Степенная функция, её свойства и график

Напомним, что степенной функцией называется функция вида , где  — заданное действительное число. Вы уже знакомы с частными случаями степенных функций, когда  является натуральным или целым числом, например, с такими функциями, как , , ,  ….

Давайте вспомним, как выглядят графики этих функций.

Итак, если , то есть имеем функцию

Графиком этой функции будет прямая, проходящая через начало координат.

Если  — чётное число (), то графиком функции является парабола.

Графиком функции , при нечётном  (), является кубическая парабола.

Если , то . Графиком этой функции является гипербола.

Свойства степенной функции напрямую зависят от свойств степени с действительным показателем и в частности от того, при каких значениях  и  имеет смысл .

Давайте рассмотрим некоторые свойствами функций, которыми обладают, в частности, отдельные степенные функции.

Итак, функция , определённая на множестве  большое, называется ограниченной снизу на множестве , если существует число  такое, что для любого  выполняется неравенство .

Как же это понимать? Это означает, что все точки графика ограниченной снизу функции, где , расположены выше прямой игрек равно  или на этой прямой.

Функция, определённая на множестве  большое, называется ограниченной сверху на множестве  большое, если существует число такое, что для любого , выполняется неравенство .

В этом случае все точки графика функции , где , лежат ниже прямой игрек равно  или на этой прямой.

Например:

Функция  является ограниченной снизу, так как . То есть парабола ограничена снизу прямой .

А функция  ограничена сверху, так как , то есть парабола ограничена сверху прямой .

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве икс большое, называют ограниченной на этом множестве.

Функция  является ограниченной на множестве тогда и только тогда, когда существует положительное число   такое, что для любого большое, выполняется неравенство .

Ещё вам нужно знать, что если существует такое значение  из области определения множества  функции ‚ что для любого из этой области справедливо неравенство , то говорят, что функция  принимает наименьшее значение  при .

Например, функция  принимает при  наименьшее значение, равное .

Если же существует такое значение  из области определения множества  функции , что для любого  справедливо неравенство , то говорят,   принимает наибольшее значение   при ..  

Например, функция  принимает при  наибольшее значение, равное 5.

А теперь давайте более подробно рассмотрим свойства степенной функции в зависимости от показателя степени .

Случай 1. Показатель   — чётное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где  — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — все действительные числа, то есть множество действительных чисел ;

— множество значений — неотрицательные числа, то есть ;

— функция  чётная, так как ;

— функция является убывающей на промежутке   и возрастающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как   для любого ;

— функция принимает наименьшее значение  при .

График функции  имеет такой же вид, как, например, график функции  , или  и так далее. График этой функции называют параболой n-й степени.

Случай 2.  Показатель  — нечётное натуральное число.

В этом случае степенная функция, где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел;

— множество значений — множество действительных чисел;

— функция  нечётная, так как ;

— функция является возрастающей на всей действительной оси;

— функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции . График этой функции называют кубической параболой.

Случай 3. Показатель , где — натуральное число.

В этом случае степенная функция, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — положительные числа ;

— функция , чётная, так как ;

— функция является возрастающей на промежутке   и убывающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

Прямую  (ось абсцисс) называют горизонтальной асимптотой (от греческого слова asymptotes, что переводится как «несовпадающий») графика функции , при . Прямую   (ось ординат) называют вертикальной асимптотой графика этой функции, так как при значениях , близких к , расстояния от точек этого графика до оси  (прямой) становятся сколь угодно малыми.

Случай 4. Показатель , где  — натуральное число.

В этом случае степенная функция , где, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — множество действительных чисел, кроме ;

— функция , нечётная, так как как ;

— функция является убывающей на промежутках  и ;

— функция не является ограниченной;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции, имеет такой же вид, как, например, график функции .

Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, а ось ординат — вертикальной асимптотой графика функции.

Случай 5. Показатель — положительное действительное нецелое число.

В этом случае функция  обладает следующими свойствами:

— область определения — множество неотрицательных чисел ;

— множество значений — множество неотрицательных чисел ;

— функция является возрастающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция принимает наименьшее значение  при .

График функции , где  — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции  (при ) или как, например, график функции  (при ).

Случай 6. Показатель  — отрицательное действительное нецелое число.

В этом случае функция  обладает следующими свойствами:

— область определения — множество положительных чисел ;

— множество значений — множество положительных чисел ;

— функция является убывающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как .

График функции , где  — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции .