Степень с действительным показателем

Давайте вспомним, как мы с вами поступаем на практике, когда нам приходится иметь дело, например, с числом . Конечно же, мы заменяем его приближением.

Например, мы можем заменить  (с недостатком),  (с избытком),

в зависимости от того, по недостатку или избытку требуется приблизить значение .

Либо же можем записать: ,  и так далее.

Аналогично действуют и при возведении некоторого числа , то есть число возводят в степень рационального приближения числа .

Давайте рассмотрим, как можно определить степень с иррациональным показателем, на примере .

Пусть , , , …, , …, и так далее — последовательность десятичных приближений числа  (например, с недостатком).

,, ….

Понятно, что последовательность этих приближений стремится к числу , то есть .

Обратите внимание: , , , …, , …  являются рациональными. Тогда для них определены степени ,,, …

Значит, определена последовательность ,,, …

Иными словами, эта последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначает .

А теперь давайте рассмотрим общий вид степени с действительным показателем. Пусть а – некоторое положительно число ,  — произвольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность , , …, , …, , которая состоит из десятичных приближений числа. Эта последовательность имеет предел .

Последовательность ,, …,, … также имеет предел. Предел этой последовательности и представляет собой действительную.

Его обозначают так:  и называют степенью числа а с показателем .

Таким образом,  определена для любого  и любого действительного показателя .

Сделаем вывод: при любом действительном  и любом   является положительным действительным числом  при , .

Давайте разберёмся, почему мы определяем степень с действительным показателем только для положительного основания.

Итак, в случае если , то определяют только при  и считают, что  при .

Например, , .

Если же , то выражение  не имеет смысла.

Например, ,.

При таком определении степени с действительным показателем сохраняются все известные вам свойства степени с рациональным показателем. Сформулируем эти свойства.

Пусть , , ,  – любые действительные числа. Тогда справедливы следующие равенства.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

 К этим свойствам добавляется ещё одно:

6. Если , то  при .

Доказательство этих равенств основывается на свойствах степени с рациональным показателем и на теории пределов последовательностей, которая изучается в курсе высшей математике.

А теперь давайте докажем следующую теорему, применяя свойства степени с действительным показателем.

Итак, теорема.

Пусть  и . Тогда .

Доказательство. По условию теоремы . Отсюда можем записать, что . Исходя из последнего свойства степени с действительным показателем, . Умножим обе части нашего неравенства  на положительное число . Отсюда, . Тогда получим .

По свойству умножения степеней получим . Или, что то же самое .

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекают три следствия.

Следствие 1.

Пусть  и . Тогда .

Доказательство. Так как , то . Поэтому из теоремы следует, что при  .

По свойству деления степеней имеем . Следовательно, . Отсюда .

Что и требовалось доказать.

Следствие 2.  

Пусть , , . Тогда .

Доказательство. Предположим, что .

Пусть, например,. Тогда при  по теореме должно выполняться неравенство , но ведь при  по первому следствию должно выполняться неравенство .

А это противоречит условию, что .

Что и требовалось доказать.

Следствие 3.

Пусть . Тогда если , то , а если , то .

Доказательство. По условию , или можно записать ещё . Тогда для  возможны два случая:  и .

1 случай. Если , то по последнему свойству степени с действительным показателем получаем, что. По свойству деления степеней имеем . Значит, . Или .

2 случай. Если , то . По последнему свойству степени с действительным показателем получаем, что . Отсюда, . Или . Тогда имеем .

Что и требовалось доказать.

Вывод, при возведении неравенства с положительной левой п положительной правой частями в положительную степень знак неравенства не меняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Сравните числа  и .

Решение.

 .