угла, принадлежат не только биссектрисе угла. Они могут принадлежать и плоским углам с вершинами А, В, С, стороны которых есть лучи, перпендикулярные сторонам углов треугольника. Может быть, кроме точки О, существуют ещё и другие точки, равноудалённые от сторон треугольника? Посмотрим на рисунок. Эти плоские углы с вершинами А, В, С не имеют общих точек. Значит, углы, входящие в геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, новой точки, равноудалённой от сторон всех углов треугольника АВС, не дадут. Поэтому точка О – единственная равноудалённая от сторон всех углов треугольника.

Значит, точка пересечения биссектрис углов треугольника равноудалена от всех углов треугольника и равноудалена от сторон треугольника.

Следовательно,

• Существуют точки, не принадлежащие биссектрисе угла, но всё-таки равноудалённые от сторон данного угла.

• Центр окружности, вписанной в угол, принадлежит только биссектрисе данного угла.

• Точка пересечения биссектрис углов треугольника является единственной точкой равноудаленной от сторон всех углов треугольника и от сторон треугольника.

Список используемой литературы.

Приготовила буклет (с биссектрисы) на тему «О, Треугольник, Треугольник», в котором поместила занимательные и познавательные стихи о свойствах и признаках треугольника, о замечательных точках треугольника. Почему треугольник рассматривала? Так как это основная геометрическая фигура, которую мы изучаем в 7-ом классе, и мне захотелось узнать о нём побольше.

Выполнила Web-сайт «Треугольники в нашей жизни» (треугольники).

На первой странице я поместила интересную легенду о созвездии «Треугольник»

Вторая страница посвящена созвездиям Северного и Южного полушарий, носящих имя «Треугольник», и Галактика «Треугольник».

В годы войны был известен и популярен «Солдатский треугольник». Поэтому на третьей странице стихотворение о нём.

Место, которое считается самым ужасным, самым жутким местом планеты называется Бермудским треугольником. Четвёртая страница посвящена ему.

Треугольники в архитектуре – это моя пятая страница.

Как применяли свойства треугольника в древности и небольшой фотомонтаж - треугольники в нашей жизни. Всё это вы найдёте на шестой странице.

В углу у кипариса, фактически, в тени,
влачила Биссектриса безрадостные дни.
- Ах, я иного круга! Я не халам-балам!
На что мне этот угол,  деленный пополам?
Сумела исхитриться  на дерзкие дела,
сбежала Биссектриса, осталась без угла.
Но долетели сплетни, что, якобы, она
в окружности соседней Диаметру жена.
Живет с улыбкой гордой в нездешней стороне.
Теперь зовется Хордой и счастлива вполне.
А я сижу, не евши, вдали от Биссектрис,
в углу, осиротевшем несчастный кипарис.
Пью чай из барбариса, а сердце – просто хлам! -
разбито Биссектрисой, как  угол, пополам.
Все будто бы  в тумане и тенькает висок...
Схожу-ка к Медиане – развеюсь на часок!

 Спасибо за внимание! 

6