Иррациональные уравнения

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Например, ,

,

….

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Итак, давайте перечислим основные методы решения иррациональных уравнений.

1 метод: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2 метод: замена переменной.

3 метод: умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.

4 метод: применение свойств функций, входящих в уравнение.

Чаще всего при решении иррациональных уравнений применяют 1метод, то есть обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного. Следует не забывать, что уравнение-следствие наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Давайте докажем, что при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение — следствие данного.

Доказательство: пусть у нас есть уравнение   и  — корень этого уравнения. То есть  — верное числовое равенство.

Тогда по свойствам верных числовых равенств равно , где  — натуральное число, также будет верным числовым равенством. То есть имеем  — корень уравнения . В свою очередь, уравнение   – это уравнение-следствие.

Что и требовалось доказать.

Напомним, что при возведении обеих частей уравнения в чётную натуральную степень может получиться уравнение, не равносильное данному.

Например, решим уравнение .

Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения . Получим уравнение .

Обратите внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение имеет только один корень — , а второе — два корня –  и .

В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Отметим, что второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как при подставновке его в исходное уравнение получим неверное равенство.

Как видим, при возведении иррационального уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна.

Если обе части уравнения  неотрицательны на множестве, то уравнение   равносильно уравнению  при .

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать основные свойства иррациональных уравнений:

1­. Если показатель радикала – чётное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, при этом значение радикала также является неотрицательным. Проще говоря, все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, то есть если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно 0, то корень также равен 0; если подкоренное выражение положительно, то значение корня – положительно.

2. Если показатель радикала – нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом. В этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения. Говоря другими словами, все корни нечётной степени, входящие в уравнение определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1. Решите уравнение .

Решение. Отметим, что при  уравнение не имеет корней, так как правая часть нашего уравнения будет принимать отрицательные значения. А мы знаем, что значение корня не может быть отрицательным числом. Значит, нам будут подходить только корни больше либо равные 3.

Итак, возведём в квадрат обе части уравнения . Получим равносильное уравнение .

Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую . Получим уравнение .

Теперь вынесем общий множитель х за скобки. Получим уравнение . В скобках квадратный многочлен разложим на множители.

Имеем .

Чтобы данное уравнение равнялось 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.

Отсюда полученное уравнение имеет корни ,,.

Вначале решения мы с вами оговаривали, что корни меньше –3 нам не подходят. Проверим, подходят ли корни  и . Подставим их в исходное уравнение. При  левая часть исходного уравнения равна , а правая – 3. Имеем верное равенство. Значит,  является корнем уравнения. При  левая часть исходного уравнения равна , правая – 4. Тоже имеем верное равенство.

Следовательно,  также является корнем уравнения.

Запишем ответ: , .

Задание 2. Решите уравнение  .

Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат .

Получим равносильное исходному уравнение .

Приведём подобные члены и перенесём слагаемые без знака корня в правую часть уравнения .

Получим уравнение .

Возведём обе части получившегося уравнения в квадрат.

Получим уравнение  .

Раскроем скобки. Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую. Приведём подобные.

.

.

Получим уравнение .

, .

Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Вычислим его корни. Имеем , .

Выполним проверку.

При выражение . Имеем верное равенство. Значит,  является корнем нашего уравнения.

При   выражение . Видим: имеем неверное равенство.

Следовательно,  не является корнем нашего уравнения. Запишем ответ.