Взаимно обратные функции

Пусть задана функция , где каждое значение .

Понятно, что каждому значению  соответствует единственное значение  из области значений функции. Если мы по данному значению функции  захотим найти соответствующее значение аргумента, нам придётся решить уравнение относительно, то есть решить уравнение .

Понятно, что такое уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечно много решений. Решениями нашего уравнения являются абсциссы всех точек, в которых прямая  пересекает график функции .

Однако существуют такие функции, для которых уравнение  имеет единственное решение для каждого фиксированного значения. Такие функции называют обратимыми.

Запомните! Если функция   принимает каждое своё значение только при одном значении , то эту функцию называют обратимой.

Вот, например, рассмотрим две функции:  и .

Функция  обратима, так как каждое значение  принимается при единственном значении аргумента . Чтобы найти это значение, нам нужно решить уравнение   относительно . Этим мы займёмся чуть позже.

Что касается функции , то она не является обратимой, так как значения принимает не при единственном значении аргумента. Например, значение  функция  принимает при .

Итак, пусть  — обратимая функция. В этом случае уравнение  можно при любом  однозначно разрешить относительно , то есть каждому  поставить в соответствие единственное  такое, что . Это соответствие определяет функцию  от . Обозначим эту функцию . Но мы привыкли обозначать аргумент функции буквой, а значения – буквой . Перейдём к привычным для нас обозначениям. Для этого поменяем в этой записи местами и . Получим функцию .

Функцию  называют обратной к функции.

Давайте найдём функцию, обратную к функции .

Решение. Решим уравнение . Для этого 2 перенесём в левую часть уравнения.

Затем разделим обе части нашего уравнения на 5. Получим

или, что то же самое,

Теперь поменяем в нашем равенстве местами  и . Получим

Итак, функция  обратна к функции .

Сделаем вывод. Если обратимая функция  задана формулой, то для нахождения обратной функции нужно решить уравнение  относительно , а затем поменять местами  и .

Вернёмся к нашему примеру. Мы с вами показали, что функция  является обратной к функции . Обратите внимание: в свою очередь и функция  также будет являться обратной к функции . Такие функции называют взаимно обратными.

Сделаем вывод: если  – функция, обратная к функции, то и  – функция, обратная к , при этом область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. Это свойство, которое показывает, как связаны функция и обратная к ней.

Вы уже знаете, что функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. И функция называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Чаще всего возрастающие и убывающие функции называют одним словом — монотонные.

Докажем теорему. Монотонная функция является обратимой.

Доказательство. Пусть функция , например, возрастает и пусть  — её значение в некоторой точке , то есть .

Тогда если , то при  выполняется неравенство , в свою очередь, при  выполняется неравенство . Понятно, что значение  функция  принимает только в одной точке , а значит, является обратимой.

Что и требовалось доказать.

Для убывающей функции доказательство проводится аналогично.

К примеру, рассмотрим функцию . Эта функция возрастающая, значит, является обратимой. Не сложно догадаться, что обратной к ней будет функция .

Из теоремы вытекает следующее следствие: если функция  возрастает (убывает), то для неё существует обратная функция, и она возрастает (убывает) на множестве значений данной функции.

Другими словами, если функция  возрастает, то понятно, что с увеличением  значения также увеличиваются и, наоборот, с увеличением  увеличиваются .

Это означает, что обратная функция также возрастает.

И аналогично с убывающей функцией: если функция   убывает, то обратная к ней функция также убывает.

Кстати, функция, не являющаяся монотонной, может не иметь обратной. Примером такой функции служит функция . Мы с вами уже говорили, что эта функция не имеет обратной, если рассматривать её на всей числовой оси. Однако если мы с вами будем рассматривать функцию  только при , то на промежутке  она возрастает и, следовательно, имеет обратную. Функция  является обратной к функции  при .

Данный пример показывает, что некоторые функции обратной функции не имеют, если их рассматривать на всей области определения, и имеют обратную функцию, если область определения сузить. Часто в качестве сужения области определения берут интервал монотонности функции.

А теперь давайте докажем ещё одну теорему. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой .

Доказательство. Пусть некоторая точка с координатами , принадлежит графику функции , то есть .

Из существования обратной функции следует, что . Значит, точка с координатами  принадлежит графику обратной функции . Следовательно, точки с координатами  и  симметричны относительно прямой .

Что и требовалось доказать.

Хотелось бы обратить внимание, что и знакомая вам степенная функция с областью определения  и  обратима, так как она монотонна. Обратной к степенной функции  при  и  является функция .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Найдите обратную функцию для функции .

Решение. Решим это уравнение относительно .

Имеем

Раскроем скобки в левой части нашего уравнения. Получим,

Затем перенесём слагаемое  в правую часть уравнения, а  – в левую. Вынесем общий множитель  за скобку. Заметим, что если выражение , то есть , то последнее соотношение превращается в неверное равенство. Значит, можем разделить обе части нашего уравнения на выражение .

Получим . Не забудем поменять  и  местами. Тогда функция  обратная к функции .