Равносильные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства люди решают с глубокой древности.

Вы познакомились с уравнениями и неравенствами ещё в начальной школе и с тех пор научились решать уже много разных их типов. Конечно, вы заметили, что в большинстве случаев решение многих уравнений и неравенств сводится к тому, что исходное уравнение (неравенство) преобразуют в более простое уравнение (неравенство). Затем получившееся уравнение (неравенство) преобразуют в ещё более простое уравнение (неравенство) и так, пока не получится совсем простое уравнение (неравенство), которое легко решить.

Но стоит помнить, что уравнения (неравенства) нельзя преобразовывать как вздумается. Для каждого типа уравнений (неравенств) есть свои правила и требования.

Тогда возникает вопрос: совпадают ли корни полученного в конце уравнения (неравенства) с корнями исходного уравнения (неравенства)?

Так вот, если все преобразования уравнений (неравенств) были равносильными, то корни совпадут. Что означает, что правильное решение последнего уравнения (неравенства) даст верные корни исходного уравнения (неравенства).

Вообще, при замене одного уравнения или неравенства другим могут встретиться три случая.

Итак, 1случай: множества решений первого и второго уравнения (неравенства) совпадают.

Рассмотрим этот случай на примере.

Решим уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на 6 – общий знаменатель наших дробей.

Получим .

Упростим .

Затем перенесём  в левую часть уравнения. Тогда имеем .

Приведём подобные . Отсюда видим, что .

Обратите внимание: при решении мы исходное уравнение  заменили уравнением , а затем заменили уравнением . Все эти три уравнения имеют один и тот же корень . Такие уравнения называют равносильными.

Запомните! Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Кстати, уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Аналогично и с неравенствами.

Давайте решим неравенство .

Решение. Умножим обе части неравенства на 6 – общий знаменатель наших дробей. Получим равносильное неравенство . Упростив это неравенство, а затем перенеся второе слагаемое из правой части неравенства в левую, получим очередное равносильное неравенство . Приведём подобные. Отсюда видим, что . Запишем ответ.

При решении мы получили три равносильных неравенства , , .

Приведём примеры равносильных и неравносильных уравнений и неравенств. Уравнения  и  равносильны, так как каждое из них имеет только один корень . Уравнения  и  также равносильны, так как они имеют одни и те же корни . В свою очередь, уравнения  и  не равносильны, так как первое имеет корень , а второе — корни .

Неравенства  и  равносильны, так как их решения совпадают: . А вот неравенства  и  не равносильны, так как первое имеет решение , а второе — .

Из определения равносильности уравнений (неравенств) следует, что два уравнения (неравенства) равносильны, если каждый корень (решение) первого уравнения (неравенства) является корнем (решением) второго уравнения (неравенства), и наоборот: каждый корень (решение) второго уравнения (неравенства) является корнем (решением) первого уравнения (неравенства).

При решении уравнений и неравенств часто используют следующие преобразования:

1. Любой член уравнения (неравенства) можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

2. Обе части уравнения (неравенства) можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

При этих преобразованиях исходное уравнение (неравенство) заменяется на равносильное ему уравнение (неравенство).

Перейдём ко 2 случаю: множество решений второго уравнения (неравенства) содержит все решения первого.

Рассмотрим этот случай на примере. Решим уравнение .

Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения.  Получим уравнение . Обратите внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение имеет только один , а второе — два корня  и . В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. При этом те решения второго, которые не являются решениями первого, называют посторонними, их стараются выявить и отбросить.

Запомните! Если при переходе от одного уравнения (неравенства) к другому потери корней не происходит, то второе уравнение (неравенство) называют следствием первого уравнения (неравенства). Иначе, если все корни первого уравнения (неравенства) являются корнями второго уравнения (неравенства), то второе уравнение (неравенство) называется следствием первого уравнения (неравенства).

Из этого определения и определения равносильности уравнений (неравенств) следует, что если следствие не содержит никаких других решений, кроме решений первого, то оно ему равносильно. Можно сказать, что два уравнения (неравенства) равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Отметим, что если исходное уравнение (неравенство) с помощью преобразований заменено другим, причём в процессе преобразований хотя бы раз уравнение (неравенство) заменялось на неравносильное ему следствие, то проверка найденных решений с помощью подстановки в исходное уравнение (неравенство) является обязательной. Если же при каждом преобразовании уравнение (неравенство) заменялось на равносильное, то проверка не нужна.

Решим уравнение .

Решение. Трёхчлен в знаменателе последнего слагаемого разложим на множители . Получим уравнение . Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех трёх дробей, то есть на . Получим уравнение . Раскроем скобки в правой части уравнения . Получим .Перенесём все слагаемые из левой части уравнения в правую часть , приведём подобные  и разделим на общий множитель – 2. Получим уравнение . Применяя теорему Виета, видим, что это уравнение имеет корни  и .

Выполним проверку. При  знаменатели двух дробей уравнения равны 0 (). Поэтому  не является корнем данного уравнения. При  левая часть уравнения равна , правая часть равна . Значит,  является корнем нашего уравнения.

При решении уравнения  мы получили уравнение , которое является следствием исходного уравнения. Корень  уравнения  не является корнем уравнения . Его называют посторонним корнем. Отметим, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

И 3 случай: множество решений второго уравнения (неравенства) содержит не все решения первого, то есть теряются решения. Эта ситуация самая неприятная, так как решение уравнения (неравенства) будет неверным.

Рассмотрим этот случай на примере. Решим уравнение: .

Решение. Перенесём правую часть уравнения в левую . Вынесем общий множитель  за скобку. Получим уравнение . Упростим выражение во вторых скобках . Тогда наше уравнение имеет следующие корни:  и .

Обратите внимание: если бы мы изначально обе части нашего исходного уравнения разделили бы на общий множитель , то получили бы уравнение , которое имеет только один корень . То есть мы бы потеряли второй корень , и решение уравнения стало бы неверным.

Отметим: потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.